高一第一学期数学知识点资料文档

高一第一学期数学知识点整理

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为

一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性:

1.元素的确定性；2,元素的互异性；3,元素的无序性.第一章集合

与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每

一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个

对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的

对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否

一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：｛…｝如｛我校的篮球队员｝,｛太平洋大西洋印度

洋北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝B二｛12345｝

2.集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就

说a属于集合A记作a£A,相反，a不属于集合A记作a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集

合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是｛x?R|x-3>2｝或｛x|

x-3>2｝

4、集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：｛x|x2二一5｝

二、集合间的基本关系

L“包含”关系子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA

2.“相等”关系美25,且5W5,则5=5）

实例：设A={x|x2-1=0}B={-11}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B

的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集

合A等于集合B,即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作A

B（或BA）

③如果A?BB?C那么A?C

④如果A?B同时B?A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集

合叫做AB的交集.

记作AGB（读作“A交B”），即ACB={x|x£A,且x£B}.

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所

组成的集合，叫做AB的并集。记作：AUB（读作"A并B”），即

AUB={x|x^A,或x£B}.

3、交集与并集的性质：AAA=AAA4）=6APB=BAA,AUA=A

AU<i)=AAUB=BUA.

4、全集与补集

(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所

有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

记作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}

(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，

这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

(3)性质：(l)CU(CUA)=A(2)(CUA)AA=<D(3)(CUA)UA=U

二、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关

系3使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的

数f(x)和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函

数.记作：y=f(x),x£A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A

叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集

合{f(x)|x£A}叫做函数的值域.

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)

ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-l)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=V((1-cosA)/2)sin(A/2)=-V((1-cosA)/2)

cos(A/2)=V((1+cosA)/2)cos(A/2)=-V((l+cosA)/2)

tan(A/2)=V((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-V((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))

ctg(A/2)=-V((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+・・・+n=n(n+1)/2

l+3+5+7+9+ll+13+15+-+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+—+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+l)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+―+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外

接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r〉0扇形面积公式s=l/2*l*r

乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式Ia+b|^|a|+1b||a-b|W|a|+|b||a|Wb<=>-bWa<b

|a-b||a|-|b|-|a|WaW|a|

一1元二次方程的解-b+J(b2-4ac)/2a-b-V(b2-4ac)/2a

根与系数的关系Xl+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0注：方程没有实根，有共物复数根

降幕公式

(sirT2)x=l-cos2x/2

(cos⑵x=i=cos2x/2

万能公式

令tan(a/2)=t

sina=2t/(l+t^2)

cosa=(l-t^2)/(l+t^2)

tana=2t/(l-t^2)

§1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于

集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那

么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.

2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函

数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.

§1.2.2.函数的表示法

1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

§1.3.1.单调性与最大（小）值

1、注意函数单调性证明的一般格式：

§1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称

函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.

2、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称

函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.

高中数学必修第一册知识点汇总

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1.元素与集合：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

3.集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：(元素与集合的隶属关系)xw4或r/4；

互异性：同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合不同于元素的排列顺序无关；

4.数学中一些常用的数集及其记发：

①非负整数集(或自然数集)，记作N；②正整数集，记作N*或N+；

③整数集合，记作Z；④有理数集，记作Q；⑤实数集，记作R。

5.集合的表示方法：列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”{}”括起来表示集合的

方法；

描述法：一般地，设集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表

示为{xEA|P(x)}；

Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部改编集合。

6.全集与空集：

(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

(2)不含任何元素的集合叫做空集，记为九规定空集是任何集合的子集。

【例1］判断下列集合是否表示的是相同。

①/={1'2}1={(1，2)}_.不是，一个是点集，一个是数集

②/={xwN|0<x«5卜5={xwK|0<x«5}.一不是，元素范围不同

③彳={川尸2x+l}"={(“)|尸2x+l}..不是，一个是点集，一个是数集

@A={x\x>5}^={y\y>5}..一是，元素相同，均是实数，与代表元素无关

1.2集合间的基本关系

L子集：一般地，对于两个集合4B,如果力的任何一个元素都是集合8的元

素，则称/是8的子集(或8包含/),记作力q次或彳u8)；

2.真子集：如果力三亿但存在元素EB且x2A,称力是8的真子集，记作A军B;

