2025-2026湖南师大附中高一下学期期末考试数学试题（学生版+解析版）

时量：120分钟满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)A的解为()A.120°B.90°6.柜子里有3双不同的鞋，分别用a₁,a₂,b₁,b₂,C₁,C₂表示6只鞋，从中随机地取出2只.设事件A=A.AcCB.A与B独立C.7.如图，设AB=xAD,AC=yAE,线段DE与BC交于点F,且,则4x+y=()A二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.下列说法正确的是()A.有A,B,C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的A个体数为9,则样本容量为30B.数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同C.若甲组5个数据的方差为5,乙组数据为5,6,7,8,9,则这两组数较稳定的是甲D.某组样本数据为6,11,8,13,16,10,16,4,18,14,则样本数据30%分位数为9A.AA₁//平面BB₁D₁DB.A₁C⊥平面BB₁D₁DC.AC₁的长为2√6A.存在点P使得AP⊥EF三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按(50,60),(60,70),(70,80),(80,90),[90,100]分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.0^5060708090100竞赛成绩/分(2)若落在(50,60)学生的平均成绩是54.4,方差是5.2,落在(60,70)学生的平均成绩为66.4,方差是(1)求B;(2)若△ABC的面积为,且AD=2DC,求BD的最小值.题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分，有错选得0分.率.(i)在完全盲猜的情况下，求乙同学得6分的概率(要求写出样本空间).(2)若PQ=BA,PQ//BA,19.已知函数y=f(x)的定义域为R.对于实数a>0,定义集合Ma={x|f(x(2)若f(x)=[x],[x]表示不大于x的最大整数.(3)设y=f(x)是偶函数，当x∈(0,1)时，f(x)=1-x,且对任意a∈(0,1),均有Ma≌M₂.求对时量：120分钟满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复数范围内方程9x²+16=0的解为()【解析】 【解析】【解析】【解析】【详解】Qa:b:c=4:5:7,可设a所以C为钝角.5.如图，棱长为1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AC与A₁B所成的角是()A.120°B.90°【解析】【详解】连接CD₁,AD₁,因为BC=AD₁且BC/IA₁D₁,6.柜子里有3双不同的鞋，分别用a,a₂,b,b₂,C₁,C₂表示6只鞋，从中随机地取出2只.设事件A=“取出的鞋不成双”,B=“取出的鞋中包含a₁”,C=“取出的鞋都是一只脚的”,D=“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”.对上述事件的关系，下列说法正确的是()A.AcCB.A与B独立C.C与D对立D.A与D互斥【答案】B【解析】【分析】通过列举法写出试验的样本空间，再逐一判断选项即可.【详解】从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为Ω={aa₂,aqb,qb₂,ac₁,aqC₂,a₂b,ab₂,a₂C₁,a₂C₂,bb₂,b₁c₁,b₁c₂则A={ab,a₁b₂,aqc₁,a₁C₂,ab₁,ab₂,a₂G₁,a₂C₂,b₁c,b₁c₂,b₂c,b₂c₂},B={aa,ab,ab₂,q₁c,ac₂},C={ab,a₁c,a₂b₂,a₂又因此有P(AB)=P(A)P(B),故A与B独立，B正确.7.如图，设AB=xAD,AC=yAE,线段DE与BC交于点F,且,则4x+y=()CC【答案】D【分析】先计算出,进而得到,得到答案.利用共线定理的推论得到【详解】BF=AF-AB,BC=AC-AB,,所以故4x+y=5.B.2√2-2C.√3【解析】,解得h=4,二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.下列说法正确的是()A.有A,B,C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的A个体数为9,则样本容量为30B.数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同C.若甲组5个数据的方差为5,乙组数据为5,6,7,8,9,则这两组数较稳定的是甲D.