-高一数学上学期期末统考试题II

2019-2020年高一数学上学期期末统考试题(II)一、选择题1.已知集合A={x|ax2﹣5x+6=0},若2∈A,则集合A的子集个数为()A.4 B.3 C.2 D.12．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该圆锥的体积为()A.2
π B.
π C.
D.
3.已知集合A={x∈N*|﹣2＜x≤2},B={y|y=2x,x∈A}|,C={z|z=1+log2y,y∈B},则A∩C=()A．{1,2} B．{2} C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}4.函数f(x)=(
)x+
﹣3的零点所在区间是()A.（1,2) B.（0,1) C.（﹣1,0) D.（﹣2,﹣1)5．如图为一个几何体的三视图,三视图中的两
个不同的正方形的边长分别为1和2,则该几何体的体积为(）
A.6 B.7 C.8 D.96.已知α、β是两个不同平面,m,n,l是三条不同直线,则下列命题正确的是()A.若m∥α,n⊥β且m⊥n,则α⊥β B.若m⊂α,n⊂α,l⊥n,则l⊥αC.若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n D.若l⊥α且l⊥β,则α∥β7．已知幂函数f(x）=xk的图象经过函数g(x）=ax﹣2﹣
(a＞0且a≠1）的图象所过的定点,则f(
）的值等于(）A.8 B.4 C.2 D.18．已知直线l1:x+2y+t2=0和直线l2:2x+4y+2t﹣3=0,则当l1与l2间的距离最短时t的值为()A.1 B.
C.
D.29.函数y=e|x|﹣x3的大致图象是()A.
B.
C.
D.
10．如图,在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中,侧面P
AD⊥底面ABCD,PA⊥AD,PA=AD,则异面直线PB与AC所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°11．若圆C1:(x﹣1)2+(y+3)2=1与圆C2:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1外离,过直线l:x﹣y﹣1=0上任意一点P分别做圆C1,C2的切线,切点分别为M,N,且均保持|PM|=|PN|,则a+b=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.212．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x＜0时f(x)=
则方程f(x﹣2)=﹣
(x﹣2)的实数根的个数为()A.8 B.7 C.6 D.5二、填空题13.设函数f(x)=
,则f(f(
))=.14.圆O1:(x﹣2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+(y﹣1)2=9的公切线有条.15．如图所示,已知G,G1分别是棱长为4的
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的下底面和上地面的中心,点P在线段GG1上运动,点Q在下底面ABCD内运动,且始终保持
PQ=2,则线段PQ的中点M运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积为．16.函数f(x)=(2x﹣2)2+(2﹣x+2)2﹣10在区间[1,2]上的最大值与最小值之积为.三、解答题17.已知集合A={x|y=
},B={x|x＜﹣4或x＞2}(1)若m=﹣2,求A∩(∁RB);(2)若A∪B=B,求实数m的取值范围.18.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(5,1),B(1,5).(1）若
A为直角△ABC的直角顶点,且顶点C在y轴上,求BC边所在直线方程;（2)若等腰△ABC的底边为BC,且C为直线l：y
=2x+3上一点,求点C的坐标.19．已知函数f(x)=logax(a＞0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与函数g(x)=﹣
在区间[1,2]上的最大值互为相反数．(1)求a的值;（2）若函数F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在区间（﹣∞,1﹣
）上是减函数,求实数m的取值范围.20．已知半径为
,圆心在直线l1：x﹣y+1=0上的圆C与直线l2：
x﹣y+1﹣
=0相交于M,N两点,且|MN|=
(1)求圆C的标准方程;（2）当圆心C的横、纵坐标均为整数时,若对任意m∈R,直线l3：mx﹣y+
+1=0与圆C恒有公共点,求实数a的取值范围.21．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,P,Q分别是AA1,B1C1上的点,且AP=3A1P,B1C1=4B1Q．(1)求证:PQ∥平面ABC1;（2）若AB=AA1,BC=3,AC1=3,BC1=
,求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C．22.已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)=f(
)+f(
).当x＞0时,f(x)＞0(1)判断函数f(x)在R上的单调性并证明;（2）设函数g（x）与函数f（x）的奇偶性相同,当x≥0时,g（x）=|x﹣m|﹣m（m＞0）,若对任意x∈R,不等式g（x﹣1）≤g（x）恒成立,求实数m的取值范围．

2016-2017学年河南省焦作市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.已知集合A={x|ax2﹣5x+6=0},若2∈A,则集合A的子集个数为()A.4 B.3 C.2 D.1【考点】元素与集合关系的判断.【分析】把x=2代入关于x的方程ax2﹣5x+6=0,求得a的值,然后可以求得集合A,则其子集的个数是2n.【解答】解:依题意得:4a﹣10+6=0,解得a=1.则x2﹣5x+6=0,解得x1=2,x2=3,所以A={2,3},所以集合A的子集个数为22=4.故选：A.2.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该圆锥的体积为()A.2
π B.
