高等代数电子教案 第6章 线性空间

PAGEPAGE1《高等代数》教学教案第6章线性空间授课序号01教学基本指标教学课题第6章第1节线性空间的定义与基本性质（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点线性空间定义、常用的线性空间实例教学难点抽象定义到具体实例的过渡参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉线性空间的定义和基本性质；能够准确判断带有加法和数乘运算的集合是否为线性空间；熟悉一些常用的线性空间.教学基本内容基本定义设是一个非空集合,是一个数域.在集合的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法,记作“+”,即对任意的.在数域与集合的元素之间还定义了一种运算叫做数量乘法,记作“”,即对任意的.对于任意的,如果“+”和“”满足下述8条规则,则称为数域上的线性空间：(3)在中存在一个元素,使得,称为加法的零元素;(4)存在,使得,称为的负元素;(5)(6)(7)(8)线性空间的基本性质设是数域上的线性空间,对于任意的,下面的性质成立：的零向量唯一,的负向量唯一,记作(3)如果,则或者.三.例题以下是常见的线性空间的例子:设是一个数域,是自然数,(1)集合对于中数的加法和乘法是数域上的一个线性空间；(2)对于向量的加法和数乘运算是上一个线性空间；(3)对于矩阵的加法和数乘运算是上一个线性空间；(4)上关于未定元的一元多项式集合对于多项式的加法和数乘运算是上一个线性空间；(5)也是上的一个线性空间.(6)设.则，线性方程组的解空间是数域上的一个线性空间.授课序号02教学基本指标教学课题第2节线性空间的基与维数（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点基的定义、常用线性空间基的选取教学难点线性空间基的判定参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉线性空间基的定义；能够准确判断线性空间的基；熟悉一些常用线性空间的基.教学基本内容基本定义定义1.设是数域上的一个线性空间,向量组是中个向量.如果存在中个不全为零的常数,则称向量组线性相关；否则称为线性无关.定义2.设是数域上的一个线性空间,如果存在中个向量,其中是一个自然数,它们同时满足以下两个条件：线性无关,任取,向量组线性相关,则称为线性空间的一组基.定义3.线性空间的任何一组基都包含有相同个数的向量,这个数称为的维数,记作.例题设是一个数域,是自然数,则下列结论成立：是上一个维线性空间,且是一组基；是上一个维线性空间,且是一组基；是上一个无限维线性空间,且无限向量组是一组基；是上一个维线性空间,且是一组基.设证明：是上的2维线性空间并求斐波那契数列的通项公式.授课序号03教学基本指标教学课题第3节向量的坐标、基变换与坐标变换（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点向量的坐标、过渡矩阵教学难点基变换与坐标变换参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉向量坐标的定义和求解方法；熟悉过渡矩阵的运算公式；能够求解向量在不同基下的坐标.教学基本内容基本定义定义1.设是数域上的一个维线性空间,是的一组基.任取,则可以由向量组唯一的线性表示出来,，称表示系数组成的中的向量为在基下的坐标.定义2.设是数域上的一个维线性空间,取的两组基:(I),(II).由于(I)和(II)等价,可设.将这个表达式利用矩阵运算表示出来可得，其中.称为基到基的过渡矩阵.过渡矩阵的基本性质命题1线性空间两组基之间的过渡矩阵可逆,且互为逆矩阵.命题2设和是维线性空间的两组基，且过渡矩阵为，即.取，设在基和基下的坐标分别为和.则：.例题在实数域上3维线性空间中,取它的两组基和,分别求向量在这两组基下的坐标.授课序号04教学基本指标教学课题第4节线性子空间（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点子空间的判定和基的扩充定理是本节的重点教学难点基的扩充定理参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉子空间的定义和判定规则；理解生成子空间的构造方式，能构造子空间；熟悉基的扩充定理.教学基本内容基本定义定义1.设是数域上一个线性空间,是的一个非空子集合.如果对于中的加法和数乘运算也是上的一个线性空间,则称是的一个线性子空间,简称为子空间.定义2.称和为的平凡子空间,其它的线性子空间叫做非平凡子空间.子空间的判定定理和基本性质命题1设是数域上的一个线性空间,是一个非空子集.如果对于中的加法和数乘运算封闭,则是的一个子空间.命题2设是数域上一个线性空间,任取的一组向量,令，则下列结论成立：是的一个子空间；任取的一个子空间,其中,则.命题3.(1)两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.(2)的维数等于向量组的秩.命题4.设是数域上一个维线性空间.