武理工高等机构学课件第9章 机械人与机械臂的机构学分析

第九章机械人与机械臂的机构学分析学习目标机器人初探机器人基础知识机器人运动学基本问题及齐次变换矩阵机器人正、逆运动学研究动力学的研究方法机械臂动力学案例PID基本理论9.19.29.39.4线性化、伺服补偿器构成的动态控制9.1.1机器人初探机器人三原则：1.机器人不应该伤害人类；2.机器人应遵守人类的命令，与第一条违背的命令除外；3.机器人应能保护自己，与第一条相抵触者除外。机器人的主要特征：1.结构上：模拟了动物（特别是人）的肢体功能，空间上构成多轴驱动机器。2.通用性和灵活性：可通过编程改变机器人所完成的工作人。3.智能性：自主完成一定操作。

机器人的分类机器人按负载能力和动作空间划分超大型机器人大型机器人中型机器人小型机器人超小型机器人按技术等级划分第一代机器人第二代机器人第三代机器人按开发内容和目的分工业机器人特种机器人机器人的控制与编程根据外界环境确定任务确定运动轨迹（点动或轨迹）转换为关节空间角度转化为电机的给定值电机的伺服控制计算目标任务在笛卡尔空间的位姿任务执行内部反馈外部反馈组织级协调级执行级9.1.1机器人基础知识坐标与其齐次变换

1.两坐标之间的旋转变换

如图所示两个坐标系：A={vpn,u,v}和B{x’,y’,z’}

矩阵Q：AB的旋转矩阵。

：点P在坐标系A中的矢量表示；

：点P在坐标系B中的矢量表示则有：

(1)原点移动的坐标变换

如图所示：

：坐标系{A}下

点的位置矢量；

：坐标系{B}下任一点p的位置矢量；

：坐标系{A}下p点的位置矢量。则有：(2)(2)式在坐标系{A}中表达式：(3)

(4)齐次坐标一般的坐标变换包含非齐次项，如式（2）所示：

是与p无关的，通过引入其次坐标，这样的变换仍然可以用齐次坐标的形式表示。p的齐次坐标形式：

则（2）式的齐次坐标形式为：

其中：

本节主要内容9.2.1.机器人与机械臂运动学基本问题9.2.2.机器人与机械臂的位置和姿态9.2.3.齐次变换及其运算9.2.4.机器人与机械臂正向运动学9.2.5.机器人与机械臂逆向运动学9.2.1、机器人与机械臂运动学

基本问题问题

机器人和机械臂在笛卡尔坐标系中的运动与各关节在关节空间运动的关系。驱动空间关节空间操作空间正运动学逆运动学9.2.1.1、正、逆运动学问题正问题：已知关节运动，求手的的运动。正问题：已知手的的运动，求关节运动。运动学问题就是机器人末端（手部）与各关节的

运动关系，因此构建二者数学模型如下：机器人末端运动机器人末端运动r关节运动关节变量Θ运动学方程即为：r=f(Θ)正运动学问题即为：已知Θ，求r。运动学方问题即为：已知r，求Θ。9.2.1.2、数学模型9.2.2、机器人与机械臂的位置和姿态机器人操作的定义是指通过某种机构使零件和工具在空间运动。因而需要表达零件、工具的位置和姿态。所以提出关于机器人位姿态的描述9.2.2.1、位置描述{A}

Ap图2-1相对于坐标系的矢量

如图2-1建立一个坐标系A，用一个矢量来表示一个点Ap，可以等同于认为是空间一个位置，或者简单的用一组有序的三个数字来表示。如下：

注意：Ap表明Ap的数值是由沿着坐标轴A的距离表示9.2.2.2、姿态描述

仅仅表示空间的点不足以完全描述机器人的运动，为此我们需要描述其姿态。{A}Ap{B}

图2-2物体位置和姿态的确定为描述物体的姿态，将在物体上固定一个坐标系并且给出坐标系相对于参考系的表达。在图2-2中，已知坐标系B以某种方式固定在物体上。物体的姿态可用B来描述。{A}Ap{B}

