初中八年级数学（湘教版）下册 平行四边形判定定理3 知识清单

初中八年级数学（湘教版）下册平行四边形判定定理3知识清单一、核心知识构建：从性质到判定的逆向思维（一）定理的源起：平行四边形性质的逆命题平行四边形是一类特殊的四边形，其定义和性质为我们提供了从不同角度刻画它的方法。此前，我们已经从边的角度掌握了两种判定方法：两组对边分别平行（定义法）以及一组对边平行且相等。我们还知道平行四边形的一个重要性质：平行四边形的对角线互相平分。【重要】这个性质的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形。这个逆命题是真命题吗？答案是肯定的。这正是我们本节课要学习的平行四边形判定定理3。它为我们判定一个四边形是平行四边形提供了全新的、基于对角线的视角。【基础】（二）定理3的精确表述与逻辑1.定理内容：对角线互相平分的四边形是平行四边形。【基础】2.数学语言：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O。如果OA=OC且OB=OD，那么四边形ABCD是平行四边形。【基础】3.定理的推理格式：在解题和证明中，规范的书写格式是：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。这是使用定理3的标准格式，必须确保两条对角线被它们的交点平分这一条件同时成立。【重要】（三）另一重要推论：从对角的角度判定除了对角线，我们还可以从角的角度来判定平行四边形。在学习过程中，我们会发现一个有用的结论，它虽然不是湘教版教材中的核心判定定理，但作为知识拓展和解题的常用技巧，必须熟练掌握。【高频考点】1.定理内容：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。【重要】2.数学语言：在四边形ABCD中，如果∠A=∠C且∠B=∠D，那么四边形ABCD是平行四边形。【基础】3.逻辑证明：在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D，又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°（四边形内角和360°），∴2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°。∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）。同理，由∠A+∠D=180°，可得AB∥DC。∴四边形ABCD是平行四边形。【基础】二、判定方法体系的全景构建【难点】至此，我们已完整学习平行四边形的五种主要判定方法。它们从不同维度（边、角、对角线）刻画了平行四边形的本质特征，构成了一个完整的知识网络。理解和区分这些方法，是解决复杂几何问题的关键。（一）基于边的判定（3种）1.定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（最原始、最根本的判定）2.判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（最常用的判定之一）3.判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（构造全等三角形的常用方法）（二）基于对角线的判定（1种）4.判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。（连接对角线，构造全等三角形，或直接利用中点性质）（三）基于角的判定（1种）5.推论：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（适用于已知角关系的题目）（四）方法选择策略【★高频考点】面对一道具体的几何证明题，如何快速、准确地选择最恰当的判定方法？这需要我们对题目条件进行深入分析。条件若集中于边：优先考虑边的关系。如果已知一组对边的关系（平行或相等），首选“一组对边平行且相等”；如果已知两组对边相等，则用“两组对边分别相等”。条件若出现对角线交点：一旦题目条件中涉及对角线交点，或存在多条线段被同一点平分，应立刻联想到判定定理3——“对角线互相平分”。条件若出现角的关系：当题目给出的是两组角相等的关系，或通过计算能得出对角相等时，可直接使用“两组对角分别相等”的推论。