任取中个线性无关的向量,则存在中的个向量,使得向量组是的一组基.命题5.设是数域上一个维线性空间,是的一个维子空间.任取的一组基,则存在中的个向量,使得向量组是的一组基.例题取,令.证明：是的一个子空间.设是一个数域.证明以下结论成立：(1)是的一个子空间.(2)上阶上三角矩阵（下三角矩阵）的全体是的子空间.(3)任取,则的解空间是的一个子空间.授课序号05教学基本指标教学课题第5节子空间的交与和（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点子空间的交与和、维数公式的定义是本节的重点教学难点子空间和的构造参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉子空间交与和的定义和构造方式；理解并会用维数公式.教学基本内容基本定义定义设是数域上一个线性空间,是线性空间的两个子空间.令，称之为与的和.子空间的判定定理和基本性质命题1.设是数域上一个线性空间,是的两个子空间，则是的一个子空间.命题2.设是数域上线性空间的两个子空间,则也是的一个子空间,简称为和空间.命题3.在线性空间中,任取两组向量和,则有.命题4.设是线性空间的两个子空间,则.例题在线性空间中,取为所有上三角形矩阵构成的子空间,为所有下三角形矩阵构成的子空间,求.设分别为实数域上的全体2阶上三角矩阵空间与下三角矩阵空间.证明：.授课序号06教学基本指标教学课题第6节子空间的直和（3课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点子空间直和的定义和等价条件教学难点子空间直和的判断参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握子空间直和的定义和等价条件；掌握判定子空间直和的2钟常规方法.教学基本内容基本定义定义1.设是线性空间的子空间,如果中每个向量的分解方式唯一,即存在唯一的一组向量,使得,则称这个和是直和,记作.特别地,如果,则称是的补子空间,同时也是的补子空间.定义2.设是线性空间的子空间,如果和中每个向量的分解式都是唯一的,即存在唯一的一组向量,使得，则称和为直和,记作.子空间直和的判定定理和基本性质命题1.设是数域上的线性空间,设是线性空间的子空间.下列结论等价：和是直和；零向量表示唯一,即若,则；;.命题2.设是维线性空间的一个子空间,则一定存在的一个子空间,使得.命题3.设是的子空间,下列结论等价：(1)和是直和；(2)零向量表示唯一,即若,则;;.例题例.取的子空间.则,.讨论中向量分别在和中的分解方式.授课序号07教学基本指标教学课题第7节线性空间的同构（3课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点映射的分类、同态与同构的定义教学难点判定线性空间同构参考教材《高等代数》作业布置课后习题大纲要求掌握映射的分类和线性空间同态与同构的定义；能判断两个线性空间是否同态或者同构.教学基本内容基本定义定义1.设是两个集合,是一个法则,使得对任意都存在唯一的,有,称是集合到集合的一个映射,记作.定义2.设是集合到集合的两个映射,则当且仅当对任意,都有.定义3.设是集合到集合的一个映射,如果对于任意的且,都有,则称是一个单映射.定义4.设是集合到集合的一个映射,如果对于任意的,都存在,使得,则称是一个满映射.定义5.一个既单且满的映射称为双射.定义6.设是一个非空集合,映射,使得对任意都有,则称是的一个恒等映射.容易看出,恒等映射是一个双射,定义7.设是集合到集合的一个双射.定义到的一个映射,记作,使得对任意,规定,其中满足.称为的逆映射.定义8.设是集合到集合的一个映射,是集合到集合的一个映射.可以定义集合到集合的一个映射,使得对任意,都有.称为两个映射的乘积.定义9.设和是数域上两个线性空间.如果存在到的一个映射,满足以下两个条件：任取,都有,此时称保持加法运算,(2),此时称保持数乘运算,则称为到的一个同态映射,称和是同态的线性空间.特别地,如果是双射,则称它是到的一个同构映射,而且称和是同构的线性空间.当时,称为的一个自同态(自同构).线性空间同态或者同构的基本性质命题1.设和数域上的线性空间,是到的一个同构映射，则具有下列性质：;任取;中向量组线性相关当且仅当在中线性相关；任取;线性空间的恒等映射是的一个自同构;是到的一个同构映射;非空子集合是的子空间当且仅当是的子空间,而且;如果也是数域上的线性空间,是到的一个同构映射,则是到的一个同构映射.命题2.设是数域上一个维线性空间,则同构于.命题3.数域上两个线性空间同构当且仅当它们的维数相同.特别地,数域上维线性空间都同构于.例题例.设分别是2阶和3阶实矩阵空间,.(1),使得对于任意,都有;(2),使得对于任意,都有.(3),使得对于任意,都有.证明：不是同态映射，是同态但不是同构映射，是同构映射.授课序号08教学基本指标教学课题第8节对偶空间（2课时）课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段板书讲解为主，启发式问题讨论为辅.教学重点对偶空间的定义教学难点对偶空间的构造参考教材《高等代数》作业布置课后习