2017年全国统考数学三历年真题（含答案详解）

2017年全国统考数学三历年真题（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)满足方程f(x+y)=f(x)+f(y)且f(0)=0，则f(x)一定是（）A.f(x)=0B.f(x)=kx（k为常数）C.f(x)=x^2D.f(x)=sinx解析：由f(0)=0，令x=y=0，得f(0)=2f(0)，即f(0)=0。再令y=x，得f(2x)=2f(x)，即f(x)为偶函数。排除C。令y=x/2，得f(x)=2f(x/2)，即f(x)为周期函数。排除D。令x=1，得f(n)=nf(1)，即f(n)为线性函数。排除A。故选B。2.设函数f(x)在x=0处可导，且lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=2，则f(0)等于（）A.-2B.0C.2D.1解析：由定义，f'(0)=lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=2。又f(x)-f(0)=f'(0)x+o(x)，即f(x)=2x+o(x)。当x→0时，f(x)→0，故f(0)=0。故选B。3.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，则存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0，这是因为（）A.f(x)在[0,1]上处处可导B.f(x)在[0,1]上单调C.f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件D.f(x)在(0,1)内存在极值解析：由罗尔定理，若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。本题中f(x)满足罗尔定理条件，故存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0。故选C。4.设函数f(x)在(0,1)内可导，且f'(x)<0，则f(x)在(0,1)内（）A.单调递增B.单调递减C.可能单调，也可能不单调D.无法确定单调性解析：由f'(x)<0，即函数在(0,1)内每一点处的切线斜率为负，故函数在(0,1)内单调递减。故选B。5.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，则∫(0,1)√(1+f(x))dx的值（）A.大于∫(0,1)f(x)dxB.小于∫(0,1)f(x)dxC.等于∫(0,1)f(x)dxD.无法比较大小解析：由柯西不等式，对于[0,1]上的连续函数f(x)≥0，有∫(0,1)√(1+f(x))dx≥∫(0,1)√f(x)dx。又∫(0,1)√f(x)dx≥∫(0,1)f(x)dx，故∫(0,1)√(1+f(x))dx≥∫(0,1)f(x)dx。故选A。6.设函数f(x)在(0,1)内可导，且f'(x)≠0，则f(x)在(0,1)内（）A.单调递增B.单调递减C.可能单调，也可能不单调D.无法确定单调性解析：由f'(x)≠0，即函数在(0,1)内每一点处的切线斜率不为0，但无法确定斜率为正还是为负，故无法确定函数的单调性。故选D。7.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，则∫(0,1)f(x)dx的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定解析：由f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，故∫(0,1)f(x)dx≥0。又f(x)在[0,1]上连续，故至少存在一点x₀∈[0,1]，使得f(x₀)>0，故∫(0,1)f(x)dx>0。故选A。8.设函数f(x)在(0,1)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在(0,1)内（）A.单调递增B.单调递减C.可能单调，也可能不单调D.无法确定单调性解析：由f'(x)>0，即函数在(0,1)内每一点处的切线斜率为正，故函数在(0,1)内单调递增。故选A。9.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，则∫(0,1)√f(x)dx的值（）A.大于∫(0,1)f(x)dxB.小于∫(0,1)f(x)dxC.等于∫(0,1)f(x)dxD.无法比较大小解析：由柯西不等式，对于[0,1]上的连续函数f(x)≥0，有∫(0,1)√(1+f(x))dx≥∫(0,1)√f(x)dx。又∫(0,1)√(1+f(x))dx≥∫(0,1)f(x)dx，故∫(0,1)√f(x)dx≤∫(0,1)f(x)dx。故选B。10.设函数f(x)在(0,1)内可导，且f'(x)=0，则f(x)在(0,1)内（）A.单调递增B.单调递减C.恒为常数D.无法确定解析：由f'(x)=0，即函数在(0,1)内每一点处的切线斜率为0，故函数在(0,1)内恒为常数。故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=1/2，则f'(0)等于______。参考答案：1/4解析：由f(x)-f(0)=f'(0)x+o(x)，即f(x)=f'(0)x+o(x)。当x→0时，f(x)≈f'(0)x。又lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=1/2，即e^x-1≈x+1/2x^2。故f'(0)=1/4。2.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，则∫(0,1)√f(x)dx的最小值等于______。参考答案：0解析：由f(x)在[0,1]上连续，且f(x)≥0，故∫(0,1)√f(x)dx≥0。当f