聚焦算理与算法：三年级数学“三位数除以一位数”的笔算深度建构教案

聚焦算理与算法：三年级数学“三位数除以一位数”的笔算深度建构教案

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心理念为根本遵循，致力于在三年级数学课堂中实现“三会”核心素养（会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界）的培育。教学建构以建构主义学习理论为基础，强调学生在已有知识经验（两位数除以一位数笔算）上的主动意义建构；融合认知负荷理论，通过有结构的学具操作、循序渐进的探究任务和清晰的图式引导，有效管理学生的内在与外在认知负荷，促进深度学习。同时，汲取信息加工学习理论精髓，将“三位数除以一位数”这一复杂的程序性知识分解为“理解算理（陈述性知识）——明确算法（程序性知识）——自动化应用（智慧技能）”的递进过程，通过精心设计的教学环节促成知识的有效转化与内化。

  二、教学内容与学情分析

  （一）教材内容深度解析

  本课内容隶属“数与代数”领域“数的运算”主题，是青岛版（五四学制）三年级上册“两、三位数除以一位数”单元的核心关键节点。它上承“两位数除以一位数（商是两位数）的笔算”和“三位数除以一位数（商是三位数）的口算与估算”，下启“商中间或末尾有0的除法”及后续更为复杂的多位数除法。其算理本质是“平均分”思想的延伸与“位值制”原则在除法竖式中的深化应用。算法的核心在于理解“从被除数的最高位除起，除到哪一位，商就写在哪一位的上面，每次除后余下的数必须比除数小”这一基本法则在三位数情境下的具体执行，特别是如何处理百位、十位、个位分步除的过程以及每一步的“商、乘、减、落”操作。本课的教学难点在于引导学生深刻理解当被除数百位上的数除以除数不够商1时，需要与十位上的数合起来再除的算理依据，这是对位值制概念和除法意义理解的深度考验。

  （二）学生学情精准研判

  三年级学生处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的初期，思维仍以具体形象思维为主，抽象逻辑思维开始发展。知识储备上，学生已熟练掌握表内乘除法、整百整十数除以一位数的口算、两位数除以一位数的笔算方法，并具备初步的估算能力。技能层面，学生已形成“除法竖式”的基本操作模型（商、乘、减、落），但此模型主要建立在被除数的最高位够除（即商从十位开始）的两位数除法经验之上。心理层面，学生对新知识充满好奇，乐于动手操作和小组探究，但面对更复杂、步骤更多的三位数除法，容易出现畏难情绪，或在操作中遗漏步骤、混淆数位。因此，教学需通过创设真实、富有挑战性的问题情境，激活学生的已有经验；通过实物操作与符号记录（竖式）的反复对照与联结，将抽象的算理形象化、可视化；通过对比、辨析、说理等活动，引导学生主动完成认知结构的顺应与同化，构建稳固的笔算除法认知图式。

  三、教学目标

  （一）核心素养导向目标

  1.数感与运算能力：在解决实际问题的过程中，进一步理解除法的意义，建立三位数除以一位数的运算模型。通过操作、探究、说理，深刻理解笔算除法的算理，掌握算法，并能正确、熟练地进行笔算。发展估算意识，能合理判断计算结果的大致范围。

  2.推理意识：在探索笔算方法的过程中，能进行简单的、有条理的思考。能够根据已有的两位数除以一位数的笔算经验，通过类比、迁移，推理出三位数除以一位数的笔算方法。能清晰表述笔算每一步的含义和依据。

  3.几何直观与模型意识：借助小棒、方块图等直观模型，将抽象的除法计算过程具体化、形象化，建立“分实物——口算过程——笔算竖式”之间的内在联系，构建三位数除以一位数笔算的直观模型与符号模型。

