第二章-平面任意力系教学文稿

第二章-平面任意力系平面汇交力系可合成为一合力（通过O）：

Flash为原各力对O的矩的代数和，称主矩。为原各力的矢量和，称主矢。平面力偶系合成为一力偶：写成解析表达式，有：

主矩MO与O的位置有关，不同简化中心大小不等。主矢FR’作用线通过O，大小与简化中心无关；xi，yi为各力作用点的坐标。Xi，Yi为各力在坐标轴上的投影。利用力系向一点简化的方法，可分析固定端（插入端）支座的约束反力。固定端约束§2-4平面任意力系简化结果分析平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可分为四种情况：(1)合成为一力偶：此时与简化中心无关合力作用线正好通过简化中心，附加力偶系平衡。还可进一步简化为一合力由图知：这表明，平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和，为合力矩定理。(4)

力系平衡又已知：例：已知解：简化就是求主矢和主矩求力系向O点简化结果。若能简化为一合力，求合力作用线位置。得：求合力作用线位置：设合力与x轴的交点为(x,0)，由力矩解析式：M0=xY-yX合力通过(-0.763,0)点，方位若求作用线方程：分布载荷，为单位长度上的荷载简化一般可积分，均布时可简单处理dx段为qdx，合力为：作用在中心（由对称知）对点A的矩：由合力矩定理或积分：dx段受力为qdx，对A点的矩qdx·xqx

dx=l0MA=ql×l/2=0l=qlqdx求合力及对A点的矩。例：求三角形分布载荷合力及其作用线位置。解：分布载荷，单位：力/长度合力方向：与分布力系一致合力大小：取微段dx其上作用不变载荷：qx=qx/l求作用线位置，合力矩定理，有：合力大小为面积，作用线通过形心。§2-5平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的必要充分条件是力系的主矢和主矩(对任一点)都等与0。三个方程，可求三个未知数。上面三式称为平面任意力系的平衡方程各力对两个任选的坐标轴上的投影的代数和等于0。各力对平面上任一点的矩的代数和等于0。用解析式表示：例2-9：如图所示为研究一简支梁受力问题。已知：梁长4a、梁重P，作用于梁中点。在梁的AC段上受均布载荷q，在梁的右段上受力偶M作用，力偶矩M=Pa。求A和B处的支座反力。选梁为研究对象。分析梁的主动力和约束反力。由任意力系的平衡方程：

解：例2-10：已知P=100KN、M=20KN.m、F=400KN、L=1m、q=20KN/m。求固定端A的约束反力。受力分析，分布载荷可用F1替换，作用于三角形分布载荷的几何中心。解：列平衡方程解方程，可得：负号说明图中方向与实际情况相反平衡方程也可有另两种形式：A、B连线不能垂直于x(投影)轴A、B、C不得共线对A的矩为零时，主矢通过A或平衡。对B的矩同时为零时，或合力沿AB或平衡。投影方程和附加条件保证了平衡。力的平移定理平面任意力系简化——主矢、主矩固定端约束平面任意力系平衡——主矢主矩均为零平衡方程二矩式三矩式分布载荷FNAFByFBx解：起重机受力如图解得：例：起重机的铅直支柱AB由点B的止推轴承和点A的径向轴承支持。起重机上有载荷P1和P2作用，它们与支柱的距离分别为a和b。如A、B两点间的距离为c，求在轴承A和B两处的支座反力。§2-6平面平行力系的平衡方程也可用两个力矩方程的形式表示平行力系独立平衡方程的数目只有两个，有：这是平面任意力系的一种特殊情况。当物体受平行且垂直于x轴的力系作用时，有：FAxFAyFBx20kN10kN解：选桥为研究对象，设后轮距A为x，受力如图例：如图所示，汽车停在长20m的水平桥上，前轮压力为10kN，后轮压力为20kN。汽车前后两轮间的距离等于2.5m。试问汽车后轮到支座A的距离为多大时，方能使支座A与B所受的压力相等。§2-7静定与静不定问题、物体系的平衡

静定问题—当系统中的未知量数目等于独立平衡方程的数目时，则所有未知数都能由平衡方程求出的问题。

静不定问题—未知量的数目多于平衡方程的数目，未知量不能全部由平衡方程求出的问题。也称为超静定问题。用两根绳子悬挂一重物未知约束反力有两个，重物受平面汇交力系作用，共有两个平衡方程，是静定的。用三根绳子悬挂重物未知的约束反力有三个，而平衡方程只有两个，是静不定问题。例：图示连续梁已知q、