3.集合相等：若且8=4则称4等于从记作彳=8;若力且由第，则

称/是8的真子集，

4.简单性质：②。口力；③若力1从BqC,则4q。

5.关于子集的结论：

一般地，一个集合元素若为〃个，则其子集数为二个，其真子集数为20个，

其非空具子集数为2上2个，其非空子集数为ZU个。特别地，空集的子集个

数为L真子集个数为5

【例2】

⑴满足{1}cM与{1,2,3}的集合M为皿41N412

⑵集合/:{x|x-3>3},B={x\x>5}的关系为A"

(3)若集合/={1,3,4,夕=卜21},且Bq力，贝l]x=O.土石

(4)已知集合4={x|lVx<4},8={x|x<4},若4导B,则实数〃的取值集合为

{m24}

1.3集合的基本运算

1.并集：一般地，由所有属于集合力或属于集合8的元素所组成的集合，称为集

合力与8的并集。记作AUB,并集JD8={X|XW/或rwB}。

注：®A\jA=A;®AU^=Ai®A(jB=BUA;④若AqBoAuB=B

2.交集：一般地，由属于集合力且属于集合8的元素所组成的集合，叫做集合力

与8的交集。记作ADB,交集4c8={x|xw/Lw8}°

①4n/=4②4n①=①,③/n8=8n/；④4QBo4c8=4

⑤(4c8)q4q(入8);

3.补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A中的所有元素组成的集合

成为集合A相对于全集U的补集，简称集合A的补集，记为(：/

即CuA={x\xeUQjcgA}；

®A(yCuA=0®A[JCUA=U③&(0,/)=/®Cc,U=0⑤Q0=U

⑥反演律结论：Q(4D0=(Q〃)U(CVB)CV(AU8)=(Q.J)A(Q；B)

【例3】

(1)已知集合朋={0,1,2,4,5,7},A={1,4,6,8,9}/={4,7,9},则(MrN)U(Mfl。)

等于{147}

⑵设集合”={加€2|-3<加<2},N={neZ\-\<n<3},则MPIN={-1,0,1}

(3)已知集合彳=凶/+px-2=0},8=卜b，T+q=O),且4US={-2,0,l},求

实数p,q的值。[(/=0,p=1]

解：观察力集合，可知OCR,又有力D8={-2,0/},则0c8。

将0代入/一x+q=0,得到夕=0,反解x?-x=0,得到x=0或1。

由于/D3={—2,0,1},8={0,1},则-25。

将一2代入/+px—2=0,解得p=l。

1.4充分条件与必要条件

1.充分条件、必要条件：一般地，“若p,则q"为真命题，是指由p通过推理可

以得出q。由p可推出q,记作：pnq,我们就说p是q的充分条件；q是p必

要条件。

注：①若p=>q，但q工〉p,则p是q的充分但不必要条件，q是p的必要但

不充分条件；

②数学中的每一条判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件；数学中的

每一条性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

2.充要条件：如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均为真命题,即既有pnq,

又有q=>p,就记作poq.此时那么p是q的充分条件，也是q的必要条件，我

们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.

①如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.即p与q互为充要条件.

②若pq,且qH>p,则p是q的既不充分也不必要条件.

③集合与充要条件的关系：1)A是B的真子集，则A是B的充分但不必要条件.

B是A的必要但不充分条件；2)A是B的子集，则A是B的充分条件，B是A

的必要条件；3)A=B,则A是B的充要条件；4)除上述三种情况是既非充分又非

必要条件。

【例4】

下列“若P,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

(4)若x?=l,则x=l;

(5)若a=b,则ac=bc；

(6)若x,y为无理数，则xy为无理数.