  （二）具体可测目标

  1.知识与技能：掌握三位数除以一位数（商是三位数或两位数）的笔算方法，理解“从高位除起”“哪一位不够商1就商0占位”的算理，能正确列竖式计算，并能进行验算。

  2.过程与方法：经历“问题提出——操作探究——算法形成——沟通优化——巩固应用”的完整学习过程，在独立探索、合作交流、质疑辨析中提升问题解决能力和数学表达能力。

  3.情感态度与价值观：体验数学与生活的紧密联系，感受除法在解决实际问题中的价值。在克服困难、获得成功的探究过程中，增强学习数学的自信心和探究欲。

  四、教学重难点

  教学重点：掌握三位数除以一位数的笔算方法，并能正确计算。

  教学难点：理解“被除数百位上的数除以除数不够商1时，要看前两位”的算理，以及笔算过程中每一步（特别是“落”下一位数继续除）的含义。

  五、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（包含情境动画、分步演示的动态PPT、练习题组）；每小组一套学具（如：代表“百”的大方块（或百珠图）、代表“十”的长条（或十珠图）、代表“一”的小方块（或单珠）；磁性教具（百、十、个位模型）；板书设计框架。

  2.学生准备：练习本、笔、基础学具（如小棒捆、计数器可选）。

  六、教学过程

  （一）情境激趣，孕伏新知（约8分钟）

  1.链接生活，提出问题

    课件动态呈现学校“科技节”物资筹备场景：总务处采购了256支彩色铅笔，准备平均分给参展的2个年级。画面定格在成箱（每箱100支）和散装的铅笔上。

    师：从这幅图中，你能发现哪些数学信息？能提出一个用除法解决的数学问题吗？

    生：一共有256支铅笔，平均分给2个年级。问题是：每个年级分到多少支铅笔？

    师：很好！如何列式？

    生：256÷2。

  2.激活旧知，引发冲突

    师：256÷2，这个算式和我们以前学的除法有什么不同？

    生：以前我们学的主要是两位数除以一位数，比如48÷4。现在是三位数除以一位数。

    师：观察得很仔细！三位数除以一位数，你能用以前的知识试着解决这个问题吗？可以估一估，也可以尝试着算一算。

    学生可能出现的想法：

    （1）估算：256接近250，250÷2=125，所以结果大约是125支。

    （2）口算：200÷2=100，50÷2=25…，但56÷2不好直接口算成整十数。

    （3）模仿竖式：有学生可能尝试模仿两位数除法竖式进行书写，但会遇到困难。

    师：大家的估算给了我们结果的大致范围。但要想知道精确的结果，仅靠我们之前学的两位数除以一位数的笔算方法，似乎遇到了挑战。今天，我们就一起深入探究“三位数除以一位数”的笔算奥秘。（板书课题核心词：三位数除以一位数笔算）

  （二）操作探究，理解算理（约22分钟）

  1.任务驱动，直观“分物”

    师：为了弄清256÷2到底怎么算，我们先请出我们的好帮手——学具。请同学们以小组为单位，用你们手中的“百”、“十”、“一”模型，代表这256支铅笔，动手分一分，要求是：平均分给2个年级。分的时候，请思考：你先分什么？再分什么？每一步分的结果怎么表示？

    学生小组合作操作。教师巡视，指导有困难的小组，并收集典型操作方法和记录。

  2.展示交流，沟通联系

    请两组学生代表上台，结合磁性教具，边操作边讲解分的过程。

    预设学生操作路径：

    路径A（先分整百，再分整十，最后分单个）：

    生1：我先分2个百。2个百分给2个年级，每个年级分到1个百。也就是200÷2=100。（在百位下记录“1”）。

    生1：还剩下5个十和6个一，合成56。现在分这5个十。5个十平均分给2个年级，每个年级分到2个十，还剩下1个十。也就是50÷2=20…10。（在十位下记录“2”，并将剩下的1个十与6个一合在一起）。

    生1：剩下的1个十和6个一合起来是16。16平均分给2个年级，每个年级分到8个一。也就是16÷2=8。（在个位下记录“8”）。

    生1：所以每个年级一共分到1个百、2个十、8个一，就是128支。

    路径B（直接将256看作25个十和6个一，从十位开始分）：

    生2：我把2个百看成20个十，加上原来的5个十，一共是25个十。先分25个十，平均分给2个年级，每个年级分到12个十，还剩下1个十。25个十÷2=12个十…1个十。（这里可能会产生认知冲突，12个十是120，如何记录？）