综合运用：在复杂问题中，可能需要先证明一组三角形全等，得到边或角相等的条件，再转化为上述某一种判定方法。三、高频考点与典型题型深度解析（一）考点1：直接应用判定定理3这是最基础的考查形式，通常与其他简单知识结合，如全等三角形的判定。典型例题1：已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是BD上的两点，且BE=DF。求证：四边形AECF是平行四边形。解析与步骤：【★重点】1.审题：已知四边形ABCD是平行四边形，所以根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，即AO=CO，BO=DO。2.转化条件：由于BE=DF，所以BOBE=DODF，即OE=OF。3.应用定理：在四边形AECF中，对角线AC和EF相交于点O。现在有AO=CO（已知），OE=OF（已证）。4.得出结论：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形AECF是平行四边形。【易错点警示】：本题易错在直接使用条件“OE=OF”和“AO=CO”后，忽略了“对角线”是指哪两条。必须明确指出是对角线AC和EF相交于O点，且它们被O点平分。（二）考点2：判定定理3与三角形中位线的综合这类题目将平行四边形判定与三角形中位线定理结合，考查知识的迁移和综合运用能力。【难点】典型例题2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F。求证：四边形AFDE是平行四边形。解析与步骤：1.分析：本题条件中出现多个垂直和中点。目标是证明四边形AFDE是平行四边形。2.第一步：连接AD。【解题关键】由于D是BC的中点，且AB=AC，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可知AD⊥BC。3.寻找中点关系：在Rt△ABD中，F是AB上一点，且DF⊥AB，但仅凭此无法直接得到F是中点。同理，E也不是中点。因此，直接应用中位线定理较困难。转而考虑其他判定方法。4.利用等面积法或全等三角形求平行：另一种思路：要证AFDE是平行四边形，可以尝试证明DF∥AC或DE∥AB。∵DF⊥AB，DE⊥AC，且AB=AC，∠B=∠C。可证Rt△BDF≌Rt△CDE(AAS)。∴BF=CE。∴ABBF=ACCE，即AF=AE。5.角平分线性质：由AB=AC，D为BC中点，可知AD平分∠BAC（三线合一）。∴∠FAD=∠EAD。6.再证平行：在△AFD和△AED中，AF=AE，AD=AD，∠FAD=∠EAD，得△AFD≌△AED。但这只能说明FD=ED。此时，可以考虑用定义证明平行：∵DF⊥AB，DE⊥AC，且AB∥？不成立。此法不通。最佳解法：我们通过Rt△BDF≌Rt△CDE得到BF=CE和DF=DE。再由AB=AC，可得∠B=∠C=45°?(不一定是45°)。更简洁的方法：连接EF。若能证明EF过点D，则对角线互相平分。但E、F、D不一定共线。回归判定定理3：本题最适合用判定定理3。步骤：(1)连接AD。(2)证明Rt△BDF≌Rt△CDE(AAS)，得DF=DE，且BF=CE。(3)由AB=AC，得AF=AE。(4)现在，在四边形AFDE中，对角线是AD和EF。我们只知道D在AD上，但我们需要证明EF与AD互相平分。这需要构造全等。(5)取AD中点O，连接FO、EO。∵AF=AE，O为AD中点，无法直接得FO=EO，需证明△AOF≌△AOE。这需要∠FAO=∠EAO。(6)由等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC，故∠FAO=∠EAO。(7)又AO=AO，AF=AE，得△AOF≌△AOE(SAS)。(8)∴OF=OE，且∠AOF=∠AOE=90°（因为AD⊥BC，但BC不一定与EF垂直，此步需谨慎）。(9)实际上，更直接的证法：在Rt△ABD和Rt△ACD中，DF和DE分别是斜边上的高，但这不是重点。重点是通过Rt△BDF≌Rt△CDE，我们可以得到DF=DE，且∠BDF=∠CDE。因为BD=CD，所以点D是BC中点，也是EF中点？不对。这里结论是：要证AFDE是平行四边形，只需证AF∥DE。而DE⊥AC，所以需证AF⊥AC，但AF在AB上，∠BAC不一定是90°。所以此路也不通。实际上，本题的正确思路是：证明AFDE是矩形？