山东省菏泽市东明县第一中学2026届高三上学期开学摸底考试数学试卷（含解析）

山东省东明县第一中学2026届高三上学期开学摸底考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合,,则()A. B. C. D.2．在复平面内,对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．已知向量与的夹角为,,,则在上的投影向量为()A. B. C. D.4．已知,则()A.2 B.1 C. D.5．已知实数a，b满足，则ab的最大值为(

)A. B. C. D.6．已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于两点,若的面积是的面积的两倍,则(

)A.2 B. C. D.7．下列函数在区间上单调递增的是()A. B. C. D.8．已知正方体,点是与的交点,点Q是直线上异于A的一点,点P是平面上的动点,满足直线与直线的夹角为,则动点P的轨迹在()A.圆上 B.椭圆上 C.抛物线上 D.双曲线上二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．甲、乙两名篮球运动员连续10场比赛的得分如下表所示,则下列说法正确的有(

)场次12345678910甲18202213202710211930乙31020924271328917A.甲的众数大于乙的众数B.甲的平均数大于乙的平均数C.甲的极差大于乙的极差D.甲的60百分位数大于乙的60百分位数10．已知函数的最小正周期为,则()A. B.C. D.11．武当太极拳又称武当内家拳,是我国的一项传统武术拳种,修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式,张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式,每种招式打一遍,小张随机打了十三式,则()A.若招式可以重复,则小张练习的可能情况数为13!B.若招式不可重复,则小张练习的可能情况数为13!C.若招式可以重复,小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12!D.若招式不可重复,小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知双曲线的焦点到渐近线的距离是a,则双曲线的离心率的值是____________________．13．若曲线与圆有公共点,且在点P处的切线相同,则实数_____________.14．已知正整数n,欧拉函数表示1、2、3、、n中与n互素的整数的个数,例如,,.若小明从3、5、7、11、13中随机取一个数k,小红从6、8、9、10、30中随机取一个数l,则的概率为_____________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在中,内角的对边分别为,且．(1)求A：(2)若,的面积为,求的周长．16．（15分）如图,在四棱锥中,四边形是边长为2的菱形,,,,点E、F分别为棱、的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的大小为,求二面角的正弦值.17．（15分）已知数列的前n项和为，且n，，成等差数列；数列的首项，且.（1）求数列的通项公式，并求数列的前n项和.（2）若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.（3）是否存在不同的，使得，，成等差数列？如果存在，请求出m，n的值；如果不存在，请说明理由.18．（17分）已知函数有两个极值点.(1)求实数a的取值范围；(2)记两个极值点分别为,,证明：.19．（17分）已知点,分别是椭圆的左、右焦点,,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若P是椭圆上的一个动点,点P经过第k次变动（各次变动之间相互独立）后落在的位置（异于椭圆C的左、右顶点,且时,允许）,点是的内心（即内切圆的圆心）,满足,其中,O为坐标原点.①证明：；②若,且对任意都有的面积为,求对任意都有的概率.参考答案1．答案：C解析：,,故．故选：C．2．答案：D解析：,所以对应的点位于第四象限.故选：D.3．答案：A解析：在上的投影向量为,故选：A.4．答案：C解析：,故,可得,,代入计算可得.故选：C.5．答案：B解析：由，即，即，整理得.因为，当且仅当，即，时等号成立，所以ab的最大值为.6．答案：C解析：令d为点O到直线的距离,则,,由,故,由抛物线定义可知,,,则有,即,设直线方程为,联立抛物线方程,有,,故,,则,则有,故,有,故或（负值舍去）,则,故.故选：C.7．答案：C解析：对于A,的定义域为,在上单调递增,在上单调递增,不满足在上单调递增,故A错误.对于B,在上单调递减,不满足在上单调递增,故B错误.对于C,,满足在上单调递增,故C正确.