    师：两位同学分得都非常有条理！路径A和我们之前分东西的顺序很像，从大的单位开始分。路径B有创意，把单位统一了再分。大家觉得，哪种分法更容易用我们学过的竖式记录下来呢？为什么？

    引导学生对比发现：路径A“分步分”的过程，与我们要学习的笔算竖式“分步除”的过程是对应的，每一步都对应着竖式中的一次“商、乘、减、落”。

  3.数形结合，建构竖式

    师：现在，我们试着把刚才“先分百，再分十，最后分个”这个清晰的过程，用竖式这个数学工具记录下来。

    教师边引导学生口述，边同步规范板书竖式形成过程：

    （1）建立框架：写出除法竖式符号“厂”字头，里面写被除数256，左边写除数2。

    （2）第一步“分百”：

    师：我们先分什么？（2个百）2个百分给2个年级，商几？写在哪？

    生：商1，表示1个百。因为2个百÷2=1个百，这个“1”应该写在百位上。

    教师板书，在百位上写1。

    师：分掉了多少？怎么验证？

    生：1个百×2=2个百，也就是200。在256的百位和十位下面写“2”（实际表示200）。

    师：分完了吗？还剩多少？

    生：用2个百减去分掉的2个百，百位上余0，可以不写。但我们知道，实际上还有5个十和6个一没分。

    （3）第二步“分十”：

    师：接下来分什么？怎么把十位上的“5”拿下来分？

    生：把十位上的5落下来。

    师：对，这个“落下来”的动作，在竖式里就是用一条短线把十位的5移下来，表示现在要分的是5个十。现在要分的是5个十，除以2，商几？写在哪？

    生：商2，表示2个十。因为5个十÷2，每份最多分2个十（2×2=4），还余1个十。这个“2”要写在十位上。

    教师板书，在十位上写2。然后追问：分掉了多少个十？余多少？

    生：2个十×2=4个十，在5下面写4（表示40）。5-4=1，余下1个十。

    （4）第三步“分个”：

    师：剩下的1个十怎么办？还能直接分吗？

    生：不能直接分了，因为1个十不够每份分1个十。可以把这1个十拆开，和个位的6个一合起来再分。

    师：说得太好了！这个“合起来”在竖式上怎么做？

    生：把个位上的6落下来，和十位余下的1合在一起，就是16。

    师：现在要分的是16个一，除以2，商几？写在哪？

    生：商8，表示8个一，写在个位上。2×8=16，16-16=0，正好分完。

    教师完成竖式。

    4.回顾梳理，提炼算法

    师：请大家闭上眼睛，回想一下我们刚才分铅笔和写竖式的全过程。然后同桌互相说一说，笔算256÷2，我们是怎样一步一步算的？

    学生互说后，师生共同总结，教师板书关键步骤：

    ①从被除数的最高位（百位）除起。

    ②百位：2÷2=1，商1写在百位。

    ③十位：百位无余数，落下十位的5，变成5个十去除以2，商2写在十位。

    ④个位：落下十位余下的1（个十）和个位的6，组成16个一除以2，商8写在个位。

    ⑤每次除后余下的数要比除数小。

  （三）对比迁移，突破难点（约15分钟）

  1.变式情境，制造认知冲突

    课件出示新情境：如果这256支铅笔，不是分给2个年级，而是平均分给星光小学的4个兴趣小组呢？算式是256÷4。

    师：请大家先不计算，估一估，每个小组分到的铅笔会比100支多吗？为什么？

    生：不会，因为256里连4个百都没有，所以商肯定不到100。

    师：那商会是几位数？你能从被除数的百位直接看出来吗？

    引导学生发现：被除数百位上的2除以4，不够商1个百。这是与上一题最大的不同。

  2.二次探究，理解“不够商1”

