随机过程实例分析

随机过程实例分析

摘要：研究随机现象，主要是研究它的统计规律性，一种可行的方法就是采用

有限维分布函数族来刻画随机过程的统计规律性。利用随机过程的观点分析信号

处理和检测方面的知识是可行的。利用周期图估”•功率谱时，可以用随机过程的

观点平滑噪声干扰；对于昌达信号的检测问题，可以利用假设干扰是随机高斯噪

声，然后利用相关知识进行序贯检测，可以达到白适应检测的目的；随机过程在

窄带条件下的应用之一，是可以根据干扰噪声的物理特性，导出混合高斯噪声模

型的概率密度函数。

关键词：功率谱和周期图，序贯检测，窄带混合高斯噪声

随着科学技术的发展，我们必须对一些随机现象的变换过程进行研究，这就

必须考虑无穷多个随机变量；而且解决问题的出发点不是随机变量的N个独立

样本，而是无穷多个随机变量的一次具体观测。这时，我们必须用一族随机变量

才能刻画这种随机现象的全部统计规律性，通常我们称随机变量族为随机过程。

本文主要分析在信号处理及检测方面，当干扰为高斯白噪声时，如何利用随机过

程的统计特性平滑噪声，或者说降低噪声对算法性能的干扰。本文分为四个部分:

第一部分是利用周期图进行信号谱估计时，如何降低高斯白噪声对其性能的影

响；第二部分讨论在雷达信号检测过程中，当干扰为高斯噪声时，通过序贯检测

达到自适应检测的目的；第三部分分析窄带窄带混合高斯噪声模型的概率密度函

数；第四部分进行总结。

一功率谱和周期图

功率谱估计（PSD）是用有限长的数据来估计信号的力率谱，它对于认识一个

随机信号或其他应用方面来讲都是重要的，是数字信号处理的重要研究内容之

一。功率谱估计可以分为经典谱估计（非参数估计）和现代谱估计（参数估计）。

前者的主要方法有BTPSD估计法和周期图法；后者的主要方法有最大燧谱分析

法（AR模型法）、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、Prony谱线分解

法以及Capon最大似然法。其中周期图法和AR模型法是用得较多且最具代表

性的方法。

估计原理：

我们知道随机信号的功率谱和自相关函数是一对傅氏变换对：

匕（•）二£鼠（加”"

(1.1)

m=・8

而自相关函数定义为：

凡r（〃2）=E(1.2)

在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个（例如N个）取样值，用

表示。可以认为它是分段立稳随机信号中的一段，也可以将它看成是从平稳随机

信号中截取出来的一段数据。对于平稳随机信号，无论何时开始从其中任取一段

长为N的数据，所计算出来的均值或自相关都是相同的。信号）为（〃）可以看成

是用一个宽为N的数据窗卬（〃）从平稳随机信号y（〃）中截取出来的，即

yN（〃）=y（〃）xw5）（1.3）

之所以假定）/（〃）是分段平稳信号中的一段或从平稳随机信号中用数据窗选取

出来的，主耍原因在丁这样便可根据遍历性假设用时间平均代替集合平均。

若已知N个数据为

%（〃）=（%,如…,加1）

则用时间平均来近似计算的自相关函数为

1N-1-I川

区«）=大Z九%kKN-l（1.4）

N«=0

称之为取样自相关。它可以看成是有限长序列）为（〃）司）/（一〃）的卷积运算结

果除以N,即

-1

Ryy（6=R（）R（"）*%J"））（15）

取样自相关函数的双边Z变换叫做周期图，它是功率谱的一种估计，用6»（z）表

示，

N-1

5?/z）=Z%伏廿（1.6）

联系（1.5）,由上式得到

八1.

s“(z)=7；y(z)y(zT)(1.7)

N

这里Y(z)是＞、(〃)的Z变换。式(1.6)和式(1.7)是计算周期图的两种基本

方法，前者称为间接法，后者称为直接法。令z=/\由式(1.7)得到

丁1,1N-\

6”(卬)=痴,(卬)「二百2'皿加""(1.8)

该式很适合于用FFT来计算。

长度为N的数据段计算出的周期图所能达到的频率分辨率为

27r

Aw=0.89—(1.9)

N

Matlab仿真与分析：

设采样频率为2Hz,信号模型为

x(n)=cos(0.35x27Vm)+cos(0.4x2/nn)+0.25cos(0.8x2兀喻

受到均值为0，方差为I的高斯噪声干扰，观测信号为

y(n)=x{n)+

=cos(0.35x27rm)+cos(0.4x2/rm)+0.25cos(0.8x27rM+以〃)

