山东省济南市2026届高三上学期摸底考试数学试卷（含解析）

山东省济南市2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,则(

)A. B. C. D.2．已知向量,,满足与垂直,则实数的值为(

)A. B. C. D.3．记为等差数列的前n项和.若,则(

)A.12 B.24 C.36 D.484．已知集合,则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件5．已知分别为双曲线的左、右焦点,C的渐近线上一点A满足,且,则C的离心率为(

)A. B. C.2 D.6．的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则(

)A.1 B.2 C.3 D.47．已知函数满足，则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.8．如图所示的六面体中,平面平面,,,若,则(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设z是复数,则下列命题中正确的有(

)A. B. C. D.10．已知的面积为,若,,则(

)A. B. C. D.11．已知平面直角坐标系中,点A在x轴上,点B在y轴上,满足,点P满足,记P的轨迹为E,则(

)A.B.E的方程为C.当直线与E相切时,D.存在线段,使得内心在E外部三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若一组样本数据的平均数为8,则数据,,的平均数为_______________.13．在四棱台中,,设四棱台的体积为V,三棱锥的体积为,则____________________.14．已知函数,则的最小值为____________________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知正项数列的前n项积为,且满足.(1)求证：数列为等差数列；(2)令,求数列的前n项和.16．（15分）有四个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,将这些小球随机排成一列.(1)求标有数字2和4的小球不相邻的概率；(2)一个排列中,若两个相邻小球上的数字之和为5,则称这两个小球为一组“友好球”.设X表示排列中“友好球”的组数,求X的分布列和数学期望.17．（15分）如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,.(1)证明：；(2)若直线与直线所成角的余弦值为,且,求直线与平面所成角的余弦值.18．（17分）已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若函数有两个不同的极值点,其中.（i）证明：；（ii）证明：.19．（17分）已知抛物线的焦点为F,是上第一象限内的点.且到F距离与到的距离相等.过作的切线交y轴于点M.(1)求的标准方程；(2)求证：；(3)记关于x轴的对称点为,关于x轴的对称直线为,为上第四象限的点（与不重合）,过做的切线,分别交,于两点,若,直线的斜率为,直线的斜率为,试判断是否为定值？若为定值,求的值,若不为定值,请说明理由.参考答案1．答案：D解析：,又,所以.故选：D.2．答案：A解析：由题意知向量,,满足与垂直,故,,即得,则,解得,故选：A.3．答案：C解析：,,,.故选：C.4．答案：A解析：由可得,,则；由,得,故,由于是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件,故选：A.5．答案：B解析：在中,而,则,所以,故,所以.故选：B.6．答案：B解析：的展开式的通项公式为,则的展开式中x的奇数次幂项的系数和为,故,则,故选：B.7．答案：C解析：由题意知函数的定义域为R，则，则，又，故在R上单调递增，故，即，即，则，解得，即实数a的取值范围是.故选C.8．答案：C解析：如下图,取上一点P,使,连接,由平面平面,平面平面,由平面平面,则,,故为平行四边形,即且,由平面平面,平面平面,由平面平面,则,,故为平行四边形,即且,综上,,故为平行四边形,则,由,则,故,由,则,所以,则,可得.故选：C.9．答案：ABD解析：,对于A,,则,故A正确；对于B,,故B正确；对于C,,,则,故C错误；对于D,,故D正确.故选：ABD.10．答案：BC解析：因为,所以,所以,所以,所以.所以或.即或.若,则显然不成立,所以不成立,故A错误；若,则,所以,所以,因为,所以,所以,所以,故B正确；因为,所以为锐角,所以.所以,.因为的面积为,所以,所以,即,故C正确；由余弦定理,,所以,故D错误.故选：BC.11．答案：AC解析：由题意可设,而,故,由,得,则可得,所以,故,即,故E的方程为,B错误；由,得,故,当且仅当时等号成立,A正确；当直线与E相切时,设直线的方程为,联立,得,则,即得,又因为在直线上,故,代入,得,联立,解得,由,得,则,C正确；由椭圆的对称性,不妨取内心在第一象限内情况,为直角三角形,设其内切圆半径为r,则内切圆圆心为,若内心在E外部,则需满足,即；又,则,由于,设,由于考虑的是第一象限情况（可包含坐标轴）,故,则,设,则,则,由于,故与矛盾,即不存在线段,使得内心在E外部,D错误,故选：AC.12．答案：14解析：由于样本数据的平均数为8,故,的平均数为,则,故数据,的平均数为,故答案为：14.13．答案：解析：设四棱台的上底面面积为,下底面面积为S,高为h,由于,四边形和四边形相似,故,则；又,又,,所以,所以,故答案为：.14．答案：解析：由,所以,令,则,所以,当时,当或时,所以在上单调递减,在、上单调递增,由,故的最小值为.故答案为：.15．答案：(1)证明见详解(2)解析：(1)证明：当时,,又,,所以,当时,,又,所以,即,所以数列是首项为3,公差为2的等差数列.(2)由(1)知数列是首项为3,公差为2的等差数列,则,,,所以数列的前n项和.16．答案：(1)(2)分布列见解析,数学期望为1解析：(1)记“2和4的小球不相邻”为事件A,则,所以2和4的小球不相邻的概率为.(2)X的所有可能取值为.,,X的分布列如下：X012P数学期望.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)连接交于O,因为为菱形,故；又因为,O为的中点,故,,平面,故平面,而平面,故.(2)以O为坐标原点,以为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,结合(1)可设,因为,所以,即,而,,故,解得,因为,则,故,故,则,,设平面的法向量为,则,则,令,则,则,又,则,即直线与平面所成角的余弦值为.18．答案：(1)答案见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.解析：(1)由题设,令,则,当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,由,当时,,则在R上单调递增,无极值点；当时,,或时,所以在、上各存在一个零点,分别取,所以、上,上,所以在、上单调递增,在上单调递减,此时有两个极值点,综上,在时无极值点,在时有两个极值点；(2)（i）令且,则,所以在上单调递增,则,所以,当有,结合(1)及已知,则,且,又在上单调递减,则,所以,得证；（ii）令且,则,令,则,即在上单调递增,所以,则在上单调递增,,由,且,又,结合(1)在上单调递减,则,所以,得证.19．答案：(1)(2)证明见解析(3)为定值,解析：(1)由题意,抛物线准线方程为,故,所以抛物线的标准方程为.(2)设,由于在第一象限,故斜率