湖南省湘潭市湘潭县2025-2026学年高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省湘潭市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合P={1,2}，Q={y|y=x2,x∈P}，则P∩Q=A.{1} B.{4} C.{1,4} D.{1,2,4}2.命题“∃x<0，2x2+3x−1>0”的否定是A.∃x<0，2x2+3x−1≤0 B.∃x≥0，2x2+3x−1≤0

C.∀x<0，3.与π6终边相同的角所构成的集合是(

)A.{α|α=2kπ+30°,k∈Z} B.{α|α=k⋅360°+π6,k∈Z}

C.{α|α=k4.“x<2”是“log2x<1”成立的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知a=20.2，f(x)=sinxx，c=A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a6.已知函数f(x)=3−x,x≤0lg(A.13 B.lg109 C.lg27.莱洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.莱洛三角形在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用.如图所示，等边△ABC的边长AB=2，则该莱洛三角形的面积为(

)A.2π−33

B.2(π−3)

8.若实数x，y满足ex+x−lny−e2y=2，则A.−1 B.−12 C.−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列运算中正确的有(

)A.若a+a−1=3，则a2+a−2=7

B.2713−lne=310.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(

)A.函数f(x)的最小值为−2

B.函数f(x)的图象关于点(−5π12,0)对称

C.函数f(x)在[−2π3,−π6]单调递减11.定义在(0,+∞)的函数f(x)满足如下条件：①f(xy)=f(x)y+f(y)x；②当x>1时，A.f(1)=0

B.当0<x<1时，f(x)<0

C.f(x)在(0,1)上单调递减

D.不等式(2−x)f(x−2)≥xf(x)的解集为(2,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)=ax−2+1(a>0且a≠1)，则函数f(x)的图象恒过定点P

.(13.若函数f(x)=sin(x+θ)的图象关于直线x=π3对称，请写出一个符合题意的θ值，θ=

14.如图，平行于y轴的直线分别与函数f(x)=log2x及g(x)=log2x+2的图象交于点B，C，点A(m,n)为函数g(x)图象上一点.若△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，则m=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与坐标原点重合，角θ的始边与x轴的非负半轴重合，角θ的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，点P的横坐标为−35．

(1)求sinθ，tanθ的值；

(2)求sin16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lg10−x2−ax2．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并利用定义证明；

(3)17.(本小题15分)

为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量W(单位：kg)与单株肥料费用x(单位：元)满足如下关系：W(x)=5(x2+2.4),0≤x≤248−48x+1,2<x≤5，单株总成本投入为30x(单位：元).已知这种水果的市场售价为10元/kg，且供不应求，记该生态水果的单株利润为f(x)(单位：元)．

(1)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π．

(1)求f(π6)的值；

(2)将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在x∈[0,π2]的值域；

(3)已知函数h(x)=x+3sin2x，关于19.(本小题17分)

利普希茨连续条件(Lipschitzcontinuity)是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫⋅利普希茨的名字命名.若函数f(x)的定义域为D，且[a,b]⊆D，若存在常数k(k>0)，使得[a,b]内任意x1，x2(x1≠x2)，都有k≥|f(x1)−f(x2)x1−x2|，则称f(x)在区间[a,b]上是“k−利普希茨条件函数”．

(1)判断函数f(x)=x2在[−1,0]上是否为“2−利普希茨条件函数”，并说明理由；

(2)1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】ABD

12.【答案】(2,2)

13.【答案】π6(答案不唯一14.【答案】2315.【答案】解：(1)设P(−35,y),y>0，

由题意得(−35)2+y2=1，解得y=45，

所以sinθ=45,tanθ=45−3516.【答案】(1)解：要使f(x)=lg10−x2−ax2有意义，则10−x2>0，

即10−x2>0，解不等式10−x2>0，得−10<x<10．

∴f(x)的定义域为(−10,10).

(2)解：∵f(x)的定义域为(−10,10)，关于原点对称．

f(−x)=lg10−(−x)2−a(−x)2=lg10−x17.【答案】(1)f(x)=50x2−30x+120,0≤x≤2480−30(16x+1+x),2<x≤518.【答案】解：(1)f(x)=3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)，

因为函数f(x)的最小正周期为π，则T=2πω=π，故ω=2；

所以f(π6)=3sinπ3+cosπ3=2；

(2)由(1)可知，f(x)=2sin(2x+π6)，

将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，

则g(x)=2sin(x+π6)，

x∈[0,π2]⇒x+π6∈[π6,2π3]⇒sin(x+π6)∈[12,1]，

函数g(x)在x∈[0,π2]的值域为[1,2]；

(3)f(x)=h(x)−m，代入f(x)，h(x)得3sin2x+cos2x=x+3sin2x−m，

19.【答案】函数f(x)=x2在[−1,0]上是“2−利普希茨条件函数”

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证明：要证明h(x)=sinx+2025x是“2026−利普希茨条件函数”，

只需证在