和a，不计梁的自重，求：A、B、C三处的约束反力。解：整体有四个未知数，取分离体，有：BC梁解得：AB梁解得：例：已知：F1=800N、F2=300N，m=500N·m。求：A处的约束反力。解：整体受力分析，五个未知数，三个方程，需分离体。由CD杆，MD=0-2F2－4FCX=0FCX=-150N由BC杆，–m+3.6FBY=0MC=0X=0FCX-FBY=0FBY=139NFBX=-150N再由AB杆，MA=0mA-3F1-6FBX=0FAX+FBY+F1=0X=0Y=0FAY+FBY=0mA=1500N·mFAX=-650NFAY=-139N§2-7平面简单桁架的内力计算

桁架：是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。

如桁架所有的杆件都在同一平面内，这种桁架称为平面桁架。桁架中杆件的铰链接头称为节点。(a)为简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个简化：桁架的杆件都是直的杆件用光滑的铰链连接桁架所受的力(载荷)都作用在节点上，且在桁架平面内桁架杆件重量略去不计，或平均分配在杆件两端节点上这样的桁架，称为理想桁架图(a)所示的桁架，去掉任意的一根杆件，桁架就会活动变形，这种桁架称为无余杆桁架。(a)(b)图(b)为有余杆桁架桁架内力计算两种基本方法：节点法和截面法节点法例：平面桁架的尺寸和支座如图。在节点D处受集中载荷P=10kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。(a)(1)求支座反力以桁架为研究对象。受力如图：解:列平衡方程：得：(2)依次以各节点为研究对象，计算各点内力节点A：节点C F3、F4未知节点D(4)解得各杆内力之后，可用尚未应用的节点平衡方程校核已得的结果。例如，可对D列出另一个平衡方程。解得F3’，与已求得的相等，计算无误。(3)判断各点受拉力或受压力截面法例：如图所示平面桁架，各杆的长度都等于1m。在节点E、G上分别作用载荷P1=10KN、P2=7KN。试计算杆1、2和3的内力。在桁架上受主动力P1和P2以及约束反力FAx、FAy、FBy的作用。列出平衡方程。解：先求桁架的支座反力，研究整体。为求杆1、2和3的内力，可作一截面m-n将三杆截断。列方程：选取桁架左半部为研究对象，并假定全受拉力。如选取桁架的右半部为研究对象，可得同样结果。例：图示结构，A处为固定端约束，C处为可动铰支座，B为铰链。已知：L1=8m，L2=10m，q=12.5N/m，M=30Nm，自重不计。求固定端A、铰B及铰支座C处的反力。解:XAMAYAYC画约束反力，四个未知数，需取分离体YCXBYB分析BC杆XBYBXAMAYA再分析AB杆例：杆AD用杆BE、CE、DE支持，各处连接均为铰接。已知M=4000Nm，q=100N/m，a=2m，不计自重。求支座A的反力及BE、CE、DE杆的内力。解：整体为对象以E点为对象，有：得：得：得：得：得：小结(1)力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。(2)平面任意力系向平面内任选一点O简化，一般情况下，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即：这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩，即：(3)平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。(4)平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：作用线通过简化中心O基本要求：(2)熟悉平面任意力系的平衡条件和各种形式的平衡方程及其适用条件，能熟练应用各种形式的平衡方程求解单个物体和简单物体系统的平衡问题。(3)掌握平面桁架内力的节点法和截面法。(4)正确理解静定与静不定的概念，会判断具体问题的静定性。(1)掌握平面任意力系向一点的简化方法与简化结果，能熟练计算平面任意力系的主矢与主矩。重点：(1)平面力系的简化方法与简化结果。(2)正确应用各种形式的平衡方程。(3)刚体及物体系统平衡问题的求解。(1)主矢与主矩的概念。(2)物体系统平衡问题的求解。(3)物体系统静定与静不定问题的判断。难点：了解：其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，它们的平衡方程如下：平面任意力系平衡方程的一般形式为：平面任意力系平衡方程的其他两种形式为：二矩式：其中A、B两点连线不得垂直x轴三矩式：其中A、B、C三点不得共线桁架由二力杆铰接构成。求平面桁架内力的两种方法：(1)节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，应用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于两个。(2)截面法：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于3。习题：2-21、2-232-31、2-38、2-54例：已知平面任意力系的四个力F1、F2、F3、F4，其投影X，Y和作用点坐标x、y列表如下(力的单位为N，长度单位为mm)试将该力系向坐标原点O简化，并求其合力作用线的方程。解：力系的主矩：力系的主矢F1F2F3F4X1-23-4Y