    师：百位上不够分1个百，怎么办？请同学们再次借助学具分一分，并尝试将分的过程用竖式记录下来。可以独立尝试，也可以小组讨论。

    学生操作、尝试。教师巡视，捕捉两种典型写法：一种是百位直接写0的；一种是百位空着，直接从十位开始写的。

  3.辨析说理，优化算法

    展示学生不同的竖式写法，组织辩论：

    生A写法：百位写0，然后落5，算25÷4。

    生B写法：百位空着，直接用25÷4，商写在十位。

    师：两种写法，都表达了“2个百不够分，要看前两位25个十”的意思。你们认为哪种更合理？为什么？

    引导学生深入讨论：

    支持生A：0表示百位上分了0个百，占位了，数位对齐更清楚。

    支持生B：数学讲究简洁，0写不写都不影响理解，可以不写。

    师（引导）：让我们回到分物的过程。当我们分256支铅笔给4个小组时，我们先分2个百，确实每个小组分不到1个百，也就是分了0个百。在数学记录中，用0来表示“分了0个”，能清晰地体现“每一位都除过”的过程。尤其是将来我们遇到更复杂的除法（如商中间有0），养成“不够商1就商0”的习惯非常重要。因此，通常我们约定：在求出商的最高位之后，除到被除数的哪一位不够商1，就在那一位上写0占位。

    教师示范规范写法：百位2除以4不够商1，看前两位25个十。25个十除以4，商6个十，写在十位上。6×4=24，余1个十，与个位的6合起来是16个一，继续除。

    4.对比归纳，形成通法

    将256÷2和256÷4的竖式并列呈现。

    师：仔细观察这两道题的笔算过程，它们有什么相同点和不同点？

    学生小组讨论后汇报：

    相同点：都是从被除数的高位除起；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；每求出一位商，余下的数必须比除数小；都要把下一位上的数落下来和余数合起来继续除。

    不同点：第一题百位够除，商是三位数；第二题百位不够除，要看前两位，商是两位数。

    师：这就是三位数除以一位数笔算的两种情况。我们可以根据被除数的最高位和除数的大小关系，初步判断商的位数。但无论哪种情况，计算的基本方法和道理都是一致的。

  （四）分层练习，巩固内化（约12分钟）

  1.基础巩固层：算法模仿与再现

    （1）竖式计算小诊所：出示几道有典型错误的竖式（如：数位没对齐、余数比除数大、忘记落数、不该写0的写了0等），请学生诊断并改正。要求学生不仅要“治病”，还要说出“病因”。

    （2）我会算：计算：369÷3，515÷5，276÷6，632÷4。要求：先判断商是几位数，再计算并验算。强调验算习惯：商×除数+余数=被除数。

  2.能力提升层：算理理解与应用

    （1）填一填：根据给出的不完整竖式，填写方框里的数字。例如：给定除数、部分商和余数，反推被除数某位上的数字。这需要学生逆向理解每一步计算的含义。

    （2）解决问题：呈现稍复杂的生活情境题。例如：“一本故事书共456页，小明计划用一周（7天）读完，平均每天大约读多少页？实际他前6天共读了372页，第7天需要读多少页才能完成计划？”此题综合运用估算、精确计算和两步计算解决问题。

  3.思维拓展层：算法关联与迁移

    （1）数字谜题：在□里填上合适的数字，使竖式成立。例如：

          □□□

          3)□□6

           …

              （设计开放性的数字谜题，答案不唯一，培养学生的逻辑推理和数感）。

    （2）联系旧知：出示648÷2，引导学生思考：能不能把它和以前学的知识联系起来？有的学生可能会发现，可以先算600÷2=300，48÷2=24，300+24=324。沟通口算、笔算、横式分步计算之间的联系，体会算法的灵活性。

  （五）全课总结，反思提升（约8分钟）

  1.自主梳理，建构网络

    师：通过今天的学习，你对除法笔算有了哪些新的认识？请用你喜欢的方式（如思维导图、知识树、关键词等）整理本节课的收获。可以围绕“我们学了什么？（知识）我们是怎样学的？（过程）我们为什么要学这个？（应用）”来思考。

