2027届高中数学一轮复习第八章解析几何第二节圆的方程学案（教师用）

第二节圆的方程学习目标真题分布1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题．2025年全国Ⅰ卷T7必备知识·回归教材清单式排查彰显一个“准”知识导图【重要结论】1．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．回归教材1.(人教A版选修一P85练习T2改编)已知点P(2，1)是圆x2＋y2＋2x－4k＋3＝0外的一点，则k的取值范围是()A．(3，＋∞) B．(－∞，3)C．22，3 2．(人教A版选修一P88习题T4)圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)，B(1，3)两点，则圆C的方程为()A．(x＋2)2＋y2＝10B．(x－2)2＋y2＝10C．x2＋(y＋2)2＝10D．x2＋(y－2)2＝103．(人教A版选修一P85练习T4)已知△ABC的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△ABC的外接圆的标准方程为____________．4．(人教A版选修一P89习题T8)长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________________．多元视角·拓展教材探究式精练收获一个“赢”视角一求圆的方程1．已知圆心在直线x－y＋1＝0上，且与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，则圆的标准方程为()A．x-322＋y-5B．x+322＋y-5C．x-322＋y+5D．x+322＋y+52．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．学霸笔记：(1)几何法：通过研究圆的性质(圆的任一弦的中垂线过圆心)进而求出圆的基本量．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程．视角二与圆有关的轨迹问题例1已知线段AB的端点B的坐标为(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动．(1)求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C，求轨迹C关于点12学霸笔记：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法(相关点法)，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练(1)已知圆C：(x－3)2＋y2＝9，D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足DM＝2DE，则点A．x-522＋(y－2)2B．(x－1)2＋(y－8)2＝9C．(x－5)2＋(y－8)2＝9D．(x－8)2＋(y－1)2＝9(2)在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，B(－1，0)，|AB|＝|AC|，AC的中点为D(2，0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为________.视角三与圆有关的最值问题题型1利用几何性质求最值例2(多选)(2026·阜阳模拟)已知P(a，b)是圆C：x2＋2x＋y2－4y＝4上的点，则下列结论正确的是()A．a－b的最小值为－32B．b-2a-4的最大值为C．(a－3)2＋(b＋1)2的最小值为4D．a-2b-4学霸笔记：跟踪训练(2026·抚州模拟)已知曲线1－x＝9-y2，则A．52，2 B．5C．17+3，2 D．题型2利用对称性求最值例3已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，点M(7，12)，直线l：y＝x.点P是圆C上的动点，点Q是l上的动点，则|PQ|＋|QM|的最小值为()A．11B．12C．13D．14学霸笔记：求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练已知点P在直线y＝x－2上运动，点E是圆x2＋y2＝1上的动点，F(6，－2)，则|PF|－|PE|的最大值为()A．3B．4C．5D．6提示：请完成课时作业47第二节圆的方程必备知识·回归教材回归教材1．解析：由题意得22＋02－4(－4k＋3)>0且22＋12＋4－4k＋3>0，解得k∈12答案：D2．解析：方法一线段AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－0)，即x＋y－2＝0，令y＝0，则x＝2，即所求圆的圆心(2，0)，所以圆的半径r＝2+12+-12＝10.故所求圆的方程为(x方法二设圆C的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为圆C的圆心在x轴上，且圆C过点A(－1，1)和B(1，3)，所以b＝0，-1-a2+1-b2＝r2，1-a2+答案：B3．解析：设△AOB的外接圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则4-a2+0-b2＝r2，0-a2+0-b2＝r2，0-a2答案：(x－2)2＋y-3224．