广东省深圳市龙岗区龙岭初级中学2025-2026学年八年级下期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市龙岗区龙岭初级中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。1.在跨学科学习中，数学小组给出了下面四张生物图片，则是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.深圳湾体育中心（春茧）的屋顶框架采用了大量等腰三角形构件，其中某一构件的顶角设计为40°，以适配场馆的造型，该等腰三角形构件的底角是（）A.100° B.70° C.65° D.80°3.若a＞b,则下列结论正确的是（）A.-a＞-b B.1-a＞1-b C.a+c＞b+c D.2a+1＜2b+14.在深圳龙岭学校的数学文化节上，小明在黑板上有以下四种变形，其中属于因式分解的是（）A.（x+1）（x-1）=x2-1 B.x2+2x+1=（x+1）2

C.x2+2x-1=x（x+2）-1 D.x（x-1）=x2-x5.不等式组的解集在数轴上表示正确的为（）A. B.

C. D.6.下列说法中，正确的个数是（）

①用反证法证明“等腰三角形的底角只能是锐角”时，应假设“等腰三角形的底角不是锐角”.

②一元一次不等式2x-5＜3的正整数解有4个.

③分解因式x3-x的结果是x（x+1）（x-1）.

④在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边长等于斜边长的一半.A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，直线MN分别交BC、AC于D、E点，连接AD，若AD=BD，AE=4，BD=5，则AB的长为（）A.7B.8C.9D.68.如图，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（）

①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.请写出一个满足不等式x-3＞0的一个整数解

.（答案不唯一）10.如图，深圳地铁14号线在进行轨道检修时，工程队将一段等腰三角形的轨道支撑钢架△ABC，沿轨道方向（BC方向）平移3cm,得到新的支撑钢架△DEF，已知检修后两段钢架的重叠段EC=4cm,求从原钢架起点B到新钢架终点下的总长度为

cm.11.如图，直线y1=kx+b（k＞0）与直线y2=mx+n（m＜0）交于点A，当y1＜y2时，x的取值范围是

.12.如图，深圳天文台将天文望远镜△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'进行星空观测，使CC'∥AB（望远镜平行于地平面）.已知∠CAB=65°，则旋转角∠BAB'=

°.13.如图，等边△ABC中，BC=6，M为BC的中点，P为△ABC内一动点，PM=1，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转60°得PQ，连接MQ，则线段MQ的最小值为

.

三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题7分)

因式分解：(1)7a2-21ab(2)x3y-2x2y2+xy315.(本小题8分)

(1)解不等式：3x-1≥2（x+2）(2)解不等式组：，并把解集表示在数轴上．

16.(本小题9分)

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-4，0），C（0，0）.

（1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；

（2）△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A2B2O，按要求作出图形；并求出AA2的长度；

（3）作出△ABC关于原点对称的△A3B3O，请直接写出A3的坐标.17.(本小题8分)

如图，点A，B分别在射线OP，OQ上，点C在∠POQ的内部，CA=CB，CD⊥OP，CE⊥OQ，垂足分别为D，E，AD=BE.

（1）求证：OC平分∠POQ；

（2）如果OD=6，OB=4，求OA的长.18.(本小题8分)

2025年深圳“龙岭学校”校园文旅周边开发项目持续推进，其中“卢”美术馆设计的橄榄球主题定制徽章，黑匣子剧场纪念票根套装两款文创产品深受师生喜爱，学校计划为校园文创店采购这两类型的龙岭专属文创周边共60套进行销售，其中：购进5套橄榄球主题定制徽章和3套黑匣子剧场纪念票根套装共需335元；购进2套橄榄球主题定制徽章和1套黑匣子剧场纪念票根套装共需125元(1)求这两种类型文创周边的购进单价分别是多少元(2)学校计划购进这批文创周边的总费用不超过2600元，且橄榄球主题定制徽章的售价定为50元/套，黑匣子剧场纪念票根套装的售价定为65元/套，要使这批文创周边全部售完时学校获得的利润最大，请设计最优购进方案，并求出最大利润19.(本小题110分)

综合与实践

【项目主题】配方法的应用．

【项目推备】(1)利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式x2+4x-1的最小值，由x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5可知，当x=①

时，x2+4x-1有最小值，最小值是②

．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式x2+2x-3，原式=x2+2x+1-1-3=③

=④

（写出因式分解后的结果）．

【项目解决】(2)当a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2-4a-6b+13=0时，c的取值范围是⑤

(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD=8，则四边形ABCD面积的最大值为多少20.(本小题11分)

已知△ABC为等边三角形，P是平面内的一个动点(1)【问题背景】如图1，点P在△ABC内部，连接AP并延长交BC于点D，连接BP并延长交AC于点E，若BD=CE，求∠APB的度数(2)【尝试应用】如图2，点P，D在△ABC外部，满足DC=DP，连接CP，DP，DC，DA，BP，其中E为BP中点，连接AE，DE；若∠ACD+∠CBP-∠DPB=60°，求证：AD=2DE(3)【拓展创新】如图3，点P在△ABC外部，∠APC=135°，将△ABC沿着AC翻折，得到△AB'C，连接B'P，M为线段AP上一点，且，连接B'M；若AB=4，当线段B'P的长取最小值时，直接写出△AB′M的面积．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】4