π C.
D.
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】通过圆锥的侧面展开图,求出圆锥的底面周长,然后求出底面半径,求出圆锥的高,即可求出圆锥的体积.【解答】解:圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆,所以圆锥的底面周长为:2π,底面半径为:1,圆锥的高为:
;圆锥的体
积为:
=
π,故选D.3.已知集合A={x∈N*|﹣2＜x≤2},B={y|y=2x,x∈A}|,C={z|z=1+log2y,y∈B},则A∩C=()A．{1,2} B．{2} C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}【考点】交集及其运算.【分析】分别求出集合A,B,C,由此能求出A∩C.【解答】解:∵集合A={x∈N*|﹣2＜x≤2}={1,2},B={y|y=2x,x∈A}={2,4},C={z|z=1+log2y,y∈B}={
2,3},∴A∩C={2}.故选：B.4.函数f(x)=(
)x+
﹣3的零点所在区间是()A．(1,2) B．(0,1) C．(﹣1,0) D．(
﹣2,﹣1)【考点】二分法的定义.【分析】由函数的解析式求得f(0)f(﹣1)＜0,再根据根据函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间.【解答】解:∵f（x)=（
)x+
﹣3,∴f(0)=1+
﹣3＜0,f(﹣1)=3+
﹣3＞0,∴f(0)f(﹣1)＜0.根据函数零点的判定定理可得函数f(x）的零点所在的区间是(﹣1,0）,故选：
C.5.如图为一个几何体的三视图,三视图中的两个不同的正方形的边长分别为1和2
,则该几何体的体积为()
A.6 B.7 C.8 D.9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.【分析】由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体,分别求出它们的体积,相减可得答案.【解答】解:由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体,大正方体的棱长为2,故体积为:8;小正方体的棱长为1,故体积为:1；故组合体的体积V=8﹣1=7,故选:B6.已知α、β是两个不同平面,m,n,l是三条不同直线,则下列命题正确的是()A.若m∥α,n⊥β且m⊥n,则α⊥β B.若m⊂α,n⊂α,l⊥n,则l⊥αC．若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n D．若l⊥α且l⊥β,则α∥β【考点】空间中直线与平
面之间的位置关系.【分析】在A中,α与β相交或平行;在B中,l与α相交、平行或l⊂α;在C中,m与n相交、平行或异面;在D中,由面面平行
的性质定理得α∥β.【解答】解:由α、β是两个不同平面,m,n,l是三条不同直线,知:在A中,若m∥α,n⊥β且m⊥n,则α与β相交或平行,故A错误;在B中,若m⊂α,n⊂α,l⊥n,则l与α相交、平行或l⊂α,故B错误;在C中,若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m与n相交、平行或异面,故选C;在D中,若l⊥α且l⊥β,则由面面平行的性质定理得α∥β,故D正确．故选：D.7.已知幂函数f(x)=xk的图象经过函数g(x)=ax﹣2﹣
(a＞0且a≠1)的图象所过的定点,则f(
)的值等于()A.8 B.4 C.2 D.1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【分析】利用指数函数过定点(1,0),求出g(x)的图象过定点(2,
),代入幂函数f(x)=xk的解析式求出k的值,从而求出f(x)以及f(
)的值.【解答】解:在函数g（x）=ax﹣2﹣
（a＞0且a≠1）中,令x﹣2=0,解得x=2,此时g(x)=a0﹣
=
;所以g(x)的图象过定点(2,
),即
幂函数f(x）=xk的图象过定点(2,
）,所以
=2k,解得k=﹣1;所以f(x)=x﹣1,则f(
）=4.故选：B.8.已知直线l1:x+2y+t2=0和直线l2:2x+4y+2t﹣3=0,则当l1与l2间的距离最短时t的值为()A.1 B.
