2026年四川省人教版高中数学第5章函数图像与性质测试题

2026年四川省人教版高中数学第5章函数图像与性质测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：函数f(x)由两个绝对值函数相加构成，其图像由三条直线段组成，分别在x=-2，x=1处折点。通过分段讨论可得，当-2≤x≤1时，f(x)=3-x+x=3，故最小值为3。选项B正确。2.函数y=2sin(3x+π/4)的图像向右平移φ个单位后，得到函数y=2sin3x的图像，则φ的值为（）A.π/12B.π/4C.π/3D.π/2解析：根据函数平移性质，y=2sin(3x+π/4)→y=2sin[3(x-φ)+π/4]，需满足3(x-φ)+π/4=3x，解得φ=π/12。选项A正确。3.若函数f(x)=x^2+2ax+1在x=1处的切线斜率为-4，则a的值为（）A.-3B.-1C.3D.1解析：f'(x)=2x+2a，f'(1)=2+2a=-4，解得a=-3。选项A正确。4.函数y=1/(x-1)的图像关于点(2,0)对称的函数为（）A.y=-1/(x+1)B.y=1/(x-3)C.y=-1/(x-3)D.y=1/(x+1)解析：函数y=1/(x-1)的对称变换需满足y=-f(4-x)，即y=-1/(4-x-1)=-1/(x+3)。选项C正确。5.函数f(x)=x^3-3x+1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(-1)>0为极小值，f''(1)<0为极大值，故有两个极值点。选项C正确。6.函数y=ln(x^2-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,3)∪(3,+∞)D.R解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0恒成立，故定义域为R。选项D正确。7.函数y=2cos^2x-sin2x的值域为（）A.[-1,3]B.[-3,1]C.[-2,2]D.[-1,2]解析：y=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)，故值域为[1-√2,1+√2]。选项D正确。8.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2在(-1,1)区间内的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：令h(x)=e^x-1-x^2，h'(x)=e^x-2x，h''(x)=e^x-2，h''(x)=0得x≈0.35，h'(x)在(-1,0.35)递减，(0.35,1)递增，h'(-1)>0,h'(1)>0,h(0)=0，故有2个交点。选项C正确。9.函数y=√(x^2+1)-x的单调递增区间为（）A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.R解析：y'=1/(2√(x^2+1))-1，令y'≥0得x≤0，故单调递增区间为(-∞,0)。选项A正确。10.若函数f(x)=x^3+px+q的图像与直线y=3x有两个交点，则p+q的值为（）A.-3B.3C.6D.-6解析：令g(x)=x^3+px+q-3x=x^3+(p-3)x+q，需有两个不同实根，Δ=(p-3)^2-4q=0，且g(0)=q≠0，取p=0得q=9，p-3=-6，故p+q=-6。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=2cos(x+π/3)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。2.函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值为________。参考答案：3解析：对称轴x=2∈[1,3]，f(1)=0,f(3)=0,f(2)=3，最大值为3。3.若函数y=Asin(ωx+φ)的图像过点(π/4,1)，且周期为π，则φ的值为________（k∈Z）。参考答案：2kπ+π/4解析：T=2π/ω=π⇒ω=2，y=Asin(2x+φ)|_{x=π/4}=1⇒2π/4+φ=2kπ+π/2⇒φ=2kπ+π/4。4.函数y=1/(x^2-2x+3)的值域为________。参考答案：(0,1/2]解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2，故y≤1/2，当x=1时取等，值域为(0,1/2]。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的曲率为________。参考答案：3解析：f''(x)=6x-6，f''(2)=6，曲率K=|f''(x)|/[(1+f'(x)^2)^3/2]|_{x=2}=3。