解：

(1)这是一条平行四边形的判定定理，pnq,所以p是q的充分条件.

(2)这是一条相似三角形的判定定理，pnq,所以p是q的充分条件.

(3)这是一条菱形的性质定理，pQq,所以p是q的充分条件.

(4)由于(-1)2=1,但-1H1,pnq,所以p不是q的充分条件.

(5)由等式的性质知，所以p是林的充分条件.

(6)或为无理数，但&x企=2为有理数，/pnq,所以p不是q的充分条件.

【例5】

下列‘'若P，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；

(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；

(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形;

(4)若)1・1,则x2-[;

(5)若ac*bc,则a-b；

(6)若xy为无理数，则x,y为无理数.

(I)这是平行四边形的一条性质定理，pnq,所以.q是p的必要条件.

(2)这是三角形相似的一条性质定理.pnq,所以，q是p的必要条件.

(3)如下图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p?q,所以q不

是p的必要条件.

(4)显然，pnq,所以q是p的必要条件.

(5)由于(3)x0=1x0,但“Wl,"n>q,所以，q不是p的必要条件.

(6)由于”迎=0为无理数，但I,0不全是无理数，pAq,所以q不是p的

必要条件.

【例6】

下列各题中,哪些p是q的充要条件？

(Dp：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分;

(2)p：两个三角形相似.q：两个三角形三边成比例；

(3)p：xy>0,q：x>0,y>0；

(4)p：x=l是一元二次方程ax2+by+c=0的一个根，q：a+b+c=0信工0).

(I)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以q：/>p,

所以p不是q的充要条件.

(2)因为•,若p,则q•,是相似三角形的性质定理「,若q,则厂是相似三角形的判定

定理，所以它们均为真命题，即poq,所以p是q的充要条件.

⑶因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立(为什么)，所以pTq,所以p不是q的

充要条件.

(霜因为淆p,则q.•与韦q,则厂均为真命题，即poq,所以p是q的充要条

件

1.5全称■词与存在量词

L全称量词、全称量词命题：短语,•所有的"任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，用符号♦”表示，含有全

称量词的命联，叫做全称量词命题。那么全称量词命腕对.”中任意一个人有

成立''可用符号简记为：yxwM,pfx)o

2.存在量词与存在量词命题：短语•,存在一个“至少有一个”在逻辑中通常叫做存

在量词，这些词语都是表示整体的一部分.并用符号T”表示。含有存在量词的

命题叫做存在量词命题。存在量词命题：“存在，”中一个x,使〃曲成立''可以用

符号简记为：Hxeo

1全称量词命题与存在星词命题的否定：

丁全称■词命题P：VxeMjXx)的否定一P:B.v0eW,/4v„)

2；存在量词命题P：3x0eA/,/i(x0)的否定一P：VxGM,丁(*)

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

L比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法

a>b=a-b>0；

a=b=a-b=O；

a<h<^>a-b<0o

2.恒成立的不等式：一般地，有I十〃N2W）,当且仅当时等

号成立。

说明：（1）指出定理适用范围："力£及；（2）强调取“=”的条件4=力。

3.等式的性质:

性质1:若a=b,则b-a\

性质2：若a=b,b=c,贝l]a=c；

性质3：若a=b,贝ija±c=bic；

性质4：若2=瓦则ac=bc；

性质5：若2=①c翔,511]-=-

CC

4.不等式的性质:

性质1：若4>力，则/><4；若力<4,则〃>力.即。>力U*。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的

对称性。

性质2：若〃>力，b>c,则〃>c。不等式的传递性。

性质3：若a>b,则〃++c。

性质4:如果且c>0,那么4c>6c;如果且c<0,那么

性质5：若4>瓦且c>d,则〃+c>b+do

性质6：如果4>/）>0且c>〃>0,那么仇?>力”。

性质7：如果心方>0,那么。(〃eN且〃>1)。

【例1】

比较(x+2)(x+3)和(x+l)(x+4)的大小.