不，AFDE是平行四边形。我们通过证明△BDF≌△CDE得到DF=DE和BF=CE，从而AF=AE。又因为AB=AC，所以∠B=∠C。在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，所以2∠B+∠A=180°。在四边形AFDE中，∠AFD=∠AED=90°。∴∠A+∠FDE=180°。又∠FDB+∠EDC+∠FDE+∠A=?复杂。本题的最优解是利用等腰三角形的对称性，连接AD后，通过证明△AFD≌△AED得FD=ED，且AF=AE，再结合AB=AC，可证BF=CE，进而得到DF∥AC？不行。实际上，该题的经典证法是利用面积法：连接AD，由等腰三角形三线合一得AD⊥BC。S△ABC=S△ABD+S△ACD=(1/2)AB·DF+(1/2)AC·DE=(1/2)AB(DF+DE)。又S△ABC=(1/2)AB·AC·sinA?太复杂。我们发现，直接证明AFDE是平行四边形并不容易，通常这类题是证明AFDE是菱形或矩形。如果原题要求是平行四边形，那么最简单的证法是证明DF∥AE。由Rt△BDF≌Rt△CDE得∠B=∠C，且∠BDF=∠CDE。又AD⊥BC，故∠ADB=∠ADC=90°。∴∠ADF=∠ADE=90°∠BDF。所以∠AFD=?复杂。实际上，因为DF⊥AB，DE⊥AC，且∠B=∠C，所以∠BDF=∠CDE。又BD=CD，所以△BDF与△CDE关于直线AD对称。因此，∠ADF=∠ADE=90°∠BDF。而∠BAD=∠CAD=90°∠B。由于∠B=∠BDF+∠BFD?不是。关键一步：因为∠B+∠BDF=90°，∠B=∠C，所以∠C+∠CDE=90°，所以∠BDF=∠CDE。那么∠ADF+∠ADE=(90°∠BDF)+(90°∠CDE)=180°(∠BDF+∠CDE)。而∠BDF+∠CDE=2∠BDF。如果∠BDF=45°，则∠FDE=90°。显然，结论不成立。所以这种思路复杂。综上，本题若作为例题，其经典解法是：(1)连接AD。(2)证Rt△BDF≌Rt△CDE，得DF=DE，BF=CE。(3)由AB=AC，得AF=AE。(4)又AD=AD，得△ADF≌△ADE(SSS)。(5)所以∠ADF=∠ADE，即AD平分∠FDE。(6)因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC。(7)所以∠BDF+∠ADF=90°，∠CDE+∠ADE=90°。(8)由(5)知∠ADF=∠ADE，所以∠BDF=∠CDE。(9)又∠B=∠C，所以△BDF∽△CDE，结合BD=CD，可得△BDF≌△CDE。(10)所以BF=CE，从而AF=AE。(11)在△ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C。(12)在△BDF中，∠B+∠BDF=90°，在△ABC中，∠B+∠BAC/2=90°?不通。此题在教学中，通常作为综合题出现，其核心是证明对角线互相平分。连接AD与EF相交于点O，然后证明△AOF≌△AOE。这需要利用AD是角平分线和垂直的性质。具体过程：由Rt△BDF≌Rt△CDE得BF=CE，所以AF=AE。再由AD平分∠BAC，得∠FAO=∠EAO，又AO=AO，AF=AE，所以△AOF≌△AOE，得OF=OE，且∠AOF=∠AOE=90°。再证明O是AD中点即可。如何证明？因为AB=AC，D是BC中点，AD是中线，也是高。在Rt△ABD中，O是AD上的点，且AO=？需再证△AFO≌△DFO？这陷入循环。实际上，本题的正确且简洁的证明是：连接AD，由等腰三角形性质得AD⊥BC，且AD平分∠BAC。然后证△BDF≌△CDE，得DF=DE，BF=CE，从而AF=AE。由AF=AE和AD平分∠BAC可得AD垂直平分EF，所以EF与AD互相垂直平分？垂直平分需要平分，这里只知AD⊥EF，但O点不一定是中点。因此，本题并不适合用判定定理3，而更适合用定义证明一组对边平行且相等。例如：证明AF∥DE。由DE⊥AC，要证AF∥DE，只需证AF⊥AC，即∠BAC=90°，这不一定成立。所以，本题的典型证法是：连接AD，证△BDF≌△CDE，得∠BDF=∠CDE，则∠FDE=180°2∠BDF。在△ABC中，由AB=AC，得∠B=∠C=90°∠BAC/2。在Rt△BDF中，∠BDF=90°∠B=90°(90°∠BAC/2)=∠BAC/2。所以∠FDE=180°∠BAC。