江苏省南京市六校2026届高三上学期8月学情调研考试数学试卷（含解析）

江苏省南京市六校联合体2026届高三上学期8月开学学情调研考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，且，则a可以为(

)A. B. C.2 D.42．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为(

)A.1 B.i C. D.3．在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知，则(

)A.2 B. C. D.5．已知正四棱锥的底面边长为4，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为(

)A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数(

)A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递增7．在等比数列中，，，则(

)A.36 B. C. D.68．已知定点，圆C与y轴相切，直线是圆C的一条对称轴.若圆C上存在两点P，Q使得，则圆C圆心的横坐标的取值范围是(

)A. B.C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则(

)A. B. C. D.10．已知函数，则(

)A.当时，在R上单调递增B.当时，有两个极值C.过点且与曲线相切的直线恰有两条D.恒成立11．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族(不包括直线).直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.已知直线族，则下列说法正确的是(

)A.若，，则该直线族的包络曲线方程为B.若，，则该直线族的包络曲线为椭圆C.当，时，点可能在直线族上D.当时，曲线是直线族的包络曲线三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．展开式中的常数项为_______________.13．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，C的准线交W于A，B两点，为等边三角形，则W的离心率为_______.14．已知正方体的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为_______.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C；(2)若D为边上一点，且，求的值.16．（15分）已知数列的前n项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，.(1)求，；(2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前n项和，求的值.17．（15分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示.(1)求证：；(2)棱上存在一点M，当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的正弦值.18．（17分）已知椭圆C:过点，且C的右焦点为.(1)求C的方程；(2)设过点的一条直线与C交于P、Q两点，且与线段AF交于点S.（i）求面积的最大值；（ii）证明：S到直线FP和FQ的距离相等.19．（17分）已知.(1)讨论的单调性；(2)若在有两个零点，求a的取值范围；(3)若在上恒成立，求a的取值范围.参考答案1．答案：B解析：因为，所以，即，可知，，，，故A，C，D错误，B正确.故选：B2．答案：A解析：由题知，所以z的虚部为为1.故选：A.3．答案：B解析：在四边形中，若，则四边形为平行四边形。当时，平行四边形为菱形，但不一定为正方形，当四边形是正方形时，，即，所以“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件，故选B。4．答案：C解析：由题意，则，即，所以，所以.故选：C.5．答案：D解析：如图所示，正四棱锥，，O为底面正方形的中心，E为的中点.由已知可得，所以，又，所以，所以正四棱锥的体积.故选：D.6．答案：B解析：函数的最小正周期是，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平移后也不可能单调，AC错；函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，选项B，时，，在此区间上是减函数，B正确；选项D，时，，在此区间上不是单调函数，D错误.故选：B.7．答案：D解析：，则，又，解得，因为，所以.故选：D.8．答案：D解析：由题意作图，由于圆心C在直线上，设，又圆C与y轴相切，所以圆的半径.当点A在圆上或圆内时，显然存在P，Q满足条件，此时，当点A在圆外时，经分析，当，与圆C相切时，取最大值，由已知时，，此时，所以所以，整理得，所以，即圆C圆心的横坐标的取值范围为.故选：D.9．答案：BCD解析：对于A，，故A错误；对于B，，，故B正确；对于C，事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生，，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10．答案：ABD解析：对于A，，，，所以在R上单调递增，故A正确；对于B，，，，则有两个零点，不妨设为，，，所以当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有两个极值，故B正确；对于C，不妨设切点为，则，切线方程为，整理得，又过，所以，即，又，所以无根，即只有一个解，所以过点且与曲线相切的直线只有一条，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.11．答案：BD解析：对于A，由题设由，故，所以即，故直线与圆至多一个公共点，而原点到直线的距离为1，故均为圆切线，故该直线族的包络曲线为圆，故A错误；对于B，由题设有，同A有，故直线与椭圆至多一个公共点，因为满足且，且与椭圆相切，故该直线族的包络曲线为椭圆，故B正确.对于C，将代入得，构造，，当时，；当，.所以在上单调递减，在上单调递增，因而当时，取到最小值，所以在无零点，无解，故C错误；对于D，若在曲线上，则，，因为函数的导函数为，所以曲线在处的切线方程为，化简可得，因为，所以曲线在处的切线是直线族中的一条直线，将代入直线可得，联立直线与抛物线可得，方程的判别式，且，所以当时，直线族中的每条直线都是曲线的切线，所以是直线族的包络曲线，故D正确.故选：BD.12．答案：15解析：通项公式，令，解得.展开式中的常数项.故答案为15.13．答案：解析：设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，则抛物线准线为，将代入得，所以，在中，，解得或（舍），所以W的离心率为，故答案为：.14．答案：解析：在正方体中，，，且平面，平面，所以平面，平面.因为，且平面，所以平面平面，因为平面，平面，所以平面，所以点P的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.如图，以D为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，令，则，所以球心O到平面的距离.如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径.因为，所以，即，所以，所以的最小值为.故答案为：.15．答案：(1)(2)解析：（1）依题意，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，法一：即，因为，所以，所以，所以：，所以，即.法二：即，所以，即，因为，所以，所以，即.（2）因为，，又因为，，所以为等边三角形，则，，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），故.16．答案：(1)，(2)55解析：（1）由题意，得，又时，，符合题意，所以.设数列的公比为，又，，即，解得，，所以.（2）根据题意，在与之间插入个1，即在1和2之间插入个1；在2和3之间插入个1；在3和4之间插入个1；在4和5之间插入个1，此时刚好有45项，则.所以的值为55.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：（1）如图，在图1中，连接，交于点O，因为四边形为边长是的正方形，则，在图2中，则有，，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）因为是直二面角，且是二面角的平面角，所以，又，，故分别以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图由题意，、、、.则，，，设，则，则，，平面的一个法向量为，由题意，得.所以，解得.此时，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，.，则，，所以二面角的正弦值为.18．答案：(1)(2)（i）；（ii）证明见解析解析：（1）根据题意有，，所以，，所以C的方程为.（2）（i）法一：由题意，的斜率显然不为0，设的方程为，代入C的方程有：，其中，解得，设，，则，，，令，当时，，当时，（当且仅当时，等号成立），所以面积的最大值为.法二：由题意，直线的斜率一定存在，设的方程为，则设，，则，，F到直线的距离为，，令，，令，，在上递增，在上递减，所以时，等号成立，，所以面积的最大值为.（ii）若S到直线和的距离相等，则直线平分，易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0.设，的斜率分别为，，则：，有，故命题得证.19．答案：(1)答案见解析(2)(3)解析：（1），，当时，恒成立，在上递减，当时，令得，，在上递减，令得，，在上递增.（2）由（1）可知时，