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

解：因为(X+2)(X+3)・(X+1)(X+4)=(X2+5X+6)-(X2+5X+4)=2>0,

所以(x+2)(x+3)>(x+l)(x+4).

【例2】

已知a>b>0,c<0,求证£>：.

ab

分析：要证明因为cVO,所以可以先证明Lv：.利用已知a>b>0和性

abab

质3,即可证明

ab

证明：因为a>b>0,

所以ab>0,4>0-

ab

于是a4>b±,

ababba

由cVO,得:所.

2.2基本不等式

1.如果。力是正数，那么”疯(当且仅当。=5时取“=”)

2

说明：(1)这个定理适用的范围：

(2)我们称*为。/的算术平均数，称而为。力的几何平均数。即：两个正数

2

的算术平均数不小于它们的几何平均数。

⑶对于两个正数他①若"八M为定值，则时)2=(,尸，当且仅

当〃=力时，必有最大值;

②若必=/〃为定值，则a+bN2八=2而,当且仅当〃=力时，〃+力有最小值

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式：一般地，我们把只有一个未知数，并且未知数的最高次数是

2的不等式。一般形式：QK+AX+C〉。或其中明力，c均为常数，存0.

3.一元二次方程根的存在性及实根的个数：对于一元二次方程加+力"。=0值押)

(l)A>0,方程有两个不等实根；

(2)A=0,方程有两个相等实根；

(3)A<0,方程无实根

4.从函数观点看一元二次方程和不等式：二次函数与一元二次方程、不等式的解

的对应关系：

△>o△=0△V0

1Z

y=ajrz+bx-i-c(a>0)

的图象

有两个相等的实数根

。尸+&+<>=0(u>0)有两个不相等的实数

b没有实数根

的根根力.J-2(1102)八=八=一£

<tr'+Zw+r>0(a>0)

(川101.或1>12}R

的蝌集

aj'+〃r+cVO(a>0)

{•rlnVrVr,)00

的解集

二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

注：①当“0时，转化为。〉0的情况研究。

②加+bx+cy。的解集为R,则《“<°;

A<0

③加+及+”0的解集为R,则“<°;

A<0

④加+bx+c>0的解集为①,则「，<°;

A<0

⑤加+云+*0的解集为①，则卜,0.

A<0

【例1】

求不等式x2-5x+6>0的解集

分析：因为方程x2—5x+6=0的根是函数y=x2—5x+6的零点，所以先求出X?

一5x+6=0的根，再根据函数图象得到X2-5X+6>0的解集

解：对于方程X2—5X+6=O,因为A>0,所以它有两个实数根.解得x】=2,X2=3.画

出二次函数y=x2—5x+6的图象，结合图象得不等式X2-5X+6>0的解集为

{xIx<2,或x>3}

【例2】

求不等式9x2—6x+l>0的解集.

解:对于方程9x2—6x+l=0,因为A=0,所以它有两个相等的实数根，解得Xi=X2=.

0

画出二次函数y=9x2-6x+l的图象，结合图象得不等式9x2-6x+l>0的解集

为｛xl

【例3】

求不等式・x2+2x・3>0的解集.

解：不等式可化为X2・2X+3VO.因为A=・8V0,所以方程X2・2X+3=0无实数根.画

出二次函数y=x2-2x+3的图象

结合图象得不等式X2・2X卜3Vo的解集为。.

因此.原不等式的解集为0.