C.
D.2【考点】两条平行直线间的距离.【分析】利用平行线之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出.【解答】解:∵直线l2:2x+4y+2t﹣3=0,即x+2y+
=0.∴直线l1∥直线l2,∴l1与l2间的距离d=
=
≥
,当且仅当t=
时取等号．∴当l1与l2间的距离最短时t的值为
.故选：B.9.函数y=e|x|﹣x3的大致图象是()A.
B.
C.
D.
【考点】函数的图象.【分析】根据函数值得变化情况直接判断即可.【解答】解：当x≤0时,y＞1,故选:A10
.如图,在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,PA=AD,则异面直线PB与AC所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;异面直线及其所成的角.【分析】由已知可得:PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,分别过P,D点作AD,AP的平行线交于M,连接CM,AM,因为PB∥CM,所以ACM就是异面直线PB与AC所成的角【解答】解:由题意:底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,分别过P,D点作AD,AP的平行线交于M,连接CM,AM,∵PM∥AD,AD∥BC,PM=AD,AD=BC.∴PBCM是平行四边形,∴PB∥CM,所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角.设PA=AB=a,在三角形ACM中,AM=
a,AC=
a,CM=
a∴三角形ACM是等边三角形.所以∠ACM等于60°,即异面直线PB与AC所成的角为60°．故选:C11.若圆C1:(x﹣1)2+(y+3)2=1与圆C2:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1外离,过直线l:x﹣y﹣1=0上任意一点P分别做圆C1,C2的切线,切点分别为M,N,且均保持|PM|=|PN|,则a+b=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【考点】直线与圆的位置关系.【分析】设P(m,m﹣1),根据条件|PM|=|PN|,得到(4+2a+2b)m+5﹣a2﹣(1+b)2=0,求出a,b,利用圆C1:(x﹣1)2+(y+3)2=1与圆C2:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1外离,即可得到结论.【解答】解:设P(m,m﹣1),则∵过直线l:x﹣y﹣1=0上任意一点P分别做圆C1,C2的切线,切点分别为M,N,且均保持|PM|=|PN|,∴|PC1|2﹣1=|PC2|2﹣1,即(m﹣1)2+(m﹣1+3)2﹣1=(m﹣a)2+(m﹣1﹣b)2
﹣1,即(4+2a+2b)m+5﹣a2﹣(1+b)2=0,∴4+2a+2b=0且5﹣a2﹣(1+b）2=0,∴
或
,∵圆C1:(x﹣1)2+(y+3)2=1与圆C2:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1外离,∴
＞2,∴a=﹣3,b=1,∴a+b=﹣2,故选A.12.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x＜0时f(x)=
则方程f(x﹣2)=﹣
(x﹣2)的实数根的个数为()A.8 B.7 C.6 D.5【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】方程f(x﹣2)=﹣
(x﹣2)的实数根的个数,即方程f(x)=﹣
x的实数根的个数,即函数y=f(x)与函数y=﹣
x的图象交点的个数,画出函数y=f(x)与函数y=﹣
x的图象,数形结合,可得答案.【解答】解:方程f（x﹣2)=﹣
（x﹣2)的实数根的个数,即方程f(x)=﹣
x的实数根的个数,即函数y=f(x）与函数y=﹣
x的图象交点的个数,函数y=f（x）与函数y=﹣
x的图象如下图所示:由y=﹣(x+3)2+2与y=﹣
x相交,故两个函数图象共有7个交点,故方程f(x﹣2)=﹣
(x﹣2)的实数根的个数为7,故选:B二、填空题13.