图2-2物体位置和姿态的确定B坐标系的主轴方向单位矢量分为别：

用坐标系A表达时，B坐标系的主轴方向单位矢量分为别：

(2-1)

（2-2）

9.2.2.3、坐标系的描述二.3-1、平移坐标系的描述二.3-2、旋转坐标系的描述点的位置用矢量可以描述，物体的姿态可以用固连于物体的坐标系来描述，那么坐标系的描述可以通过平移、旋转矩阵来描述。9.2.2.3-1、平移坐标系的描述{A}

Ap

BPAPBORG图2-3平移映射

在图2-4中，BP表示位置，B相对于A仅仅做了平移运动。用APBORG表示B的原点相对于A的位置。因此，P相对于A表示为Ap：PAp=

Bp+APBORG（2-3）9.2.2.3-2、旋转坐标系的描述如果两个坐标系只有相对旋转运动，即两个坐标系的原点重合。那么可以用旋转矩阵来进行描述。

Bp

{A}{B}图2-4矢量的旋转（2-4）由式（2-4）可将空间某点相对于B系的描述转化为相对于A系的描述。9.2.3、齐次变换及其运算

对于任意两个坐标系的描述，则需通过齐次变换进行描述，采用此种形式变换，可让坐标系间一般变换形式更为简单。{A}

Ap

BPAPBORG图2-5一般情况矢量变化如图2-3所示，B系相对于A系可分解为平移和旋转两个运动，故可用上节内容表示如下：{B}

(2-5)

(2-6)

故式（2-6）也可写作：

(2-7)例3.1

图2-8表示一个坐标系B，它绕坐标系A的Z轴旋转了30度，沿A系的X轴平移10个单位，再沿A系的Y轴平移5个单位。已知BP=[370]T,求AP。

{A}

APBORGBPAp{B}图2-6经平移和旋转的坐标系B由前面内容可得齐次变换矩阵为：

已知

9.2.4、机器人与机械臂正向运动学

正运动学问题：若给定机器人关节空间的运动，求解笛卡尔空间操作手的运动，即：已知Θ，求解r=f(Θ)。9.2.4.1、D-H参数4-1.通用关节—连杆组合的D-H表示图4-1表示了三个顺序的关节和两个连杆。表示三个关节，第一个关节指定为关节n，第二个关节为关节n+1，第三个关节为关节n+2。在这些关节的前后可能还有其他关节。连杆也是如此表示，连杆n位于关节n-1与n+1之间，连杆n+1位于关节n+1与n+2之间。在图4-1中，角表示绕z轴的旋转角，d表示在z轴上两条相邻的公垂线之间的距离，a表示每一条公垂线的长度（也叫关节偏移量），角表示两个相邻的z轴之间的角度

（也叫关节扭转）。通常，只有和d是关节变量。4-1.通用关节—连杆组合的D-H表示

下一步来完成几个必要的运动，即将一个参考坐标系变换到下一个参考坐标系。假设现在位于本地坐标系

，那么通过以下四步标准运动即可到达下一个本地坐标系

。

至此，通过以上四步我们成功的从一个坐标系变换到了下一个坐标系。以上四步中第1、4步为旋转变化，2、4步为平移矩阵。通过右乘表示四个运动的四个矩阵就可以得到变换矩阵A，如下：（4-1）9.2.4.2、运动学方程

注意：由于所有的变换都是相对于当前坐标系的（即他们都是相对于当前的本地坐标系来测量与执行），因此所有的矩阵都是右乘。注：式4-1中Rot和Trans分别代表旋转平移矩阵，其具体形式如下：

例4-1求如下机器人每一个连杆的变换矩阵以及其运动学方程。图4-2六自由度串联机械臂首先需要建立各个关节坐标系，如图4-3，得出机械臂的连杆参数，如表4-1.#Θdaα1009020030040-905009060004-3机械臂的关节参考坐标系4-1各连杆D-H参数每两个相邻的参考坐标系经过四步运动即可完全重合，见式4-1，由此得出每个连杆的变换矩阵，如下：故在机器人的基座和手之间的总变换为：（4-2）

