全国统考数学二期中试卷｜2018考研（名师编写）

全国统考数学二期中试卷｜2018考研（名师编写）一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A.存在唯一的ξ∈(a,b)，使得f'（ξ）=0B.存在至少一个ξ∈(a,b)，使得f'（ξ）=0C.存在多个ξ∈(a,b)，使得f'（ξ）=0D.对任意ξ∈(a,b)，f'（ξ）≠0解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且满足f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'（ξ）=0。选项B正确，选项A、C、D错误。2.若级数∑_{n=1}^∞a_n发散，且a_n>0，则下列结论正确的是（）A.∑_{n=1}^∞（a_n+1/n）收敛B.∑_{n=1}^∞（a_n+1/n^2）收敛C.∑_{n=1}^∞（a_n+lnn）发散D.∑_{n=1}^∞（a_n/e^n）收敛解析：由于a_n>0且级数发散，可得a_n→0。选项A中，1/n发散，故（a_n+1/n）发散；选项B中，1/n^2收敛，若a_n→0，则（a_n+1/n^2）可能收敛；选项C中，lnn发散，故（a_n+lnn）发散；选项D中，e^n增长速度快于a_n，故（a_n/e^n）收敛。正确答案为D。3.设z=f(x,y)在点（1,1）处可微，且f(1,1)=1，f_x（1,1）=2，f_y（1,1）=3，则lim_{(x,y)→(1,1)}[f(x,y)-f(1,1)-f_x（1,1)(x-1)-f_y（1,1)(y-1)]/(x^2+y^2)等于（）A.0B.1C.2D.3解析：由可微定义，f(x,y)=f(1,1)+f_x（1,1)(x-1)+f_y（1,1)(y-1)+o(√(x^2+y^2))，则原式=lim_{(x,y)→(1,1)}[o(√(x^2+y^2))]/(x^2+y^2)=lim_{(x,y)→(1,1)}o(√(x^2+y^2))/√(x^2+y^2)=0。4.若函数y=ln（x^2+1）在x=1处的曲率半径为R，则R等于（）A.2B.3C.√2D.1/√2解析：y'=2x/(x^2+1)，y''=2(1-x^2)/(x^2+1)^2，x=1时，y'=(2/2)=1，y''=(2-2)/(2)^2=0，曲率k=|y''|/（1+y'^2）^3/2=0，曲率半径R=1/k→∞。此处计算错误，需重新计算：y''=-4x/(x^2+1)^2，x=1时，y''=-4/(2)^2=-1，k=|-1|/（1+1）^3/2=√2/2，R=1/k=√2。正确答案为C。5.若函数y=√x在区间[1,4]上，用拉格朗日中值定理可得到ξ=（）A.2B.3C.2.5D.1.5解析：f(x)=√x，f(1)=1，f(4)=2，f'(x)=1/(2√x)，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(1,4)，使得f(4)-f(1)=f'（ξ)(4-1)，即2-1=1/(2√ξ)×3，解得√ξ=3/2，ξ=(3/2)^2=9/4=2.25。选项中最接近的是C。6.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足∫_0^1f(t)dt=1，则下列结论正确的是（）A.f(x)在[0,1]上恒大于0B.f(x)在[0,1]上恒小于0C.f(x)在[0,1]上至少存在一点x_0，使得f(x_0)=1D.f(x)在[0,1]上至少存在一点x_0，使得f(x_0)=0解析：由积分性质，若∫_0^1f(t)dt=1，则f(x)必须存在正值（否则积分值为0），但f(x)可能部分为负值（如f(x)=2x-1，∫_0^1(2x-1)dx=1）。选项A、B错误。若f(x)在[0,1]上恒大于0，积分值为正，但可能不为1；若恒小于0，积分值为负。选项C无依据，选项D正确，因为若f(x)在[0,1]上恒不为0，则积分值为0或无穷大。7.若函数y=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M-m等于（）A.8B.10C.12D.14解析：y'=3x^2-6x=3x(x-2)，令y'=0，得x=0,2，y(-2)=-8，y(0)=2，y(2)=0，M=2，m=-8，M-m=10。8.若函数y=arctanx在区间[0,1]上的弧长为L，则L等于（）A.ln(1+√2)B.π/4C.√2-1D.π/2解析：弧长公式L=∫_0^1√(1+(y')^2)dx，y'=1/(1+x^2)，L=∫_0^1√(1+(1/(1+x^2))^2)dx=∫_0^1√((1+x^2+1)/(1+x^2)^2)dx=∫_0^1√(1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2)dx，化简得L=∫_0^1(1+x^2)^(-1/2)dx=arctanx|_0^1=π/4。9.若函数y=e^x在区间[0,1]上的梯形法求积公式结果为T，则T与实际积分值∫_0^1e^xdx的误差绝对值等于（）A.e-1B.e-1-1/2C.1/2(e-1)D.1/4(e-1)解析：实际积分值∫_0^1e^xdx=e-1，梯形法公式T=(b-a)/2(f(a)+f(b))=(1-0)/2(e^0+e^1)=1/2(e+1)，误差|T-(e-1)|=|1/2(e+1)-(e-1)|=|1/2e+1/2-e+1|=|1/2e-1/2|=1/2(e-1)。10.若函数y=lnx在区间[1,2