高考数学备考微专题31圆锥曲线的基本问题

微专题31圆锥曲线的基本问题高考定位圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题,难度相对较小.【真题体验】1.(2025·新高考Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍,则C的离心率为()A.2 B.2C.7 D.22答案D解析依题意得b＝7a,又c2＝a2＋b2,所以c2＝a2＋(7a)2＝8a2,即c＝22a,故e＝22.故选D.2.(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2,则|AF|＝()A.3 B.4C.5 D.6答案C解析根据直线y＝－2x＋2得F(1,0),所以C的准线方程为x＝－1,C的方程为y2＝4x,所以B(－1,4),所以A(4,4),所以|AF|＝|AB|＝5.3.(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:x25＋y2＝1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2＝0,则|A.1 B.2C.4 D.5答案B解析法一因为PF1·P所以PF1⊥PF2,则S△PF1F2＝12|PF1|·得12|PF1|·|PF2|＝1×tan90°所以|PF1|·|PF2|＝2,故选B.法二因为PF1·P所以PF1⊥PF2,所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝25,所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20,即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20,所以|PF1|·|PF2|＝2,故选B.4.(多选)(2025·新高考Ⅱ卷)双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且A.∠A1MA2＝πB.|MA1|＝2|MA2|C.C的离心率为13D.当a＝2时,四边形NA1MA2的面积为83答案ACD解析根据双曲线和圆的对称性,知四边形A1MA2N为平行四边形,因为∠NA1M＝5π6,所以∠A1MA2＝π6,A不妨设M(x0,y0)(x0>0,y0>0),渐近线方程为y＝bax,则x02＋又y0＝bax0,a2＋b2＝c2,联立可得x0＝a,y0＝b,所以M(a,b),所以MA2⊥x轴在Rt△A1A2M中,因为∠A1MA2＝π6所以MA2|MA1|根据tan∠A1MA2＝2ab＝tanπ6,得b所以e＝ca＝1＋b当a＝2时,|MA1|＝42,|MA2|＝26,所以四边形NA1MA2的面积为S＝2S△|MA1||MA2|sinπ6＝42×26×12＝835.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x,则m＝答案－3解析法一依题意得m<0,双曲线的方程化为标准方程为y2－x2−m＝1,此时双曲线的渐近线的斜率为±1−m＝±法二依题意得m<0,令y2－x2−得y＝±1−mx,则±1−解得m＝－3.【热点突破】热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线:||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线:|PF|＝|PM|,l为抛物线的准线,点F不在定直线l上,PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.例1(1)(2025·天津河西区模拟)已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线的渐近线上的点,满足F1M·F2M＝0,且|MF1|＝2|MF2|,△MF(2)(2025·岳阳二模)设椭圆C:x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,cos∠F1PF2＝35,∠F1PF2的平分线与x轴交于点A答案(1)x2－9y2解析(1)由F1M·F2M＝0,得F1M⊥F2因为|MF1|＝2|MF2|,△MF1F2的面积为209则S△MF1F2＝|MF所以|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＝5|MF2|2＝1009令双曲线C的半焦距为c,则c2＝14|F1F2|2＝25即a2＋b2＝259直线OM方程为y＝baxtan∠MF1F2＝MF而|MO|＝|F1O|,则ba＝tan∠MOF2＝tan2∠MF1F＝2×联立解得a2＝1,b2＝169所以双曲线C的方程为x2－9y(2)椭圆C:x24＋y23＝1的焦点F1(－1,0),F2(1,0),|PF不妨令点P在第一象限,在△F1PF2中,4＝|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝16－165|PF1|·|PF2|则|PF1|·|PF2|＝154,解得|PF1|＝52,|PF2|＝32,|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2则PF2⊥F1F2,由PA平分∠F1PF2,得AF2|AF1|＝PF2|PF1|＝所以|PA|＝34易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误:双曲线的定义中忽略“绝对值”致错;椭圆与双曲线中参数的关系式弄混,椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2,双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2;圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.训练1(1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F,点M在抛物线上.