设函数f(x)=
,则f(f(
))=1.【考点】函数的值.【分析】先求出
=
=4,从而f(f(
))=f(4),由此能求出结果.【解答】解:∵f（x）=
,∴
=
=4,f(f(
))=f(4)=
=1.故答案为：1.14.圆O1:(x﹣2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+(y﹣1)2=9的公切线有3条.【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【分析】判断两个圆的位置关系,即可判断公切线的条数．【解答】解:两圆O1:(x﹣2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+(y﹣1)2=9的圆心距为:
=5.两个圆的半径和为:5,∴两个圆外切．公切线有3条.故答案为：3.15.如图所示,已知G,G1分别是棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的下底面和上地面的中心,点P在线段GG1上运动,点Q在下底面ABCD内运动,且始终保持PQ=2,则线段PQ的中点M运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积为
.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由题意,GM=1,M的轨迹是以G为球心,1为半径的球,利用球的体积公式,可得线段PQ的中点M运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积.【解答】解:由题意,GM=1,M的轨迹是以G为球心,1为半径的球,线段PQ的中点M运动形成的曲面与正方体下底面所围成的几何体的体积为
=
,故答案为
.16.函数f(x)=(2x﹣2)2+(2﹣x+2)2﹣10在区间[1,2]上的最大值与最小值之积为
.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【
分析】求出f′(x)=2(2x﹣2)•2xln2﹣2(2﹣x+2)•2﹣xln2,由此利用导数性质能求出f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值之积．【解答】解:∵f(x)=(2x﹣2)2+(2﹣x+2)2﹣10∴f′(x）=2(2x﹣2）•2xln2﹣2(2﹣x+2）•2﹣xln2,由f′（x)=0,解得x
=
,
=(
﹣2)2+(
+2)2﹣10=(
)2+(
)2﹣10=﹣4,f(1)=(2﹣2)2+(
)2﹣10=﹣
,f(2)=(22﹣2)2+(2﹣2+2)2﹣10=﹣
,∴f(x)=(2x﹣2)2+(2﹣x+2)2﹣10在区间[1,2]上的最大值为﹣
,最小值为﹣4,∴f（x）=（2x﹣2）2+（2﹣x+2）2﹣10在区间[1,2]上的最大值与最小值之积为:
=
．故答案为：
.三、解答题17.已知集合A={x|y=
},B={x|x＜﹣4或x＞2}(1)若m=﹣2,求A∩(∁RB);(2)若A∪B=B,求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算.【分析】(1)若m=﹣2,A={x|y=
}={x|x≤﹣
1},∁RB={x|﹣4≤x≤2},即可求A∩(∁RB);（2)若A∪B=B,A⊆B,利用A={x|x≤1+m},B={x|x＜﹣4或x＞2},即可求实数m的取值范围.【解答】解：(1)m=﹣2,A={x|y=
}={x|x≤﹣1},∁RB={x|﹣4≤x≤2},∴A∩(∁RB
)={x|﹣4≤x≤﹣1};(2
）若A∪B=B,则A⊆B,∵A={x|x≤1+m},B={x|x＜﹣4或x＞2}∴1+m＜﹣4,∴m＜﹣5.18.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(5,1),B(1,5).(1)若A为直角△ABC的直角顶点,且顶点C在y轴上,求BC边所在直线方程;(2)若等腰△ABC的底边为BC,且C为直线l:y=2x+3上一点,求点C的坐标．【考点】直线的一般式方程;两条直线的交点坐标.【分析】(1)利用斜率关系建立方程,求出C的坐标,即可求BC边所在直线方程;(2)利用距离关系建立方程,即可求点C的坐标.【解答】解:(1）设C(0,y）,则