10.【答案】10

11.【答案】x＜3

12.【答案】50

13.【答案】3-1

14.【答案】【小题1】3x-1≥2（x+2），

3x-1≥2x+4，

3x-2x≥4+1，

x≥5【小题2】，

解不等式①，得x＞-1，

解不等式②，得x≤2，

把不等式①、②的解集表示在数轴上：

所以不等式组的解集是-1＜x≤2

15.【答案】【小题1】7a2-21ab=7a（a-3b）【小题2】x3y-2x2y2+xy3

=xy（x2-2xy+y2）

=xy（x-y）2

16.【答案】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求，

∴点A1的坐标为（4，4）；

（2）如图2所示，△A2B2O即为所求，

∴点A2的坐标为（-3，-1）；

∴AA2==2；

（3）如图3所示，△A3B3O即为所求，

∴A3的坐标为（1，-3）．

17.【答案】∵CD⊥OP，CE⊥OQ，

∴∠CDA=90°，∠CEB=90°（垂直的定义），

在Rt△CDA和Rt△CEB中，

，

∴Rt△CDA≌Rt△CEB（HL），

∴CD=CE（全等三角形对应边相等），

∴点C在∠POQ的平分线上，

∴OC平分∠POQ

OA=8

185.【答案】【小题1】设橄榄球主题定制徽章的购进单价是x元/套，黑匣子剧场纪念票根套装的购进单价是y元/套，

根据题意得：，

解得：．

答：橄榄球主题定制徽章的购进单价是40元/套，黑匣子剧场纪念票根套装的购进单价是45元/套【小题2】设购进m套橄榄球主题定制徽章，则购进（60-m）套黑匣子剧场纪念票根套装，这批文创周边全部售完时学校获得的利润为w元，

根据题意得：w=（50-40）m+（65-45）（60-m）=-10m+1200，

∵-10＜0，

∴w随m的增大而减小，

∵40m+45（60-m）≤2600，

∴m≥20，

∴当m=20时，w取得最大值，最大值为-10×20+1200=1000，此时60-m=60-20=40．

答：当购进20套橄榄球主题定制徽章，40套黑匣子剧场纪念票根套装时，这批文创周边全部售完时学校获得的利润最大，最大利润是1000元

19.【答案】【小题1】-2-5（x+1）2-22（x+3）（x-1）【小题2】1＜c＜5【小题3】

设AC，BD交于点O，AC长x,则BD=8-x,

S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB

=AC•OD+AC•OB

=AC（OD+OB）

=AC•BD

=x（8-x）

=-（x2-8x+16）+8

=8-（x-4）2，

∵（x-4）2≥0，

∴8-（x-4）2的最大值为8，

答：四边形ABCD面积的最大值为8

20.【答案】【小题1】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，

又∵BD=CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD=∠CBE，

∴∠BAP+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，

∴∠APB=180°-（∠BAP+∠ABP）=180°-60°=120°【小题2】证明：延长DE至N，使EN=DE，连接AN，BN，

∵E为BP中点，

∴BE=EP，

又∵∠BEN=∠DEP，

∴△BEN≌△PED（SAS），

∴BN=DP，∠PBN=∠DPB，

∵D在CP中垂线上，

∴DP=CD，

∴BN=CD，

∵∠CBP-∠DPB=∠CBP-∠PBN=∠NBC，∠ACD+∠CBP-∠DBP=60°，

∴∠ACD+∠NBC=60°，

∵∠NBC+∠ABN=∠ABC=60°，

∴∠ACD=∠ABN，

∵BN=CD，AB=AC，

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴∠BAN=∠CAD，AN=AD，

∴∠BAC=∠NAD=60°，

∴△ADN为等边三角形，

∵DE=EN，

∴AE⊥DN，

∵∠ADE=60°，

∴∠DAE=30°，

∴AD=2DE【小题3】解：作△APC的外心O连OA、OC、OP、OB′，OB′交AC于点Q．

∴∠OPC=∠OCP，∠OAP=∠OPA，

∴∠OAP+∠APC+∠OCP=∠OPA+∠OPC+∠APC=2∠APC=270°，

∴∠AOC=360°-∠OAP-∠APC-∠OCP=90°，

∴△OAC为等腰直角三角形，

∴OA=OC=AC=2，

∴OP=2为定值，又O为定点，B为定点，

∴OB为定长，

由两点之间线段最短知OP+B′P≥OB′，

即B′P≥OB′-OP，当O、B′、P在一条直线时B′P有最小值，

设OB′交AC于Q由折叠知AB′=AB=BC=B′C，

又