2025-2026学年江苏省无锡市港下中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2025-2026学年江苏省无锡市港下中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列各组线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，6cm C．4cm，5cm，9cm D．2cm，4cm，8cm2．（3分）根据下列各图中所作的“边相等、角相等”标记，其中不能使该图中两个三角形全等的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需条件（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠44．（3分）如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（）A．60° B．50° C．45° D．30°5．（3分）如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在（）A．AE上 B．EF上 C．CF上 D．AC上6．（3分）对于下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（3分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用三角形全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA8．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝高A′D′，则∠C和∠C′的关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对9．（3分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论错误的是（）A．DF+AE＞AD B．DE＝DF C．EF垂直平分AD D．AB：AC10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB+FG＝BC，其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是cm．12．（3分）如图，点C在AB的延长线上，AD＝AE，BD＝BE，则图中共有对全等三角形．13．（3分）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝5cm，CE＝4cm，则DE＝．14．（3分）已知△ABC的三边a、b、c，则化简|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|的值是．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为cm．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，若S△BCD，则BC的长为．17．（3分）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PO＝AB，P、O两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到位置时，才能使△ABC≌△POA．18．（3分）在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝3，AC＝4，点E是边AB的中点，∠CAB的角平分线交BC于点D．作直线AD，在直线AD上有一点F，连结FC、FE，则|FE﹣FC|的最大值是．三、解答题（共66分）19．（8分）如图，已知△ABC≌△DEF．（1）写出AB与DE之间的数量关系及位置关系，并说明理由；（2）若AD＝5，CF＝3，求AC的长．20．（8分）利用网格线画图：（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．21．（8分）已知：如图，△ABC．（1）请用直尺和圆规，按以下要求作图（保留作图痕迹）．作法：①作∠BAC的角平分线交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，交AD于点O；（2）判断AE，AF的数量关系，并说明理由．22．（8分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．23．（8分）如图，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BE＝CD；（2）若BD＝3CD，△ACD的面积等于5，AD＝5，求△EBD的面积．24．（8分）如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM＝PN．（1）求证PD＝PE；（2）若∠AOB＝68°，求∠MPN的度数．25．（8分）已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画出图表示．26．（10分）（1）【问题情景】如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的一动点，连接AE、AF，且∠EAF＝45°，如图，延长CB至G，使BG＝DF，通过证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF可得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF，即：BE+DF＝EF．（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线CB、DC上运动，∠EAF＝45°时，探究EF、BE、DF之间的数量关系，请说明理由．（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边DC、BC上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明．（4）【拓展应用】如图4，已知△ABC是边长为5的等边三角形，点D是△ABC外一点，连接BD、CD，且BD＝CD，∠BCD＝30°，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，求△AEF的周长．