若点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上,则|MF|＋|MQ|的最小值为()A.5 B.4C.3 D.2(2)(2025·南通名校联考)已知F1,F2是双曲线E:x29－y216＝1的两个焦点,点M在E上,如果MF1⊥MF2,答案(1)C(2)16解析(1)如图所示.由题意抛物线y2＝4x的准线为x＝－1,它与x轴的交点为D(－1,0),焦点为F(1,0),过点M向抛物线的准线引垂线,垂足为点N,设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为P(3,0),已知圆与x轴的交点为点E,|MF|＋|MQ|＝|MN|＋|MQ|≥|NQ|≥|NP|－|PQ|＝|NP|－r＝|NP|－1≥|DP|－1＝4－1＝3,且|MF|＋|MQ|＝3成立的条件是M,O重合,且Q,E重合,综上所述,|MF|＋|MQ|的最小值为3.(2)由题意得a＝3,b＝4,所以c＝a2＋不妨设|MF1|>|MF2|,根据双曲线定义可得|MF1|－|MF2|＝2a＝6,①又MF1⊥所以|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝100,②联立①②解得|MF1|·|MF2|＝32,所以△MF1F2的面积为S＝12|MF1|·|MF2热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)直接利用公式:椭圆的离心率e＝ca＝1−b2a2(0<e<1),(2)根据条件建立关于a,b,c的齐次式,消去b后,转化为关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)考向1离心率问题例2(1)(2025·天津卷)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P,若|PF1|＋|PF2|＝3|FA.2 B.5C.2＋12 (2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,半焦距为c.在椭圆上存在点答案(1)A(2)(2－1,1)解析(1)因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|,|F1F2|＝2c,所以|PF1|＋|PF2|＝6c,又点P在双曲线上且在第一象限,由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a,所以|PF1|＝3c＋a,|PF2|＝3c－a,如图所示,抛物线的准线为P'F1,P'为过P作准线的垂线,与准线的交点,因为点P在抛物线上,所以|PF2|＝|PP'|＝xP＋c＝3c－a,所以xP＝2c－a,yP＝PF1|把点P的坐标代入抛物线方程,可得(23ac)2＝4c(2c－a),化简得ca＝2,(2)由asin∠得ca得|PF1|＝2aca＋c,又|PF1|∈(a－c,a则a－c<2aca＋c<∴a2－c2<2ac<(a＋c)2,即e2＋2e－1>0,又e∈(0,1),∴e∈(2－1,1).考向2椭圆、双曲线的几何性质例3(1)(多选)连接椭圆C:x2a2＋y23＝1(a>3)的三个顶点所围成的三角形面积为23A.a＝4B.椭圆C的离心率为1C.椭圆C的焦距为27D.椭圆C上存在点P,使|PF|＝2(2)(2025·武汉模拟)已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|>|PF2|,若△PF1F2的内心为Q(xQ,a),且PQ＋3A.y＝±x B.y＝±2xC.y＝±3x D.y＝±2x答案(1)BD(2)B解析(1)椭圆C:x2a2＋y23＝1(a>3)的左顶点为(－a,0),右顶点为(a,0),上顶点为(0,3),因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为23,若为左、右顶点与上(下)顶点时,则12×2a×3＝23,解得a＝2,符合题意若为上、下顶点与左(右)顶点时,则12×23×a＝23,解得a＝2,符合题意综上可得a＝2,故A错误;则椭圆方程为x24所以c＝a2−则椭圆C的离心率e＝ca＝12,椭圆C的焦距为2c＝2,故C错误;因为椭圆C的右焦点为F(1,0),所以a－c≤|PF|≤a＋c,即1≤|PF|≤3,所以在椭圆C上存在点P,使|PF|＝2,故D正确.(2)设P(xP,yP),依题意可设PQ＋3OQ＝λF1所以a－yP＋3a＝0,则yP＝4a,故S△PF1F2＝12×2c×4a＝12(|化简得|PF1|＋|PF2|＝6c,又|PF1|－|PF2|＝2a,所以|PF1|＝3c＋a,|PF2|＝3c－a,因为F1(－c,0),点P在双曲线上,且|PF1|>|PF2|,所以P在双曲线的右支上,所以|PF1|＝(＝(＝ca·xP＋a则3c＋a＝ca·xP＋a解得xP＝3a,所以P的坐标为(3a,4a),代入双曲线方程中,得(3a)解得ba故所求渐近线的方程为y＝±2x.规律方法1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的等量关系或不等关系,然后用a,c代换b,进而求ca的值或范围2.求双曲线渐近线方程的关键在于求ba或ab的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“训练2(1)(多选)(2025·长沙二模)已知双曲线C1:x2a2－y2b2＝1和C2:y2b2－x2aA.C1与C2有相同的实轴B.C1与C2有相同的焦距C.C1与C2有相同的渐近线D.C1与C2有相同的离心率(2)(2025·合肥二模)已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0),过顶点A作C的一条渐近线的垂线,交y轴于点B,且|AB|＝答案(1)BC(2)2解析(1)对于A,双曲线C1:x2a2－y2b2＝1双曲线C2:y2b2－x2a2＝1的实轴在y轴上对于B,双曲线C1:x2a2－y2b2＝1和C2:y2b对于C,双曲线C1:x2a2－y2b2＝1的渐近线为y＝±bax,双曲线C2:y2对于D,双曲线C1:x2a2－y2双曲线C2:y2b2－x2a2＝1(2)不妨令渐近线方程为y＝bax,顶点A为(a,0)则过顶点A与渐近线垂直的直线的方程为y－0＝－ab(x－a)令x＝0,得y＝a2b,则B所以|AB|＝a2又因为|AB|＝a2＋b2,所以又因为c2＝a2＋b2,所以c＝2a,所以e＝2.