2026年江苏省高一数学第三十六章数列与解析几何综合题库试卷

2026年江苏省高一数学第三十六章数列与解析几何综合题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：根据递推关系b_n=b_{n-1}+n，依次计算b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_4=b_3+4=10，b_5=b_4+5=15，b_6=b_5+6=21。选项A正确。3.已知点A（1，2）和B（3，0）在抛物线y^2=2px上，则该抛物线的焦点F的坐标为（）A.(2，0)B.(1，0)C.(0，2)D.(0，1)解析：将A（1，2）代入y^2=2px得4=2p×1，解得p=2，故抛物线方程为y^2=4x，焦点F（p/2，0）即（1，0）。选项B正确。4.直线l：x-y+1=0与圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0的位置关系是（）A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离解析：圆C标准方程为（x-2）^2+（y+3）^2=16，圆心（2，-3），半径4。圆心到直线l的距离d=|2+3+1|/√2=3√2<4，故相交。选项B正确。5.已知椭圆x^2/9+y^2/4=1的焦点为F_1、F_2，若点P在椭圆上，且|PF_1|+|PF_2|=6，则∠F_1PF_2的取值范围是（）A.[0，π/2]B.(π/2，π)C.[π/3，2π/3]D.(π/3，π)解析：由椭圆定义|PF_1|+|PF_2|=2a=6，且|F_1F_2|=2c=2√5。根据余弦定理cos∠F_1PF_2=(|PF_1|^2+|PF_2|^2-|F_1F_2|^2)/(2|PF_1||PF_2|)=-1/2，故∠F_1PF_2=2π/3。选项C正确。6.抛物线y^2=8x的准线方程为（）A.x=-2B.x=-4C.x=2D.x=4解析：抛物线y^2=2px的准线方程为x=-p/2，此处p=8，故准线x=-4。选项B正确。7.已知双曲线x^2/16-y^2/9=1的渐近线方程为（）A.y=±3/4xB.y=±4/3xC.y=±5/3xD.y=±9/16x解析：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±(b/a)x，此处a=4，b=3，故渐近线y=±3/4x。选项A正确。8.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，且过点（1，2），则k的取值范围是（）A.(-∞，-1/2)∪(1/2，+∞)B.[-1/2，1/2]C.(-1/2，1/2)D.(-∞，-1/2]∪[1/2，+∞)解析：圆心（0，0）到直线kx-y+b=0的距离d=|b|/√(k^2+1)=1，且直线过（1，2）满足k+b=2。联立解得k=-1/2或k=1/2。选项C正确。9.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，故c_4=2^3-1=7。选项无正确答案，需修正题目。10.已知点P在椭圆x^2/25+y^2/16=1上运动，则点P到直线x+2y-10=0的距离的最小值为（）A.2B.3C.4D.5解析：设P（5cosθ，4sinθ），则距离d=|5cosθ+8sinθ-10|/√5=|√89cos(θ-φ)-10|/√5，最小值为(10-√89)/√5=2。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则公比q=______解：a_4=a_2q^2，54=6q^2，解得q=3。填3。2.抛物线y^2=12x的焦点到准线的距离为______解：p=6，距离为2p=12。填12。3.椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率为______解：c=√(9-4)=√5，e=c/a=√5/3。填√5/3。4.双曲线x^2/16-y^2/9=1的焦点坐标为______解：c=√(16+9)=5，焦点（±5，0）。填（±5，0）。5.直线y=2x-1与圆x^2+y^2-2x+4y-3=0的交点个数为______解：圆心（1，-2），半径√(1+4+3)=√8，圆心到直线距离d=|2+2-1|/√5=3/√5<√8，故相交两点。填2。6.数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_5=______解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。b_5=10。填10。7.椭圆x^2/25+y^2/16=1的准线方程为______解：x=±25/3。填x=±25/3。8.双曲线y^2/9-x^2/16=1的渐近线方程为______解：y=±3/4x。填y=±3/4x。9.直线x-y-1=0与圆x^2+y^2-2x+4y-3=0的交点坐标为______解：联立方程得x^2-4x+4=0，x=2，y=1。填（2，1）。10.数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则数列是______数列（填等差或等比）解：c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，是等比数列。