2025-2026学年江苏省无锡市港下中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列各组线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，6cm C．4cm，5cm，9cm D．2cm，4cm，8cm【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求解即可．【解答】解：A、∵3+5＝8＞7，∴可以组成三角形，符合题意；B、∵3+3＝6，∴不可以组成三角形，不符合题意；C、∵4+5＝9，∴不可以组成三角形，不符合题意；D、∵2+4＝6＜8，∴不可以组成三角形，不符合题意．故选：A．2．（3分）根据下列各图中所作的“边相等、角相等”标记，其中不能使该图中两个三角形全等的是（）A． B． C． D．【分析】A、利用AAS可得出两三角形全等；B、利用ASA可得出两三角形全等；C、表示的是SSA，两三角形不一定全等；D、两直角三角形满足HL，可得出两直角三角形全等．【解答】解：A、此图形表示的是两角及一角的对边对应相等，利用AAS可得出两三角形全等；B、此图形表示的两角及夹边对应相等，利用ASA可得出两三角形全等；C、此图形表示的是两边及一边的对角对应相等的两三角形不一定全等；D、此图形表示的是两直角三角形的斜边与一直角边对应相等，利用HL可得出两三角形全等，故选：C．3．（3分）如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需条件（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4【分析】根据题目中给出的条件AB＝AD，AC＝AE，要用“SAS”还缺少条件是夹角：∠BAC＝∠DAE，筛选答案可选出C．【解答】解：还需条件∠1＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即：∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中：，∴△ABC≌△ADE（SAS）．故选：C．4．（3分）如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（）A．60° B．50° C．45° D．30°【分析】首先由已知可求得∠OAD的度数，通过三角形全等及四边形的知识求出∠AEB的度数，然后其邻补角就可求出了．【解答】解：∵在△AOD中，∠O＝50°，∠D＝35°，∴∠OAD＝180°﹣50°﹣35°＝95°，∵在△AOD与△BOC中，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC（SAS），故∠OBC＝∠OAD＝95°，在四边形OBEA中，∠AEB＝360°﹣∠OBC﹣∠OAD﹣∠O，＝360°﹣95°﹣95°﹣50°，＝120°，又∵∠AEB+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣120°＝60°．故选：A．5．（3分）如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在（）A．AE上 B．EF上 C．CF上 D．AC上【分析】根据加钉一根木条后，图形变为三角形，即可得出答案．【解答】解：将木头加钉在AC后，其形状就不再发生改变．因为三角形具有稳定性．故选：D．6．（3分）对于下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由角平分线的性质可判断①；由三线合一定理可判断②；由线段垂直平分线的性质可判断③；任意三角形都有三条高，据此可判断④．【解答】解：根据相关性质可得，①角平分线上的点到角两边的距离相等，所以原说法正确；②等腰三角形底边的高、中线、角平分线互相重合，所以原说法错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以原说法正确；④直角三角形有三条高线，所以原说法错误．综上所述，说法正确的有①③，所以只有选项B正确，符合题意，故选：B．7．（3分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用三角形全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【分析】利用基本作图和作图痕迹得到OA＝OB＝PC＝PD，DC＝BA，则根据“SSS”可判断△OAB≌△PCD，从而得到∠P＝∠O．【解答】解：由作图痕迹得OA＝OB＝PC＝PD，DC＝BA，所以△OAB≌△PCD（SSS），所以∠P＝∠O．故选：B．8．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝高A′D′，则∠C和∠C′的关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对【分析】先根据题意画出图形，再利用全等三角形的性质解答，画图时要注意∠C'为锐角和钝角两种情况讨论．【解答】解：当∠C′为锐角时，如图1所示：∵AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，在Rt△ADC和Rt△A′D′C'中′，，∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C'（HL），∴∠C＝∠C′＝60°；当∠C'为钝角时，如图2所示，∵AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，在Rt△ADC和Rt△A′D′C'中′，，∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL），∴∠C＝∠A′C′D′，∵∠A′C′D′+∠A'C'B'＝180°，∴∠C+∠A'C'B'＝180°，综上所述，∠C和∠C的关系是相等或互补；故选：C．9．（3分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论错误的是（）A．DF+AE＞AD B．DE＝DF C．EF垂直平分AD D．AB：AC【分析】由角平分线的性质可得DE＝DF，由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AFD，可得AE＝AF，线段垂直平分线性质定理推出AD垂直平分EF，由三角形的三边关系可得AE+DF＞AD，由三角形面积公式可得S△ABD：S△ACD＝AB：AC，即可求解．【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF，故B正确，不符合题意；在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，又∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF，故C错误，符合题意；在△AFD中，AF+DF＞AD，又∵AE＝AF，∴AE+DF＞AD，故A正确，不符合题意；∵S△ABDAB×DE，S△ACDAC×DF，DE＝DF，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，故D正确，不符合题意；故选：C．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB+FG＝BC，其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【分析】①根据角度之间的计算和角平分线的性质即可得到答案；②由平行线的性质和全等三角形的判定与性质可证得答案；③利用平行四边形的判定与性质即可证得答案；④根据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可证得答案．