式（4-2）就包含了该机械臂的运动学方程。它们说明计算机器人坐标系6如何相对于坐标系0的位姿。9.2.5、机器人与机械臂逆向运动学

逆运动学问题：若给定笛卡尔空间操作手的运动，求解机器人关节空间的运动，即：已知r，求解Θ=f(r)。此问题是机械臂控制的关键。9.2.5.1、逆向运动学方程的解存在性：对于机械臂给定的一个位姿，则至少存在一组关节变量使机械臂到达相应的姿态。如果机械臂位置在工作空间以外，则无解。多解性：如图5-1，对求解运动学方程时候可能遇到多解问题，因为系统最终只能选择一个解，因此操作臂的多解现象会产生一些问题。解的标准是变化的，一般选取原则是“最短行程”的解。5-1多解问题9.2.5.2、运动学解实例如图5-2所示二自由度机械臂，已知机械臂的位置，求解各关节变量。5-2二自由度机械臂简图有：式中：（5-1）（5-2）（5-3）

同样，用向量形式表示此式子，则一般表示为：如图5-2所示，机械臂到达同样的姿态，有两个解。即图中的

5-2二自由度机械臂简图本章小结（1）前三节最要讲解运动学研究的两个方面的问题。并由此从最基本的机械臂的位置姿态描述出发，进而掌握机械臂的齐次变换矩阵。（2）后两节由D-H参数引入，推到机械臂的运动学方程，同时由于实际控制过程多为给定操作臂的位置需求解关节变量。进而需要要研究逆运动学过程。串联机械臂的动力学机械臂动力学前向动力学应用于机械臂计算机仿真和实时反馈控制和设计逆向动力学应用于对机械臂的计算扭矩控制9.3.1动力学的研究方法拉格朗日方程法

拉格朗日方程的一般形式为：(9.1)式中，

——广义力，它可以是力，也可以是力矩； ——系统选定的广义坐标； ——广义坐标对时间的一阶导数，即速度；

——拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它被定义为系统的动能与势能之差L=T-U。9.3.1动力学的研究方法对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉格朗日动力学方程：（1）选取完全并独立的广义坐标：（2）选定广义力：（3）求出系统的动能T和势能U，并用其构造拉格

朗日函数L=T-U；（4）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求

得机器人的动力学方程。9.3.1动力学的研究方法利用拉格朗日方程建立下图所示机械臂的动力学方程:（1）选取完全并独立的广义坐标：,；（2）选定广义力：

，；（3）代入式（9.1）得：

第1个连杆的动能，势能可分别表示为：(9.2)9.3.1动力学的研究方法式（9.2）中，是第i个连杆质量中心的位置矢量。(9.3)

9.3.1动力学的研究方法

由于各连杆的动能可用质量中心平移运动的动能和绕质量中心回转运动的动能之和来表示。

由式（9.3）知，式（9.2）中的质量中心速度平方和为：(9.4)(9.5)由式（9.2），（9.4），（9.5）通过下式：(9.6)9.3.1动力学的研究方法

可求得拉格朗日算子L，把它代入式（9.1）的拉格朗日运动方程式，整理后可得：(9.7)其中：,

9.3.1动力学的研究方法

9.3.1动力学的研究方法

是惯性力；是离心力；表示加在机械手上的重力项，g是重力加速度常数。

对于多于3个自由度的机械手，也可用同样的方法推导出运动方程式，但随自由度的增多演算将急剧增加。

9.3.1动力学的研究方法牛顿-欧拉法【基本思路】

对于每一个构件，都有

刚体的质心参照O点定义为点C，点C的位置矢量由下式给出：

9.3.1动力学的研究方法牛顿-欧拉法设刚体的质心的位置矢量为c,刚体的动量定义为定义相对于角速度的角动量：将式，对时间求导得：

，9.3.1动力学的研究方法牛顿-欧拉法

因此，从式（9.8），（9.9）

得出：

，

（9.8）,(9.9)这组方程就是著名的牛顿-欧拉方程。本节主要内容9.4.1.机械臂的控制器9.4.2.PID控制基本思想9.4.3.机械臂的动态控制9.4.4.计算力矩法9.4.5.加速度控制解决方法9.4.1.机