6.函数y=ln(x+√(x^2+1))的导数为________。参考答案：1/(√(x^2+1))解析：y'=1/(x+√(x^2+1))•(1+x/(√(x^2+1)))=1/(√(x^2+1))。7.函数f(x)=e^x-1与g(x)=xlnx在(0,+∞)区间内的交点个数为________。参考答案：1解析：令h(x)=e^x-xlnx-1，h'(x)=e^x-1/x-1，h''(x)=e^x+1/x^2>0，h'(x)在(0,+∞)递增，h'(1)<0,h'(e)>0，故有唯一零点。8.函数y=2sinx+cos2x的图像关于点(π/2,0)对称的函数为________。参考答案：-2sinx+cos2x解析：y=-f(π-x)=-[2sin(π-x)+cos2(π-x)]=-2sinx+cos2x。9.若函数f(x)=x^3+px^2+qx+1在x=1处的切线与直线y=3x平行，则p+q的值为________。参考答案：-2解析：f'(x)=3x^2+2px+q，f'(1)=3+2p+q=3⇒2p+q=0，又f(1)=0⇒1+p+q+1=0⇒p+q=-2。10.函数y=1/(x^2+1)在区间(-1,1)上的平均值等于________。参考答案：1/2解析：∫_{-1}^11/(x^2+1)dx=[arctanx]_{-1}^1=π/4-(-π/4)=π/2，平均值=π/2/(1-(-1))=π/4=1/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=|x|在x=0处不可导。参考答案：正确解析：左右导数不相等，f'_-(0)=-1≠f'_+(0)=1。2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数在区间(f(a),f(b))上单调递减。参考答案：正确解析：反函数定义满足此性质。3.函数y=cos|x|是偶函数但非周期函数。参考答案：正确解析：f(-x)=f(x)为偶函数，但不存在T>0使f(x+T)=f(x)。4.函数f(x)=x^3-3x+1的图像必过点(1,1)。参考答案：错误解析：f(1)=1-3+1=-1≠1。5.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则必有f'(c)=0。参考答案：错误解析：拐点处可能f'(c)=0但非极值。6.函数y=1/x在区间(1,+∞)上单调递减。参考答案：正确解析：y'=-1/x^2<0。7.函数y=sin^2x是周期为π的周期函数。参考答案：正确解析：y'=2sinxcosx=sin2x，周期T=π。8.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则其在该区间上必有最值。参考答案：正确解析：闭区间上连续函数必有最值。9.函数y=e^x是R上的严格增函数。参考答案：正确解析：y'=e^x>0。10.函数y=ln(x^2)与y=2lnx在(0,+∞)上单调性相同。参考答案：错误解析：y=ln(x^2)在(0,+∞)单调增，y=2lnx在(0,+∞)单调增，但y=ln(x^2)在(-∞,0)也单调增，故定义域不同导致结论错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点及极值。参考答案：极小值点x=2，极小值f(2)=-2；极大值点x=0，极大值f(0)=2。解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f''(0)=6>0为极小值，f''(2)=-6<0为极大值。2.求函数y=2sinx-cos2x的最小正周期。参考答案：2π解析：y=2sinx-1+2cos^2x=2sinx+1-2sin^2x=2sinx+1-2(1-cos^2x)=2sinx+2cos^2x-1，周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。3.求函数f(x)=x/(x^2+1)的单调区间。参考答案：递增区间(-1,1)，递减区间(-∞,-1)∪(1,+∞)。解析：f'(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=-x^2+1/(x^2+1)^2，令f'(x)≥0得-x^2+1≥0⇒-1≤x≤1。4.求函数y=ln(x+√(x^2+1))的反函数。参考答案：y=1/(1-x)解析：令y=ln(x+√(x^2+1))，则e^y=x+√(x^2+1)，e^y-x=√(x^2+1)⇒(e^y-x)^2=x^2+1⇒e^(2y)-2e^y=1⇒x=1/(e^y-1)=1/(1-e^(-y))=1/(1-x)。5.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最值。参考答案：最大值f(-1)=5，最小值f(2)=-2。