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠AEB，∵AD⊥BC，∴∠DBE+∠BFD＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠BFD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠DBE＝90°﹣∠AFE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，∴90°﹣∠AEB＝90°﹣∠AFE，∴∠AEB＝∠AFE，∴AE＝AF，故①正确；∵∠BAC＝90°∴∠BAF+∠DAC＝90°，∴∠BAF＝90°﹣∠DAC，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠DAC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DAC，∴∠C＝∠BAF，∵FH∥AC，∴∠C＝∠BHF，∴∠BAF＝∠BHF，∵BF＝BF，∠ABE＝∠CBE，∴△ABF≌△HBF（AAS），∴AF＝FH，故②正确；∵AE＝AF，AF＝FH，∴AE＝FH，∵FG∥BC，FH∥AC，∴四边形FHCG是平行四边形，∴FH＝GC，∴AE＝GC，∴AE+EG＝GC+EG，∴AG＝CE，故③正确；∵四边形FHCG是平行四边形，∴FH＝GC，∵△ABF≌△HBF∴AB＝HB，∴AB+FG＝HB+HC＝BC，故④正确，综上所述，①②③④均正确，故选：A．二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是6cm．【分析】本题还可根据全等三角形的对应边上的高相等，求出BC边上的高，即可得到EF边上的高．【解答】解：∵△ABC≌△DEF∴S△DEF＝S△ABC＝18cm2，设EF边上的高为h，则•EF•h＝18即6×h＝18h＝6故答案为：6．12．（3分）如图，点C在AB的延长线上，AD＝AE，BD＝BE，则图中共有3对全等三角形．【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．【解答】解：在△ABD和△ABE中，，∴△ABD≌△ABE（SSS）；∴∠DAB＝∠EAB，∠ABD＝∠ABE，∵AD＝AE，∠DAC＝∠EAC，AC＝AC，∴△ADC≌△AEC（SAS），∴DC＝EC，∠DCA＝∠ECA，∵BC＝BC，∠DCB＝∠ECB，DC＝EC，∴△DCB≌△ECB（SAS）；综上分析可知：全等的三角形有3对．故答案为：3．13．（3分）如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过点B，C作经过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝5cm，CE＝4cm，则DE＝9cm．【分析】根据同角的余角相等求出∠ABD＝∠CAE，再利用“角角边”证明△ABD和△CAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BE，AD＝CE，再根据DE＝AD+AE代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥AD，CE⊥AE，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠D＝∠E＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE＝BE＝5cm，AD＝CE＝4cm，∴DE＝AD+AE＝5+4＝9cm．故答案为：9cm．14．（3分）已知△ABC的三边a、b、c，则化简|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|的值是2c﹣2b．【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|＝（a+c﹣b）﹣（a+b﹣c）＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b，故答案为：2c﹣2b．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为6cm．【分析】先利用角平分线的性质得到DC＝DE，则△DEB的周长＝BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，所以△DEB的周长＝AE+BE＝AB．【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，∴△DEB的周长＝DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE，在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴AE＝BC，∴△DEB的周长＝AE+BE＝AB＝6cm．故答案为6．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，若S△BCD，则BC的长为3．【分析】过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M，证明△ABC≌△CMD（AAS），则BC＝DM，所以S△BCDBC2，即可求BC．【解答】解：过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M，∵CD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠MCD＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠MCD，∵CD＝AC，∴△ABC≌△CMD（AAS），∴BC＝DM，∴S△BCDBC×DMBC2，∴BC＝3，故答案为3．17．（3分）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PO＝AB，P、O两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到C点位置时，才能使△ABC≌△POA．【分析】要使△ABC≌△POA，根据全等三角形的性质可得AC＝PA，则说明当P运动到C时△ABC≌△POA．【解答】证明：当△ABC≌△POA时，根据全等三角形角和边的对应关系可知，AC＝PA，∴此时P点和C点重合，∴当P点运动到C点时△ABC≌△POA．故答案为：C点．18．（3分）在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝3，AC＝4，点E是边AB的中点，∠CAB的角平分线交BC于点D．作直线AD，在直线AD上有一点F，连结FC、FE，则|FE﹣FC|的最大值是2.5．【分析】先根据转化思想确定最大值，再根据线段的和差求解．【解答】解：∵点E是边AB的中点，∴AEAB，在AC上取点P，使得AP＝AE，∵∠CAB的角平分线交BC于点D，∴∠FAP＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△APF≌△AEF（SAS），∴PF＝FE，∴|FE﹣FC|＝|PF﹣FC|≤CP＝AC﹣AP＝4﹣1.5＝2.5，故答案为：2.5．