总结一元二次不等式求解过程

“■•Id*倒|

I4>0J<0

■■s.««.<，<<・】I

・不，式M・■力27真的■■力■

。f<1,•&>力

第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

1.函数的概念：一般地，设力、8是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个

数/按照某种确定的对应关系,在集合8中都有唯一确定的数y和它对应，

那么就称/：力一”为从集合/到集合的一个函数。记作：月U）,xGJo其中,

x叫做自变量，x的取值范围力叫做函数的定义域；与x的值相对应的p值叫做

函数值，函数值的集合伏叫做函数的值域。

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不

为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；

②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

③初中学过的几种基本函数的定义域与值域：

函数定义域值域

y=kx+b(k/0)RR

y=ax2+Ar+c，。40R

4>0时,{y|好}

4a

a<0.时,{y|yK}

4a

k,八

y=—,kH0{x\x^Q}

X

⑵求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用

不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。

（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这

两个函数才是同一个函数。

3.常用的函数表示法

⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函

数的解析表达式，简称解析式；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

4.分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式

不同，这种函数又称分段函数；

5.区间的概念：设45是两个实数，且。<6,我们规定：

⑴满足不等式。女劲的实数x的集合叫做闭区间，表示［a,b］；

⑵满足不等式avx<6的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b)；

⑶满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示［a,b)

或(a,b］；a,b都叫做区间的端点。

(4)代数与几何表示对照表(数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点

表示不包括在区间内的端点)

定义名称符号数轴表示

••

1闭区间「0・b~ab

—o-----------

{JTIaVr<b'开区间(a.6)ab

-----■。・

{JT|a^r<.b}半开半闭区间[a・b)ab

—o—♦•

半开半闭区间(a•b_ab

(5)

定义区间数轴表示

(川才2}[a>4-oo)a

a

{x\x>a}(.a.+8)6•

(-8.bl________I

)b

(—oo.I)o•

3.2函数的基本性质

I.单调性：（1）定义：一般地，设函数片/⑺的定义域为I,区间Oq/：

①VX|,x2eD,当川＜口时，都有/（占）5/（g），那么就说/（X）在区间。上是增函

数；特别地，当函数（丫）在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。

②VX|,X2eD,当第＜X2时，都有―1）认功,那么就说儿丫）在区间/）上是减函

数；特别地，当函数.然）在它的定义域上单调递减时，我们成它是减函数。

⑵如果函数在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数月⑴在

这一区间具有（严格的）单调性，区间。叫做产危）的单调区间。

（3）判断函数单调性的方法步骤：

①任取Xi,且X|＜X2；

②作差加）一心）；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差加」）一/（工2）的正负）；

⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间I）上的单调性）。

2.最大（小）值：

⑴最大值：一般地，设函数片/⑴的定义域为/,如果存在实数M满足：①对于

Vxe/,都有/（x）SM；②臼&£/,使得/（xo）=M。那么，称M是函数y=/U）的最

大值。

⑵最小值：一般地，设函数.F=/（x）的定义域为/,如果存在实数M满足：①对于

VxE/,都有危巨M;②臼刈日，使得/（M））=M。那么，称M是函数y=/（x）的最

小值。

⑶求最值的方法：①利用函数单调性；②利用不等式或基本不等式；③函数图

像等。

3.奇偶性：

⑴定义:①一般地，设函数/⑴定义域内为/,如果八日,都有re/,且/（一工月3,

则称7W为偶函数；

②一般地，设函数7W定义域内为/,如果都有-xE/,且y（-r）=O则

称/（.I）为奇函数；

③如果函数/（X）不具有上述性质，则,左）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两

条性质，则儿丫）既是奇函数，又是偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其

定义域是否关于原点对称；②确定./（一X）与.火工）的关系；③得出结论：

（3）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；

一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

3.3募函数

I.幕函数：一般地，y=叫做鬲函数，其中'是自变量，a是常数。

2.几个幕函数的性质：

!

y=x

:富r=J=.V'尸尸

定义域RRR[0,+oo)NHO}

值域R[0,+oo)R[0,+8)岫¥0}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

原点左右都

单调性增函数先减再增增函数增函数

为减

公共点(1,1)

图象都不过的第2象限

3.图像:

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

1.(1)实数指数幕：一般地，如果十工a,那么x叫做〃的〃次方根，其中n>l,且

n£N・

当〃为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数•记作

茹

当〃为偶数时，正数的n次方根有两个且为互为相反数，负数没有偶次方根。记

作士后

0的任何次方根都是0.