某组样本数据为6,11,8,13,16,10,16,4,18,14,则样本数据30%分位数为9【解析】对于选项B:数据1,2,3,3,4,5的平均数,众数和中位数都是3,故选对于选项D:样本数据从小到大排序为4,6,8,10,11,13,14,16,16,18,10×30%=3,则30%分位数为故选项D正确.1,且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60,下列说法中正确的是()A.AA₁//平面BB₁D₁DB.A₁C⊥平面BB₁D₁DC.AC₁的长为2√6【解析】【分析】通过AA₁//BB₁可判断A,通过A₁C·BD=0,A₁C·BB₁=0可判断B,由AC²=(AA₁+AB+AD)²可判断C,对于D,法一：过A₁作A₁E⊥平面ABCD,确定B选项：ACBD=(AB+AD-AA))(AD-AB)故AC⊥BD,A₁C⊥BB₁,即A₁C⊥BD,AC⊥BB₁,又BD∩BB₁=B,且BD,BB₁C平面BB₁D₁C选项：D选项：法一(向量法):过A₁作A₁E⊥平面ABCD,垂足为E,连接EB,ED.因为A₁E⊥平面ABCD,所以A₁E⊥EB,由AC=AB+AD,法二(几何法):即四面体A₁-ABD为棱长为1的正四面体.A₁E⊥平面ABCD,AEc平面ABCD,AE⊥AE,设AA₁与平面ABCD所成角为θ,,故D正确.A.存在点P使得AP⊥EFC.当点P在侧面B₁BCC₁且满足PE=√2时，二【解析】【详解】因为E,F分别是棱A₁B₁,BB₁因为CD⊥BC,CD⊥CC₁,BCnCC₁=C,所以CD⊥平面B₁BCC₁,故CD⊥CP,又因为平面ACDn平面PCD=CD,BCc平面ACD,CPc平面PCD,在矩形B₁BCC₁内，过P作PQ⊥BC交BC于点Q,即二面角A-CD-P的正切的最大值为2,故C错误；对于D,由平面A₁B₁C₁D₁//平面A则点P为线段AB₁或AD₁上任意点(除点A外),而A₁P=AA₁=2,则,因此P点轨迹是线段AB₁,AD₁及圆弧B₁D₁(除A点外),所以P点轨迹长度,故D正确.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)【解析】【答案】【解析】所以，1与α所成的角为30.故答案为：30.14.已知锐角△ABC的面积为15,BC=4BD,E,FAD-xAB|≥|DE,|AD-yAC≥|【答案】【解析】 【分析】利用三角形面积公式得出bc=15√5,根据A|D-xAB|≥|DE,AD-yAC≥|DF|对任意x,y∈R恒成立，得出DE⊥AB,DF⊥AC,利用面积关系,利用补角关系求出,所以四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)绩x(单位：分，得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按(50,60),(60,70),(70,80),(80,90),[90,100]分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.a05060708090100竞赛成绩/分(2)若落在(50,60)学生的平均成绩是54.4,方差是5.2,落在[60,70]学生的平均成绩为66.4,方差是【答案】(1)a=0.01,中位数为78,众数为85(2)平均数为62.4;总方差为39.9【解析】【小问1详解】各组的频率分别为0.10,0.20,0.25,0.35,0.10,落在(80,90)的人数最多，由0.1+0.2+0.25=0.55>0.5可得中位数位于[70,80]中，设中位数为x,则0,即中位数为78.【小问2详解】成绩在(50,60)的学生人数为100×10×0.01=10,成绩在[60,70]的学生人数为100×10×0.02=20,(1)求B;【解析】【小问1详解】【小问2详解】题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分，有错选得0分.(1)根据以往经验，甲同学第一个多选题得满分的概率为率.(i)在完全盲猜的情况下，求乙同学得6分的概率(要求写出样本空间).【解析】【小问1详解】则A=A₁A₂A₃UAA₂A₃UAA₂A₃,且A.A₂A,A₁A₂A₃,A₁A₂A₃互斥.【小问2详解】(i)设事件B为“乙同学得6分”样本空间Ω1共有7个样本点，事件C包含AB,AC,AD其中的2个和ABC,ABD,ACD其中的1个.设平面PAB∩平面PCD=1,且l(2)若PQ=BA,PQ//BA,【答案】(1)证明：因为ABCD为平行四边形，所以AB/ICD,又AB平面PCD,CDc平面PCD,所以AB//平面PCD,【小问1详解】【小问2详解】(i)(法一：向量法)因为PB⊥平面ABCD,且AB⊥BC,所以BA,BC,BP则所以过点D作DO垂直FC于点0,连接0Q,BQ,则DO⊥平面BCFQ,又M是四边形ABPQ(不含边界)内的动点，则点M在以B为圆心，2为半径的圆上，AM=(2cosθ-2,0,2sinθ),BM=(2cosθ,0,2s则取n=(√3sinθ,sinθ,√3(1-cose)),令x=cosθ∈(0,1),则(1)若f(x)=cos2x,,(2)若f(x)=[x],[x]表示不大于x的最大整数.π一2π一2所以[x]≤[x+a]≤[x+a₂]=[x],故[x]=[x+a],所以f(x+a)=f(x),所以x∈Ma;另一方面，0<a₁<a₂<1,所以0<1-a₂<1-a₁<1,取,则0<1-a₂<x₁<1-a₁<1,f[x+(-2x)]=f(-x)=f(x),