对于D,在上单调递减,在上单调递增,不满足在上单调递增,故D错误.故选：C.8．答案：D解析：直线与直线的夹角为,则P在以Q为顶点的对顶圆锥上,对顶圆锥的轴线为,因为平面,所以动点P的轨迹在双曲线上.故选：D.9．答案：ABD解析：对于A,甲的众数为20,而乙的众数为9,故甲的众数大于乙的众数,A正确；对于B,因甲平均数,而乙平均数,故B正确；对于C,甲的极差为,而乙的极差为,故C错误；对于D,先把甲的得分按从小到大顺序排列为：10,13,18,19,20,20,21,22,27,30,由知甲的60百分位数为；再把乙的得分按从小到大顺序排列为：3,9,9,10,13,17,20,24,27,28,则乙的60百分位数为,故D正确.故选：ABD.10．答案：BCD解析：对于A,由题意可得,解得,故A错误；对于B,函数的解析式为：,故,则,故B正确；对于C,,,所以,故C正确；对于D,,,所以,故D正确.故选：BCD.11．答案：BD解析：对于A中,若招式可以重复,则小张练习的可能情况数为,所以A不正确；对于B中,若招式不可重复,则小张练习的可能情况数为,所以B正确；对于C中,若招式可以重复,小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为,所以C错误；对于D中,若招式不可重复,小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为,所以D正确.故选：BD.12．答案：解析：双曲线的渐近线方程为,即,则焦点到渐近线的距离,解得,所以双曲线的离心率故答案为：.13．答案：解析：对于,,故切线斜率存在,于是,又,解得或（舍去）,于是,所以,所以.故答案为：.14．答案：解析：由题意可得,,,,,,,,,,因为,,满足的数组有：、、、,故所求概率为.故答案为：.15．答案：(1)(2)6解析：(1)由,以及正弦定理可得即,即,又在中,所以,则在中；(2)由(1)可得,所以,由余弦定理,解得,所以的周长.16．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)如图1,取的中点M,连接、,因为F为的中点,所以,且,又四边形为菱形,且E为的中点,所以,且,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)如图2,连接、交于点O.因为四边形为菱形,所以,且O为、的中点,又因为,所以,因为、平面,且,所以平面.因为平面,所以平面平面,过点P在平面内作,垂足为点G,因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角的平面角,则.又,,,O为的中点,所以,则为等边三角形,因为,故也为等边三角形,且,以点O为坐标原点,、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,.取平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则,取,可得,则,设二面角平面角为,则.因此,二面角的正弦值为.17．答案：（1），（2）1176（3）不存在，理由见解析解析：（1）因为n，，成等差数列，所以①，所以②，得，于是.又，所以，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.所以，即.所以，所以.（2）因为，所以，所以数列是各项均为0的常数列，所以，所以，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又，，，，，，，，所以.（3）假设存在不同的，不妨令，使得，，成等差数列，则，即，可得.因为，所以，所以，所以.当时，；当时，.均与题设矛盾，所以不存在不同的，使得，，成等差数列.18．答案：(1)；(2)证明见解析.解析：(1)由题意得,,.因为有两个极值点,所以方程有两个不相等的正根,所以,解得.检验：当时,由得或.所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,满足题意.所以实数a的取值范围为.(2)证明：由(1)知,,所以,所以.令,则,令,则,所以在上单调递增.因为,,所以函数存在唯一零点,即,且当时,,单调递减；当时,,单调递增,所以当时,存在最小值,即.因为,所以,所以,所以.19．答案：(1)(2)①证明见解析②解析：(1)由题可知,,解得,,,所以椭圆C的标准方程为；(2)①由内心定义可知内切圆半径,对任意,,即,由于点和点在x轴的同一侧,故,同号,故,所以,②由①可知,,因为,所以,对任意,在中,设与x轴的相切于点,则,同理,,,结合,故,又,于是,结合,代入得,又,取等条件为,故点只能在椭圆的上、下顶点位置.当时,表示点中恰有1012个在上顶点,恰有1012个在下顶点,故总的情况有种.对任意都有表明,任意前k个点中,上顶点个数不少于下顶点个数.将前k个点中上顶点的个数减去下顶点的个数记作,将所有的点连接起来,形成一条折线l,因为每次要