填等比。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则S_n=n/2（a_1+a_n）恒成立。（）解：正确，这是等差数列前n项和公式。√2.抛物线y^2=4x的焦点到准线的距离为4。（）解：p=2，距离为2p=4。√3.双曲线x^2/9-y^2/16=1的渐近线方程为y=±4/3x。（）解：正确。√4.椭圆x^2/25+y^2/16=1的离心率小于1。（）解：正确，e=√5/3<1。√5.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则圆心到直线的距离等于r。（）解：正确。√6.数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_n=2n。（）解：正确，b_n=S_n-S_{n-1}=2n。√7.抛物线y^2=2px的焦点坐标为（p/2，0）。（）解：正确。√8.双曲线x^2/16-y^2/9=1的焦点到渐近线的距离为3。（）解：正确，距离=3/√(16+9)=3/√25=3/5。×（原题p=3/5，需修正）9.直线x-y-1=0与圆x^2+y^2-2x+4y-3=0相切。（）解：正确，圆心到直线距离为3/√5=√8/2，等于半径√8/2。√10.数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则数列是等比数列。（）解：正确，c_n=2^{n-1}-1是等比数列。√四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_7=15，求该数列的通项公式。解：a_3=a_1+2d=7，a_7=a_1+6d=15，联立解得a_1=3，d=2，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.求抛物线y^2=8x的焦点坐标和准线方程。解：p=4，焦点（2，0），准线x=-2。3.求椭圆x^2/25+y^2/16=1的焦点坐标和离心率。解：c=√(25-16)=3，焦点（0，±3），e=3/5。4.求双曲线x^2/16-y^2/9=1的焦点坐标和渐近线方程。解：c=√(16+9)=5，焦点（±5，0），渐近线y=±3/4x。5.求直线y=2x-1与圆x^2+y^2-2x+4y-3=0的交点坐标。解：联立方程x^2+4x-3=0，x=1，y=1，交点（1，1）。6.求数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n的前三项b_1，b_2，b_3。解：b_1=S_1=1，b_2=S_2-S_1=4-1=3，b_3=S_3-S_2=8-4=4。7.求椭圆x^2/25+y^2/16=1的准线方程。解：x=±25/3。8.求双曲线y^2/9-x^2/16=1的渐近线方程。解：y=±3/4x。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=2，S_5=30，求该数列的通项公式。解：S_5=5/2(a_1+a_5)=30，a_5=8，d=6/4=3/2，a_n=2+3/2(n-1)=3/2n+1/2。2.已知点P在抛物线y^2=8x上，且P到准线的距离为8，求P的坐标。解：准线x=-2，设P（x，y），x+2=8，x=6，y^2=48，P（6，±4√3）。3.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1的焦点为F_1、F_2，若点P在椭圆上，且|PF_1|=5，求|PF_2|。解：|PF_1|+|PF_2|=10，|PF_2|=10-5=5。4.已知双曲线x^2/16-y^2/9=1的焦点为F_1、F_2，若点P在双曲线上，且|PF_1|-|PF_2|=6，求∠F_1PF_2。解：由双曲线定义|PF_1|-|PF_2|=2a=8，矛盾，需修正题目。5.已知直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，求k的值。解：圆心到直线距离d=|1|/√(k^2+1)=2，k=±√3。6.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求b_10。解：b_10=S_10-S_9=100+10-(81+9)=20。7.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1的焦点为F_1、F_2，若点P在椭圆上，且∠F_1PF_2=90°，求|PF_1|•|PF_2|。解：由椭圆性质|PF_1|^2+|PF_2|^2=4a^2=100，且|PF_1|+|PF_2|=10，解得|PF_1|=|PF_2|=5，故|PF_1|•|PF_2|=25。8.已知双曲线x^2/16-y^2/9=1的渐近线与直线y=2x相交，求交点坐标。解：联立y=2x，y=±3/4x，交点（0，0），（32/17，64/17）。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.B5.D6.A7.A8.A9.C10.A二、填空题1.32.123.√5/34.(±5，0)5.26.107.x=±25/38.y=±3/4x9.(2，1)10.等比三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.√10.√