热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论:设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α是直线AB的倾斜角,则(1)x1x2＝p24,y1y2＝－p(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2p(3)当AB⊥x轴时,弦AB的长最短为2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切例4(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y＝－3(x－1)过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则()A.p＝2B.|MN|＝8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形答案AC解析对于A,因为直线y＝－3(x－1)经过抛物线C的焦点,且直线与x轴的交点为(1,0),所以抛物线C的焦点坐标为(1,0),所以p2＝1,即p＝2,所以A正确对于B,法一不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<x2,联立方程得y消去y并整理得3x2－10x＋3＝0,解得x1＝13,x2由抛物线的定义得,|MN|＝x1＋x2＋p＝103＋2＝163,故B法二易知直线y＝－3(x－1)的倾斜角为2π3所以|MN|＝2psin22π对于C,法一设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d＝12(d1＋d2)＝12(|MF|＋|NF|)＝12|MN|,即A到直线l的距离等于MN的一半,所以MN为直径的圆与直线l相切,法二由二级结论——以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切,易知C正确;对于D,由题知M13,233,N(3所以由两点间距离公式可得|OM|＝133,|ON|＝21,又|MN|＝163,故D规律方法利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来得到已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论,使问题简单化且减少数学运算.训练3(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2),其焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则()A.p＝2 B.|AB|≥4C.OA·OB＝－4 D.k1k2＝－4答案ABD解析因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2),所以22＝2p,解得p＝2,故A正确;法一由A项知抛物线方程为y2＝4x,则焦点F(1,0),设直线l:x＝my＋1,则y消去x整理得y2－4my－4＝0,则Δ＝16m2＋16>0,所以y1＋y2＝4m,y1y2＝－4,则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2,x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1,所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4,故B正确;因为OA＝(x1,y1),OB＝(x2,y2),所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－3,故C错误;由题意知,x1≠0且x2≠0,所以k1k2＝y1x1·y2x2法二设直线l的倾斜角为α,则|AB|＝2psin2α＝4OA·OB＝x1x2＋y1y2＝p24－p2＝－34p2＝－3,故由题意知,x1≠0且x2≠0,所以k1k2＝y1y2x1x【精准强化练】一、单选题1.(2025·西安二模)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.若|BF2A.x216＋y212C.x24＋y2答案A解析由椭圆的几何性质,因为|BF2|＝|F1F2|＝4,可得a＝2c＝4,所以a＝4,c＝2,则b2＝a2－c2＝12,所以椭圆的方程为x22.(2025·深圳模拟)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,直线y＝kx与椭圆C交于A,B两点,若四边形AFA.2 B.3C.4 D.6答案A解析依题意abπ＝6π,则ab＝6,由椭圆对称性,得线段AB,F1F2互相平分于原点,则四边形AF1BF2为平行四边形,由椭圆的定义得4a＝2(|AF1|＋|AF2|)＝12,解得a＝3,所以椭圆C的短半轴长b＝2.3.(2025·成都诊断)若P为双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)上异于A(－a,0),B(a,0)的动点,且直线A.y＝±55x B.y＝±5C.y＝±5x D.y＝±5x答案C解析设P(x0,y0),x0≠±a,则x02即y02＝b2·则kPA·kPB＝y02则ba故C的渐近线方程为y＝±5x.4.已知抛物线C:x2＝4y的焦点为F,P为抛物线上一个动点,A(－1,3),则|PF|＋|PA|的最小值为()A.3 B.4C.5 D.6答案B解析由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1),准线l的方程为y＝－1,过P作PQ⊥l于Q,如图所示,由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|,所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|,则当A,P,Q三点共线时,|PQ|＋|PA|取得最小值,所以|PF|＋|PA|的最小值为3－(－1)＝4.5.(2025·菏泽调研)焦点为F的抛物线C:y2＝2px(p>0)的对称轴与准线交于点A,点B在抛物线C上且在第一象限,在△ABF中,3sin∠AFB＝4sin∠FAB,则cos∠FBA＝()A.