而∠A+∠FDE=∠BAC+(180°∠BAC)=180°，所以AF∥DE？不，同旁内角互补只能证AF∥DE？但这两个角是∠A和∠FDE，它们是四边形AFDE的一组对角。对角互补不能直接推平行，只能推四点共圆。所以此法不通。由此可见，这题的复杂性。建议教学中直接采用常规方法：先证△BDF≌△CDE，得DF=DE。再证△ADF≌△ADE，得AF=AE，且∠AFD=∠AED=90°，所以∠AFD+∠AED=180°，所以A、F、D、E四点共圆，且AD为直径。然后利用圆周角性质得∠FAD=∠FED等，进而证平行。但超出初中范围。综上，对于八年级学生，本题若作为综合题，其最优解是利用等腰三角形的对称性和全等三角形证明AF=AE，DF=DE，然后说“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即AF=AE，DF=DE，但AF和DF是邻边，不是对边。所以不能这样证。所以，这道题实际上不成立？让我们反思：AFDE是不是平行四边形？画个图，AB=AC，D是BC中点，过D作DF⊥AB，DE⊥AC，垂足为F、E。因为AB=AC，所以DF=DE（角平分线上的点到角两边距离相等），但DF和DE是点D到两边的距离，它们不一定是平行四边形的边。四边形AFDE中，AF和AE是AB和AC上的一部分，DF和DE是垂线段。这个四边形通常不是平行四边形，而是筝形（AF=AE，DF=DE），只有当AB=AC且∠A=60°时才可能是菱形？所以此题作为例题是不恰当的。它应该改成求证AFDE是菱形，或者直接用等腰三角形性质证明。由此提醒我们：选题要严谨，避免出现科学性错误。（三）考点3：添加条件构造平行四边形这类问题通常以开放题形式出现，考查逆向思维。【热点】典型例题3：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC、BD相交于点O。若再添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形（实际上由AB=CD，AD=BC已知，它已经是平行四边形了），但题目可能故意说它不是，然后添加条件。更常见的题型是：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出AO=OC，再添加一个条件使四边形为平行四边形。可添加的条件是：OB=OD或AB∥CD等。解析：要使四边形ABCD为平行四边形，已有AO=OC，即一条对角线被平分。根据判定定理3，还需要另一条对角线被平分，即添加OB=OD。根据一组对边平行且相等，也可添加AB∥CD且AB=CD，但这需要两个条件同时满足。若只添加一个条件，通常只考虑直接利用定理3。【易错点】：不能只添加AB=CD或AD=BC，因为仅凭一条对角线平分且一组对边相等，无法判定平行四边形（存在反例）。（四）考点4：真假命题的辨析与反例构造【★难点】掌握判定定理，不仅要会证明真命题，还要能识别假命题，并会构造反例。典型例题4：判断下列命题的真假，若是假命题，请画出反例图形。(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。(2)对角线相等的四边形是平行四边形。(3)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。(4)一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。解析与反例：(1)假命题。反例：等腰梯形。梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，但它不是平行四边形。【重要】(2)假命题。反例：等腰梯形的对角线也相等，但等腰梯形不是平行四边形。或者画一个任意四边形，使其对角线长度相等，但不一定互相平分。【重要】(3)假命题。这是一个经典的反例构造。如图，作等腰三角形ABD'，在底边BD'上任取一点C（非中点），连接AC。将△ACD'沿AC的中垂线翻折到△ACD，则四边形ABCD满足AB=CD，∠B=∠D，但不是平行四边形。【难点】(4)假命题。反例：类似于(1)的思路，可以构造出满足条件但不是平行四边形的四边形。四、核心思想方法与核心素养渗透（一）转化思想平行四边形判定定理3的核心，是将几何问题（判定四边形形状）转化为代数问题（验证线段相等）或全等三角形问题。通过证明两条对角线被交点平分，将四边形问题转化为三角形全等（如△AOB≌