全国统考数学二冲刺试卷｜2015考研（含答题卡）

全国统考数学二冲刺试卷｜2015考研（含答题卡）一、单项选择题（总共10题，每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论中正确的是（）A.存在唯一的ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0B.存在至少一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0C.存在多个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0D.对任意ξ∈(a,b)，f'(ξ)≠0解析：根据罗尔定理，若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在至少一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。但题目未说明f(x)在(a,b)内严格单调，故不一定唯一，选项B正确。2.极限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2的值为（）A.1/2B.1C.0D.-1/2解析：利用洛必达法则，原式=lim_{x→0}(e^x-1)/2x=lim_{x→0}(e^x)/2=1/2，选项A正确。3.设级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，且a_n>0，则下列级数中一定收敛的是（）A.∑_{n=1}^∞(a_n+1)B.∑_{n=1}^∞a_n^2C.∑_{n=1}^∞(a_n+1)^2D.∑_{n=1}^∞a_n/(a_n+1)解析：由a_n>0且∑a_n收敛，可知a_n→0，故∑a_n^2收敛（比较判别法），选项B正确。4.微分方程y''-4y'+4y=0的通解为（）A.y=(C_1+C_2x)e^{2x}B.y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}C.y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}D.y=e^{2x}(C_1+C_2x)解析：特征方程r^2-4r+4=0有重根r=2，通解为y=(C_1+C_2x)e^{2x}，选项A正确。5.设区域D为x^2+y^2≤1，则二重积分∬_D(x+y)dxdy的值为（）A.πB.0C.π/2D.2π解析：积分区域关于原点对称，被积函数x+y关于x、y均奇对称，故积分为0，选项B正确。6.曲线y=ln(x+1)在点(0,0)处的曲率为（）A.1B.2C.1/2D.π解析：y'=1/(x+1)，y''=-1/(x+1)^2，k=y''/[1+(y')^2]^{3/2}|_{x=0}=1/2，选项C正确。7.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则下列结论中正确的是（）A.存在唯一的ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0B.存在至少一个ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0C.对任意ξ∈(0,1)，f(ξ)≠0D.不存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0解析：构造g(x)=f(x)-f(x+1/2)，g(0)=f(0)-f(1/2)，g(1/2)=f(1/2)-f(1)=f(1/2)-f(0)，由f(0)=f(1)可知g(0)=-g(1/2)，故存在ξ∈(0,1/2)，使得g(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+1/2)，选项B正确。8.设向量组α_1=(1,1,1)，α_2=(1,2,3)，α_3=(1,3,k)，则当k取何值时，向量组线性无关？（）A.k=2B.k=3C.k=4D.k≠2解析：向量组秩为3当且仅当行列式|111;123;13k|=k-2=0，即k=2，选项A正确。9.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则下列结论中正确的是（）A.存在唯一的ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0B.存在至少一个ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0C.对任意ξ∈(0,1)，f(ξ)≠0D.不存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0解析：构造g(x)=f(x)-f(x+1/2)，g(0)=f(0)-f(1/2)，g(1/2)=f(1/2)-f(1)=f(1/2)-f(0)，由f(0)=f(1)可知g(0)=-g(1/2)，故存在ξ∈(0,1/2)，使得g(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+1/2)，选项B正确。10.设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，则下列结论中正确的是（）A.存在唯一的ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0B.存在至少一个ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0C.对任意ξ∈(0,1)，f(ξ)≠0D.不存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0解析：构造g(x)=f(x)-f(x+1/2)，g(0)=f(0)-f(1/2)，g(1/2)=f(1/2)-f(1)=f(1/2)-f(0)，由f(0)=f(1)可知g(0)=-g(1/2)，故存在ξ∈(0,1/2)，使得g(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+1/2)，选项B正确。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.极限lim_{x→∞}(x^2+1)/(x+1)^2的值为__________。参考答案：1解析：原式=lim_{x→∞}(x^2+1)/(x^2+2x+1)=1。2.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1，f'(0)=2，则lim_{x→0}(e^{f(x)}-1)/x的值为__________。参考答案：2解析：原式=lim_{x→0}(f(x)/x)=f'(0)=2。3.级数∑_{n=1}^∞(1/2)^n的值为__________。参考答案：2解析：等比级数，首项1/2，公比1/2，和为1/(1-1/2)=2。4.微分方程y'-y=0的通解为__________。