解析：设线段AB的中点为P(x，y)，若A，B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且O为直角顶点，则OP＝12AB，而AB＝2a，所以OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆，方程为x2＋y2＝a2(a＞0)；若A，B有一个是原点，同样满足x2＋y2＝a2(a＞0)，故线段AB的中点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(a答案：x2＋y2＝a2(a＞0)多元视角·拓展教材视角一1．解析：因为圆与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，线段AB的中垂线方程为x＝32，所以圆心在直线x＝32上，又圆心在直线x－y＋1＝0上，由x＝32，x-y+1＝0，解得x＝32，y＝52，所以圆心坐标为32，52答案：A2．解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)．①若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝4+a2＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13；②若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝4+a2＝5，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5；③若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5，联立得方程组y＝x+1，y＝-2x+5，解得x＝43，y＝73，则半径r＝169+499＝653，所以圆的方程为x-432+y-732＝659；④答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或x-432＋y-732＝659或x-8视角二例1解析：(1)由圆(x＋1)2＋y2＝4，可得圆心为P(－1，0)，半径长为2，设线段AB中点为M(x，y)，且A(x0，y0)，因为点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，可得x＝x0+42，y＝y0+32，因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，即(x0＋1)2＋y0所以x-322＋y-所以线段AB的中点M的轨迹方程为x-322＋y-点M的轨迹是以32(2)轨迹x-322＋y-32设其方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点(a，b)和点32，32关于点所以a+3解得a＝－12所以轨迹C关于点12，12对称的轨迹方程为x+1跟踪训练解析：(1)设M(x，y)，D(a，b)，由DM＝2DE，得x-a＝4-2a，y-b＝8-2b，所以a＝4-x，b＝8-y.又因为点D在圆C：(x－3)2＋y2＝9上，所以(4－x－3)2＋(8－y)2＝9，即(x－1)2＋((2)设点A(x，y)，因为|AB|＝2|AD|，B(－1，0)，D(2，0)，所以x+12+y-02＝2x-22+y-02，化简得(x－3)2＋y2＝4，由A，B，C构成三角形，故y≠0，所以点A的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0)，设C(x′，y′)，由D(2，0)为AC的中点，则2＝x+x'2，0＝y+y'2⇒x＝4-x'，y＝-y'.代入(x－3)2＋y2＝4(y≠0)中化简得(x答案：(1)B(2)4π视角三例2解析：将x2＋2x＋y2－4y＝4化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，圆心C(－1，2)，半径r＝3.对于A，设直线l的方程为y＝x＋m，即x－y＝－m，当直线l与圆相切时，m有最大值或最小值，则-1-2+m2＝3，所以m＝3±32，所以a－b的最小值为－3－32，此时点P位于图中P1处，故A错误；对于B，设B(4，2)，当PB与圆相切时，斜率k＝b-2a-4取得最大值或最小值，直线PB的方程为y＝k(x－4)＋2，因为直线PB与圆相切，所以圆心C(－1，2)到直线y＝k(x－4)＋2的距离等于半径，即5kk2+1＝3，可得k＝±34，所以k＝b-2a-4的最大值为34，此时点P位于图中P2处，故B正确；对于C，圆心C(－1，2)到点D(3，－1)的距离为3+12+-1-22＝5>r，所以圆上的点P(a，b)到点D(3，－1)的距离的最小值为5－r＝2，所以(a－3)2＋(b＋1)2的最小值为4，此时点P位于图中P3处，故C正确；对于D，圆心C(－1，2)到直线x－2y－4＝0的距离d＝95＝955，所以点P(a，答案：BC跟踪训练解析：由1－x＝9-y2∈[0，3]，则x∈[－2，1]，两边平方整理得(x－1)2＋y2＝9，所以曲线1－x＝9-y2表示圆(x－1)2＋y2＝9的左半部分，圆心D(1，0)、半径r＝3，如图，其中B(1，－3)，C(1，3)，而x2+y+42表示该半圆上的点到点A(0，－4)的距离，由(0－1)2＋(－4)2>9，故A在圆(x－1)2＋y2＝9外，由图知，答案：B例3解析：由圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1，所以圆心C的坐标为(0，2