=﹣1,∴y=﹣4,∴BC边所在直线方程
,即9x﹣y﹣4=0;(2）设C(a,2a+3）,则∵等腰△ABC的底边为BC,∴(5﹣1)2+(1﹣5)2=(a﹣5)2+(2a+2)2,∴5a2﹣2a﹣3=0,∴a=1或﹣
,∴C（1,5）或（﹣
,
）．19.已知函数f(x)=logax(a＞0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与函数g(x)=﹣
在区间[1,2]上的最大值互为相反数.(1)求a的值;(2)若函数F(x)=f(x2﹣mx﹣m)在区间(﹣∞,1﹣
)上是减函数,求实数m的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义;复合函数的单调性;对数函数的图象与性质.【分析】(1)函数g(x)=﹣
当x=2时,函数取最大值﹣2,故函数f(x)=logax(a＞0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值为2,进而可得a的值;(2）若函数F(x）=f(x2﹣mx﹣m）在区间(﹣∞,1﹣
）上是减函数,则t=x2﹣mx﹣m在区间(﹣∞,1﹣
）上是减函数,且x2﹣mx﹣m＞0在区间(﹣∞,1﹣
）上恒成立,进而得到实数m的取值范围.【解答】解:（1）∵函数g（x）=﹣
在区间[1,2]上为增函数,故当x=2时,函数取最大值﹣2,故函数f(x)
=logax(a＞0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值为2,若0＜a＜1,则当x=1时,f（x)=logax取最大值0,不满足条件;若a＞1,则当x=2时,f(x）取最大值loga2=2,解得：a=
,综上可得:a=
;(2)若函数F(x)=f(x2﹣mx﹣m)在区间(﹣∞,1﹣
)上是减函数,则t=x2﹣mx﹣m在区间(﹣∞,1﹣
)上是减函数,且x2﹣mx﹣m＞0在区间(﹣∞,1﹣
)上恒成立,即
≥1﹣
且(1﹣
）2﹣m(1﹣
）﹣m≥0,解得：m∈[2﹣2
,2]．20.已知半径为
,圆心在直线l1:x﹣y+1=0上的圆C与直线l2:
x﹣y+1﹣
=0相交于M,N两点,且|MN|=
(1)求圆C的标准方程;（2）当圆心C的横、纵坐标均为整数时,若对任意m∈R,直线l3:mx﹣y+
+1=0与圆C恒有公共点,求实数a的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)由题意,设C(a,a+1),圆心到直线的距离d=
=
,求出a,可得圆C的标准方程;(2)圆C的标准方程为x2+(y﹣1)2=5,对任意m∈R,直线l3：mx﹣y+
+1=0与圆C恒有公共点,
≤
,即可求实数a的取值范围.【解答】解:（1）由题意,设C（a,a+1）,圆心到直线的距离d=
=
,∴a=0或3+
,∴圆C的标准方程为x2+(y﹣1)2=5或(x﹣3﹣
)2+(y﹣4﹣
)2=5;(2)圆C的标准方程为x2+(y﹣1)2=5,对任意m∈R,直线l3:mx﹣y+
+1=0与圆C恒有公共点,∴
≤
,∴0≤a≤5（
m2+1）,∴0≤a≤5．21.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,P,Q分别是AA1,B1C1上的点,且AP=3A1P,B1C1=4B1Q.(1)求证:PQ∥平面ABC1;（2）若AB=AA1,BC=3,AC1=3,BC1=
,求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C．【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】(1)在BB1取点E,使BE=3EB1,连结PE、QE,推导出平面ABC1∥平面PQE,由此能证明PQ∥平面ABC1.(2)推导出AB⊥CC1,BC⊥CC1,AB⊥AC,从而AB⊥平面AA1C1C,由此能证明平面ABC1⊥平面AA1C1C.【解答】证明:（1）在BB1取点E,使BE=3EB1,连结PE、QE,∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,P,Q分别是AA1,B1C1上的点,且AP=3A1P,B1C1=4B1Q,∴PE
∥AB,QE∥BC1,∵