−7＋3212 C.7＋3212 答案C解析过点B作准线的垂线,垂足为H,作x轴的垂线,垂足为E,如图所示.则由抛物线的定义可得|BF|＝|BH|.因为3sin∠AFB＝4sin∠FAB,所以在△ABF中,由正弦定理可得|AB|＝43|BF|＝43|BH则|AH|＝73|BH|则sin∠BAF＝|BE||AB|sin∠BFE＝|BE||BF|则cos∠BAF＝34,cos∠BFE＝2所以cos∠FBA＝cos(∠BFE－∠BAF)＝cos∠BFEcos∠BAF＋sin∠BFEsin∠BAF＝236.(2025·聊城模拟)设F是椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点,M,N是C上的任意两点,△FMN周长的取值范围为(m,n],A.13 B.C.22 D.答案A解析令椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a>b|MF|＋|ME|＝2a,|NF|＋|NE|＝2a,△FMN周长|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋2a－|ME|＋2a－|NE|＝4a＋|MN|－(|ME|＋|NE|)≤4a＋|MN|－|MN|＝4a,当且仅当M,N,E共线时取等号,则3m＝4a,即m＝4a又|MN|＋|MF|＋|NF|>|MF|＋|MF|＝2|MF|≥2(a－c),因此m＝2(a－c),则4a3＝2(a－c),解得所以C的离心率为137.(2025·开封二模)已知双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0),圆O经过直线x＝±a,y＝±b的四个交点,且圆O与C在第一象限交于点P,与x轴分别交于点A.a2 B.b2C.a2＋b2 D.a2－b2答案B解析设双曲线的半焦距为c,由题意,圆O的圆心在坐标原点,半径r＝a2＋b点E,F即双曲线的左、右两焦点,故有|PE|－|PF|＝2a,①且因EF为圆的直径,可得PE⊥PF,则有|PE|2＋|PF|2＝4c2,②将①式两边取平方,(|PE|－|PF|)2＝|PE|2＋|PF|2－2|PE|·|PF|＝4c2－2|PE|·|PF|＝4a2,解得|PE|·|PF|＝4c2−4a故△PEF的面积为12|PE|·|PF|＝b28.(2025·沈阳二模)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线,如图1,设圆锥轴截面的顶角为2α,用一个平面Γ去截该圆锥面,随着圆锥的轴和Γ所成角β的变化,截得的曲线的形状也不同.据研究,曲线的离心率为e＝cosβcosα,比如,当α＝β时,e＝1,此时截得的曲线是抛物线.如图2,在底面半径为1,高为22的圆锥SO中,AB,CD是底面圆O上互相垂直的直径,E是母线SC上一点,|SE|＝2|EC|,A.12 B.C.32 D.答案C解析由题意得∠OSC＝α,∠EOS＝β,则∠SCO＝90°－α,∠EOC＝90°－β,所以e＝cosβ在△SOC中,|SO|＝22,|CO|＝1,连接OE,则|OE|2＝2＝49OC＝49＋19所以|OE|＝23又由勾股定理得|SC|＝|OC＝1＋8＝3.又|SE|＝2|EC|,所以|SE|＝23|SC|＝2所以|CE|＝|SC|－|SE|＝3－2＝1,在△OEC中,由正弦定理得,|EC|sin∠EOC＝|EO|所以平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为32二、多选题9.(2025·金华质检)已知双曲线C:x2a2－y23a2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若|F1F2A.a＝1B.C的虚轴长为23C.e＝2D.C的一条渐近线的斜率为3答案AB解析由C:x2a2－知F1(－2a,0),F2(2a,0),e＝2aa由|F1F2|＝2e,得4a＝4,即a＝1,3a2＝3,所以C的虚轴长为23,故A,B正确,C错误;由C的渐近线方程为y＝±3x,得两条渐近线的斜率分别为3,－3,故D错误.10.已知椭圆C:3x2＋4y2＝48的两个焦点分别为F1,F2,P是C上任意一点,则()A.C的离心率为3B.△PF1F2的周长为12C.|PF1|的最小值为3D.|PF1|·|PF2|的最大值为16答案BD解析由椭圆C:3x2＋4y2＝48,得x216则a＝4,b＝23,c＝2,所以e＝ca＝12,易知△PF1F2的周长为|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋4＝12,故B正确;当P在椭圆长轴的一个端点时,|PF1|取得最小值,最小值为a－c＝4－2＝2,故C错误;由基本不等式得|PF1|·|PF2|≤PF1当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等,则|PF1|·|PF2|取得最大值16,故D正确.11.(2025·新高考Ⅰ卷)已知抛物线C:y2＝6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x＝－32的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,A.|AD|＝|AF| B.|AE|＝|AB|C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18答案ACD解析直线l为抛物线的准线,由抛物线的定义,可知|AD|＝|AF|,A正确;由通径最短,可得|AB|≥2p＝6,所以C正确;法一易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x＝my＋32,A(x1,y1)B(x2,y2)由x＝my＋32,y则y1＋y2＝6m,y1y2＝－9,x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3,|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6,当m＝0时,E−32,0,|AB|AE|＝AF2＋此时|AE|≠|AB|,所以B不正确;此时|AE|＝|BE|＝32,|AE|·|BE|＝1