(2)当〃为奇数时,V7=a；当〃为偶数时，行个尸a,a>0

-a,a<0

(3)<£)(/•=>1)；②""=a>0,m,ne>1)

(4)实数指数靠的运算性质为：①②③(")'="*'

4.2指数函数

1.指数函数概念：一般地，函数了=/伍>0,且叫做指数函数。

2.指数函数的性质：

0<6/<1a>\

图象

定义

R

域

值域(0,-KZ))

性质①过定点（0,1）

②单调性减函数增函数

③x>0,"X的范围：（0,1）（1，+8）

④x〈0,）的范围：（1,+8）(0,1)

4.3对数

1.对数概念：（1）对数的概念：一般地，如果，=N（〃>0,且〃工1）,那么数K称

以〃为底N的对数，记作工=log。N其中〃称对数的底，N称真数。

x

2.对数与指数间的关系：当a>0,且4Hl时，a=N<=>A*=logaN

3.有关对数的几个结论：

n

①负数和零无对数；②log。1=0;@logaa=1;@logo<7=n

4.对数运算性质：如果4>0,〃00,河>0,乂>0,贝1]

①loga（MN）=log“M+log”N；

w

②loga—=log"M一bgaN;

N

③log,Mn=nlog“wR)。

1换底公式：logaN=叫工"(q>0,67*0.m>O.m工I,N>0),

*a

⑤4bgJ=N(〃>0且〃H1,N〉O)

4.4对数函数

L对数函数函数：一般地，函数p=log,,x(〃>0.「1〃工1)叫做对数函数

2.对数函数的性质：

0<4/<1a>\

图象

定义域(0,+oo)

值域R

性质①过定点(1,0)

②单调性减函数增函数

③(Kr<l,logflx的范围：(0,+oo)(-00,0)

④QI,log“x的范围：(・8,0)(0,+力)

3.函数y=o'与函数y=log。x(a>0,且〃工1)叫做互为反函数。

4.5函数的零点与方程的解

1.函数零点：对于函数y=/(x)(xe〃)，把使/(x)=0成立的实数x叫做函数

>=/")(x€/))的零点。

2.函数零点的等价含义：函数y=/")的零点。方程〃x)=0实数根o函数

y=/(x)的图象与工轴交点的横坐标。

3.函数零点的存在性判断：方程/(幻=0有实数根。函数卜=〃幻的图象与刀轴

有交点U*函数)，=/(X)有零点•

4.零点存在性定理：如果函数>，=/(外在区间上的图象是连续不断的一条曲

线，并且有/■(")/(/»)<0,那么函数y=/(x)在区间(。力)内有零点.既存在

ce(a.A),使得/(c)=0,这个c也就是方程的根。

5.二分法：对于在区间[明封上连续不断，且满足/(")/(〃)<0的函数y=/(x),

通过不断地把函数/(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼

近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

6.二分法求零点的步骤：

给定精确度£,

(1)确定零点xo的初始区间[a,b],验证Ra)Rb)<0.

(2)求区间(a,b)的中点c・

(3)计算Rc),并进一步确定零点所在区间：

①若Re尸0,(此时xo=c),则c就是函数的零点；

②若Ra)[c)v0,(此时xoE(a,c))f则令b=c；

③若nb)Rc)〈0,(此时XQ£(C,b)),则令a=c；

(4)判断是否达到精确度g：若|a・b|<£,则得到零点近似值a(或b)；否则重复步

骤(2)〜(4).