三、解答题（共66分）19．（8分）如图，已知△ABC≌△DEF．（1）写出AB与DE之间的数量关系及位置关系，并说明理由；（2）若AD＝5，CF＝3，求AC的长．【分析】（1）根据△ABC≌△DEF，推出AB＝DE，∠A＝∠D，根据平行线的判定推出AB∥DE；（2）根据△ABC≌△DEF，推出AC＝DE，进而推出AF＝CD，由AD＝AF+CD+FC＝2AF+FC＝2AF+3＝5，推出AF，进而求出AC．【解答】解：（1）AB∥DE，AB＝DE；理由：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠A＝∠D，∴AB∥DE；（2）∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DE，∴AC﹣CF＝DF﹣CF，即AF＝CD，又∵AD＝5，CF＝3，∴AD＝AF+CD+FC＝2AF+FC＝2AF+3＝5，∴AF＝1，∴AC＝AF+FC＝4，∴AC的长为4．20．（8分）利用网格线画图：（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．【分析】（1）作∠CAB的角平分线AT交BC于点P，点P即为所求．（2）作线段BC的垂直平分线交AT于点Q，点Q即为所求．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）如图，点Q即为所求．21．（8分）已知：如图，△ABC．（1）请用直尺和圆规，按以下要求作图（保留作图痕迹）．作法：①作∠BAC的角平分线交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，交AD于点O；（2）判断AE，AF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据要求利用尺规作出图形即可；（2）证明△AOE≌△AOF（ASA）可得结论．【解答】解：（1）如图射线AD，直线EF即为所求；（2）结论：AE＝AF，理由如下．∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EF垂直平分AD，∴EF⊥AD于点O，∴∠AOE＝∠AOF＝90°，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF．22．（8分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．【解答】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．23．（8分）如图，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BE＝CD；（2）若BD＝3CD，△ACD的面积等于5，AD＝5，求△EBD的面积．【分析】（1）根据题意可知∠EAB＝∠CAD，再根据SAS即可证明△EAB≌△DAC，即可解答．（2）根据题意得出S△BAD＝3S△CAD＝15，S△EAD＝12.5，再由三角形全等得到S△EAB＝S△CAD＝5，即可解答．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，∴∠EAB＝∠CAD．在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴BE＝CD．（2）解：由题意可得：S△BAD＝3S△CAD＝3×5＝15．∵AD＝4，∠EAD＝90°，AE＝AD，∴．∵△EAB≌△DAC，∴S△EAB＝S△CAD＝5，∴S四边形AEBD＝S△ABE+S△ABD＝5+15＝20，∴S△EBD＝S四边形AEBD﹣S△EAD＝20﹣12.5＝7.5．24．（8分）如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM＝PN．（1）求证PD＝PE；（2）若∠AOB＝68°，求∠MPN的度数．【分析】（1）根据角平分线的性质证明PD＝PE即可；（2）根据四边形内角和得出∠DPE＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°，证明Rt△PDM≌Rt△PEN（HL），得出∠MPD＝∠NPE，根据∠MPN＝∠MPE+∠NPE＝∠MPE+∠MPD＝∠DPE＝112°，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；（2）解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDM＝∠PEN＝90°，∴∠DPE＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°，在Rt△PDM与Rt△PEN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PEN（HL），∴∠MPD＝∠NPE，∴∠MPN＝∠MPE+∠NPE＝∠MPE+∠MPD＝∠DPE＝112°．25．（8分）已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画出图表示．【分析】（1）求证AB＝AC，就是求证∠B＝∠C，可通过构建全等三角形来求．过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，那么可以用斜边直角边定理（HL）证明Rt△OEB≌Rt△OFC来实现；（2）首先得出Rt△OEB≌Rt△OFC，进而得出AB＝AC；（3）不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC．【解答】（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由题意知，在Rt△OEB和Rt△OFC中，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由题意知，OE＝OF．∠BEO＝∠CFO＝90°，∵在Rt△OEB和Rt△OFC中，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE＝∠OCF，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（3）不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB＝AC，否则AB≠AC．（如示例图）26．（10分）（1）【问题情景】如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的一动点，连接AE、AF，且∠EAF＝45°，如图，延长CB至G，使BG＝DF，通过证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF可得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF，即：BE+DF＝EF．（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线CB、DC上运动，∠EAF＝