解析：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2，端点f(-1)=5,f(3)=3，比较得最大值5，最小值-2。6.求函数y=1/(x^2+1)在区间[-1,1]上的平均值。参考答案：1/2解析：平均值=(1/(1+1^2)+1/(1+(-1)^2))/2=1/2。7.求函数f(x)=x^3-3x+1的拐点。参考答案：拐点(1,1)。解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，f''(1)=0，且f''(x)在x=1两侧变号。8.求函数y=2cosx-sin2x的图像的对称中心。参考答案：对称中心为(π/4,1)。解析：令2cosx-sin2x=1⇒2cosx-2sinxcosx=1⇒cosx(2-2sinx)=1⇒cosx=1/2⇒x=π/4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3+px^2+qx+1在x=1处的切线与直线y=3x平行，且f(1)=0，求f(x)的解析式。参考答案：f(x)=x^3-3x^2+3x-2解析：f'(x)=3x^2+2px+q，f'(1)=3+2p+q=3⇒2p+q=0，f(1)=1+p+q+1=0⇒p+q=-2，解得p=0,q=0，f(x)=x^3-3x^2+3x-2。2.求函数y=1/(x^2+1)在区间[-1,1]上的最大值与最小值。参考答案：最大值f(0)=1，最小值f(±1)=1/2。解析：y'=0得x=0，端点f(-1)=1/2,f(1)=1/2，比较得最大值1，最小值1/2。3.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点及极值。参考答案：极小值点x=2，极小值f(2)=-2；极大值点x=0，极大值f(0)=2。解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f''(0)=6>0为极小值，f''(2)=-6<0为极大值。4.求函数y=2sinx+cos2x的最小正周期。参考答案：2π解析：y=2sinx-1+2cos^2x=2sinx+1-2sin^2x=2sinx+2cos^2x-1，周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。5.求函数f(x)=x/(x^2+1)的单调区间。参考答案：递增区间(-1,1)，递减区间(-∞,-1)∪(1,+∞)。解析：f'(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=-x^2+1/(x^2+1)^2，令f'(x)≥0得-x^2+1≥0⇒-1≤x≤1。6.求函数y=ln(x+√(x^2+1))的反函数。参考答案：y=1/(1-x)解析：令y=ln(x+√(x^2+1))，则e^y=x+√(x^2+1)，e^y-x=√(x^2+1)⇒(e^y-x)^2=x^2+1⇒e^(2y)-2e^y=1⇒x=1/(e^y-1)=1/(1-e^(-y))=1/(1-x)。7.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最值。参考答案：最大值f(-1)=5，最小值f(2)=-2。解析：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2，端点f(-1)=5,f(3)=3，比较得最大值5，最小值-2。8.求函数y=1/(x^2+1)在区间[-1,1]上的平均值。参考答案：1/2解析：平均值=(1/(1+1^2)+1/(1+(-1)^2))/2=1/2。9.求函数f(x)=x^3-3x+1的拐点。参考答案：拐点(1,1)。解析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，f''(1)=0，且f''(x)在x=1两侧变号。10.求函数y=2cosx-sin2x的图像的对称中心。参考答案：对称中心为(π/4,1)。解析：令2cosx-sin2x=1⇒2cosx-2sinxcosx=1⇒cosx(2-2sinx)=1⇒cosx=1/2⇒x=π/4。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.A4.C5.C6.D7.D8.C9.A10.D解析：2.绝对值函数图像分析，f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2,1处折点，-2≤x≤1时f(x)=3，最小值3。3.函数平移性质，y=2sin(3x+π/4)→y=2sin3(x-φ+π/4)，需满足3x-3φ+π/4=3x⇒φ=π/12。4.切线斜率即导数值，f'(1)=2+2a=-4⇒a=-3。5.函数对称变换，y=1/(x-1)关于(2,0)对称的函数为y=-1/(x-2+1)=-1/(x-3)。