第五章三角函致

5.1任意角和弧度制

I.任意角的概念：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺

时针方向旋转所形成的角叫负角.如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成

了一个零角。

2.终边相同的角：所有与某个角Q具有同终边的所有角，连同角Q在内，可以构成

一个集合{。|。=2kn+%kGZ},J即任意与角a终边相同的角，都可以表示成角Q

与正数个周角的和。

3.弧度制

(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角；一般地，正角的弧度数

是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角

的旋转方向来决定。

(2)角a的弧度数的绝对值是：同=,，其中，1是圆心角所对的弧长，「是半径。

r

(3)弧度与角度互换公式：180°=nrad,Irad=O~57.30°=57°18\1°=

_^_-0.01745(rad)o

180

弧长公式：/(。是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：S==

5.2三角函数的概念

1.三角函数定义

设。是一个任意角，a£R,它的终边OP与单位圆交于点”(XJ),那么：

(l)y叫做。的正弦，记做sina,即sina=y；

(2)x叫做a的余弦，记做cosa,BPcosa=x；

(3)1叫做a的正切,记做tana,即tana=々工工0)。

xx

tana=2(xw0)也是一角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函

x

数值的函数，称为正切函数。我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角

函数。

2.三角函数值在各个象限的符号:

数第一象限第二象限第三象限第四象限

符号

sina++--

cosa+---

tana+-+十

3.同角三角函数的基本关系

.sina

sin2'a+cos-2a=l,tana=-------

cosa

同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角a的正切。

5.3诱导公式

1.诱导公式

公式一：sin(tz+2^)=sina,cos(a+24/r)=cosa,tan(a+2A乃)=tana其中

keZ.

公式二：sin(^+a)=-sina；cos(4+a)=・cosa；tan(^+a)=tana

公式三：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana

公式四：sin(乃一a)=sina；cos(4一a)=-cosa;tan(^-a)="tana

公式五：sin(——a)=cosa;cos(——a)=sina;

22

公式六：sin(—+a)=cosa;cos(—+a)=-sina

22

2.任意角化为锐角三角函数的方式：

5.4三角函数的图像与性质

1.正弦、余弦与正切函数的图像与性质:

正弦函数^=sinx余弦函数歹=COSX正切函数丁=tanx

质\

尸3nx'

图1

**-ii21a*埠t4/1£!¥、

像12**2?2i42r

周

2k冗,keZ；2k九kGZ；k7T,kGZ；

期

最小正周期2乃最小正周期2%最小正周期不

性

定

{x|xw三+〃万,〃6Z}

义RR

2

域

值

1-1.11H.11R

域

当x=22/r-](keZ)当x=2k兀+7t(keZ)

时取最小值-1,时取最小值-1,

最

当、=2〃乃+'(%€2)时

当x=2kn(keZ)时取无最值

值

取最大值1；最大值1；

奇奇函数偶函数奇函数

偶

性

递增区间是

递增区间是

2Jc7t--,2Jc7r+—(«wZ)递增区间是

单22.

12〃万—Tr.^,kfr](kwZ)

递减区间是

kn-―ykrr+-

调I22)

递减区间是

性2k7T+-,2k7T+—

L22J(壮Z)

[2k7r,2k兀+〃](“€Z)

(kwZ)

图

像

的

对称轴为x=+工，对称轴为X=k7T,

2

轴无

(〃wZ)*wZ)

对

称

性

图

像

的对称中心为（k7T+—,

2

对称中心为对称中心为

中0)(〃wZ)；

(〃4,0)keZ；(―,0)(keZ)

2

心

对

称

性

零

kir.k€Zkrc+wZ)k兀,k€Z

点

2.周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D,若果存在一个非零常数T,使

得对每一个xJD,者B有x+TJD,且f(x+T尸f(x),那么Rx)就叫周期函数，非零

常数T叫这个函数的周期。VkGZ,且厚0,常数kT都是它的周期。如果周期

函数的所有周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周

期。

3.函数y=4sin(oi¥+0),y=Acos(cox+,y=Jtan((uv+^),(其中

力>0,0>0)的相关性质:

%数

y=4sin(©r+0)y=/cos(3t+。)y=Atan(<uv+

性&

周期也涨wZ;周期也,AeZ;

周期：—keZ

周期(0cocoy

17T最小正周期空

性