    学生独立或同桌合作进行总结梳理。

  2.分享交流，深化认知

    请几位学生展示并讲解自己的总结。

    预设学生可能从以下几个角度总结：

    知识角度：学会了三位数除以一位数的笔算方法，知道了从高位除起，哪一位不够商1就商0占位，明白了每一步“商、乘、减、落”的含义。

    方法角度：我们通过动手分学具明白了道理，再把分的过程用竖式记录下来。遇到新问题（百位不够除）时，我们对比、讨论，找到了解决方法。

    思想角度：除法就是平均分，笔算就是把平均分的过程一步一步记录下来。数学是讲道理的，计算不光要会算，还要懂为什么这么算。

    应用角度：生活中很多地方用到这样的除法，比如分配物资、计算平均数等。

  3.延伸思考，预留伏笔

    师：今天我们研究的三位数除以一位数，分到最后都正好分完（余数为0）。如果分到最后还有剩余呢？比如256÷3会怎样？如果商的中间或末尾出现0，又该怎么写呢？这些将是我们接下来要继续探索的有趣话题。

    布置一项实践性作业：寻找生活中可以用“三位数除以一位数”解决的实际问题，记录下来，并尝试列式计算。

  七、板书设计（结构化、过程性）

  板书在左侧分三栏呈现核心探究过程，右侧为要点总结。

  三位数除以一位数的笔算

  （算理）操作过程→（算法）竖式记录→核心要点

  ——————————————————————————

  256÷2=128（支）            1.从高位除起

  分物：          竖式：

  ①分2个百：               2.除到哪位商哪位

   每份1个百         1 2 8

  ②分5个十：        2) 2 5 6

   每份2个十，余1个十      2   

                  ——

  ③分16个一：          5

   每份8个一           4

                 ——

                  1 6

                  1 6

                  ——

                   0

  256÷4=64（支）         3.不够商1就商0

  分物：          竖式：

  ①2个百不够分1个百         6 4

   看25个十        4) 2 5 6

  ②分25个十：          2 4  

   每份6个十，余1个十      ——

  ③分16个一：          1 6

   每份4个一          1 6

                  ——

                   0

                  4.余数要比除数小

  八、教学评价设计

  本课教学评价贯穿于教学全过程，采用多维、动态、发展的评价方式。

  1.过程性评价：

    （1）观察评价：通过课堂巡视，观察学生的操作是否有序、有效；小组讨论是否积极参与、倾听与表达是否清晰；尝试练习时的思维状态和书写习惯。

    （2）问答评价：通过层层递进的提问，诊断学生对算理的理解深度（如：“为什么这个2要写在十位上？”“余下的1表示什么？怎么办？”）。

    （3）作品分析：对学生的操作记录、尝试竖式、练习作业进行分析，了解其思维过程、算法掌握情况及错误类型。

  2.形成性评价：

    通过分层练习的完成情况，及时反馈教学效果。基础题主要评价算法掌握的准确性与熟练度；提升题评价算理理解和灵活应用能力；拓展题评价思维的发散性与深度。

  3.总结性评价：

    通过课末的自主总结与梳理，评价学生对本节课知识的整体建构能力和元认知水平。实践性作业则评价学生将数学知识与生活实际相联系、发现并提出问题的能力。

  评价语言以鼓励和引导为主，旨在帮助学生建立自信，明确改进方向，促进其数学素养的持续发展。例如：“你的分法很有条理，清晰地展示了平均分的过程。”“你能从百位不够除联想到要看前两位，这个迁移非常棒！”“对于‘0’的作用，大家有不同的看法，这种辩论能让我们思考得更深入。”

  九、教学反思与特色说明（预设）

  （一）教学特色

  1.深度建构，算理为核：本设计摒弃机械的算法灌输，将“理解算理”置于核心地位。通过“情境问题——实物操作——过程记录——符