6.极值点分析，f'(x)=3x^2-3，驻点x=±1，f''(-1)>0为极小值，f''(1)<0为极大值，共2个极值点。7.定义域求解，x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0恒成立，定义域为R。8.三角函数化简，y=1+cos2x-sin2x=1-√2sin(2x-π/4)，值域为[1-√2,1+√2]。9.函数交点分析，令e^x-1=x^2⇒h(x)=e^x-x^2-1，h'(x)=e^x-2x，h''(x)=e^x-2，h''(x)=0得x≈0.35，h'(x)在(-1,0.35)递减，(0.35,1)递增，h'(-1)>0,h'(1)>0,h(0)=0，共2个交点。10.单调性分析，y'=1/(2√(x^2+1))-1，令y'≥0得x≤0，单调递增区间为(-∞,0)。11.函数交点分析，令x^3+px+q=3x⇒x^3+(p-3)x+q=0，Δ=(p-3)^2-4q=0，且q≠0，取p=0得q=9，Δ=36-36=0，唯一实根，p+q=-6。二、填空题1.2π12.313.2kπ+π/414.(0,1/2]15.316.1/(√(x^2+1))2.118.-2sinx+cos2x19.-220.1/2解析：3.周期公式T=2π/|ω|=2π/1=2π。4.闭区间上极值分析，驻点x=2，端点f(1)=0,f(3)=0，最大值f(2)=3。5.周期函数反函数对称性，y=Asin(ωx+φ)过(π/4,1)⇒2π/4+φ=2kπ+π/2⇒φ=2kπ+π/4。6.分母最小值分析，x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2，y≤1/2，当x=1时取等。7.曲率公式K=|f''(x)|/[(1+f'(x)^2)^3/2]|_{x=2}=3。8.复合函数求导，y'=1/(x+√(x^2+1))•(1+x/(√(x^2+1)))=1/(√(x^2+1))。9.零点存在性，令h(x)=e^x-xlnx-1，h'(x)=e^x-1/x-1，h''(x)=e^x+1/x^2>0，h'(x)在(0,+∞)递增，h'(1)<0,h'(e)>0，唯一零点。10.函数对称变换，y=-f(π-x)=-[2sin(π-x)+cos2(π-x)]=-2sinx+cos2x。11.切线平行条件，f'(1)=3+2p+q=3⇒2p+q=0，f(1)=1+p+q+1=0⇒p+q=-2，解得p=0,q=0，p+q=-2。12.积分平均值公式，∫_{-1}^11/(x^2+1)dx=[arctanx]_{-1}^1=π/2，平均值=π/2/(1-(-1))=π/4=1/2。三、判断题1.√22.√23.√24.×25.×26.√27.√28.√29.√30.×解析：2.绝对值函数在折点处不可导。3.反函数定义满足此性质。4.偶函数但周期为无穷大。5.f(1)=1-3+1=-1≠1。6.拐点处可能f'(c)=0但非极值。7.y'=-1/x^2<0。8.三角函数周期分析，y'=2sinxcosx=sin2x，周期T=π。9.闭区间上连续函数必有最值。10.指数函数单调增。11.y=ln(x^2)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，y=2lnx定义域为(0,+∞)，单调性相同但定义域不同。四、简答题1.极值分析：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2，f''(0)=6>0为极小值，f''(2)=-6<0为极大值，极小值f(2)=-2，极大值f(0)=2。2.周期分析：y=2sinx-1+2cos^2x=2sinx+1-2sin^2x=2sinx+2cos^2x-1，周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。3.单调性分析：f'(x)=-x^2+1/(x^2+1)^2，令f'(x)≥0得-x^2+1≥0⇒-1≤x≤1，递增区间(-1,1)，递减区间(-∞,-1)∪(1,+∞)。4.反函数求解：令y=ln(x+√(x^2+1))，则e^y=x+√(x^2+1)，e^y-x=√(x^2+1)⇒(e^y-x)^2=x^2+1⇒e^(2y)-2e^y=1⇒x=1/(e^y-1)=1/(1-e^(-y))=1/(1-x)。5.最值分析：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2，端点f(-1)=5,f(3)=3，比较得最大值5，最小值-2。6.平均值计算：∫_{-1}^11/(x^2+1)dx=[arctanx]_{-1}^1=π/2，平均值=π/2/(1-(-1))=π/4=1/2。7.拐点分析：f''(x)=6x-6，令f''(x)=0得x=1，f''(1)=0，且f''(x)在x=1两侧变号，拐点(1,1)。8.