分析观测信号可知,该信号包含三个频率，即：0.35Hz,0.4Hz,0.8Hz,

如果想得到原始信号的频率，存在以下四个问题：

I.前两个频率分量相差0.05Hz,要求FFT运算时，频率分辨率应高于0.05

Hz,也就是说采样点数存在下限。

由图1.1可以看出，当采样点为20时，频率0.35Hz和0.4Hz无法区分开来,

也就是此时的频率分辨率小于0.05Hz,为了解决这个问题，应增加采样点数。

如图1.2所示，此时取的采样点数为80,可以看出，0.35Hz和0.4Hz已被区分

开来，说明频率分辨率已经大于0.05Hz了。

2.当采样点一定时，那么FFT包络也就确定，包络的峰值就是信号频率。

如何能更精确的刻画包络，使得包络峰值不会因为采样点不合理而漏踩，是第二

个问题。

对于图1.1和图1.2,其FFT变换的点数为1024,为了降低计算的复杂度，

如果样本采样点数不变，只是减少FFT采样点数，即进行80点的FFT变换和

128点的FFT变换，如图1.3所示，NFFT表示采样点数。从图1.2和图1.3中可

以看出不同的NFFT,其显示的图形不同，但实际上如果信号的采样点数确定，

包络也就确定了，不同NFFT只是刻画包络的情况不同，点数越多，刻画得越细

致。也许图1.3给人一种NFFT=80时效果最好的感觉，实际这只是一种错觉，

由于FFT点数少，图1.3上方的频率的最高点已经产生了飘移，虽然有三个尖峰,

但都不是实际的频率，这就是对真正的包络峰值漏踩得到的结果。NFFT=1024

时，频谱最接近实际包络。

3.由信号可以看出，第三个频率分量在时域中的幅度为0.25,其能量相对

较小，而以〃）的方差为1,也就是说第三个频率分量很容易淹没在噪声频率中，

如何精确提取0.8Hz的频率分量是第三个问题。

图1.4给出的是被噪声污染了的信号的频谱，可以看出噪声功率较大，根本

无法有效的提取信号频谱，08Hz己经完全淹没在噪声功率中。由于噪声是高斯

白噪声，其频谱是平坦的，因此可以通过多次求频谱然后平均的方法平滑噪声，

降低其方差。图1.5是经过50次平滑后的频谱，也就是说其方差想对于图1.4

已经下降了50倍，已经很接近没有噪声时的情况，即为图1.2所示的频谱。

4.旁瓣功率过大可能会产生干扰。

对丁图1.2和图1.5还存在一个非常严重的问题，就是旁瓣功率过大，我们可

以通过加各种渐变窗来进行抑制旁瓣功率。图1.6是在得到图1.5的仿真参数上

加汉明窗所得的结果，可以看出此时的波形是比较理想的，可以提取三个频率分

量。但需要说明的是，加窗虽然可以抑制旁瓣功率，但却是以牺牲频率分辨率为

代价的，也就是说抑制旁瓣功率和提高频率分辨率是一对相互制约参量，为了得

到最佳效果，应在两者中寻找平衡点。

图1.1采样点为20时的无噪声干扰的信号X（〃）的频谱

图1.2采样点为80时的无噪声干扰的信号X（〃）的频谱

图1.3采样点为80时，无噪声干扰的信号.1（"）在不同FFT点数时的频谱

图1.4被噪声干扰的信号X（〃）的频谱

图1.5平滑50次的被噪声干扰的信号X（〃）的频谱

图1.6平滑5（）次的被噪声干扰的信号X（〃）加汉明窗的频谱

二序贯检测问题

对于假设检验问题，如果每次检测所依据的数据样本是一样长的，那么往往

不能充分发挥系统的潜力，例如雷达系统，随着观测数据时间的加长，信息量便

不断地增多；在完成一定的战术指标（。,4）前提下，对于近距离的大目标回波,

用较少时间的观测数据便可作为判次；而对于远距离的小目标问波，则需要较多

的观测数据方能给出合乎性能指标的结果。因此，按照固定观测数据时间工作的

雷达体制，在不同的情况下，有时显得“大材小用”，作判决用了过多时间，有

时又会显得“力不从心”，尚嫌数据不足。总之雷达的潜力未能合理应用，没有

自适应性。

这时，我们需要一种可以自适应判决的检验准则，及其每次处理所用的时间

是变动的，或者说每次判决所用的数据取样数目是变动的在指定的检测性能

（a,夕）前提下，从获得第一个数据取样就开始进行处理，如果在满足性能要求

的前提卜.能作出判决，则检测过程结束；否则再取第二个取样，对第一、第二两

个数据取样进行处理和判决；如此进行，逐渐增多信息量，直至能作出满足指定

性能指标的判决为止。序贯检测就是这样一种自适应检测准则。

下面我们讨论修正的奈曼一一皮尔逊检验，或称为序贯概率比检验，它在序

贯检测中应用最广。这种检验方法在给定虚警概率a和漏报概率4的条件下所

需要的平均检测时间最短。在序贯概率比检验中，依据给定的a及夕确定两个

似然比门限4及/0,在每一部判决过程中，若似然比处于人与之间，则获得的

信息量尚不足于作出判决，继续接受下一个数据再作处理。

问题的关键是确定两个门限值与a、4之间的关系。令观测数据x为

其中数N代表观测数据的取样数，此时的似然比为

〃区出）

N(2.1)

〃（XNI”O）

假设取样值是统计独立的，则上式可写成

AP（X.\HAA

"八）=口西两=口收）(2.2)

其中/（乙）是第k次观测的似然比。判决规则为

/(XN)>1,(2.3)

H。

/(xj—I。(2.4)

/0</(xN)</,继续取样(2.5)

对于给定的a及4有

〃(x"Ho)dxN

“入I

PL1-2=J%P(XNI"J'=J、P(XNIW0)/(xN)r/xN

式中〃。代表存在的条件下判决“I成立的概率，故此时必满足式(2.3),即

Z(xN)>/r将此带入上式可得

1一段小P(X""O"XN

故得

(2.6)

a

用类似的方法可以求出

(2.7)

为了分析和计算的方便，常采用对数似然比，式(2.2)可写成

NN-1

In/(xN)-In口/⑺-ZIn)+Inl(xN)(2.8)

k-\k=\

并与门限ln/1及In%进行比较和作出判决。如果似然比每一步增量ln/(4)很

小，使得在取样终止时ln/(x,v)超过门限In/1不过(或者小于门限In/。不多)，

那么门限值可以近似地写成

ln/产——(2.9)

a

及

ln/(2.10)

n°\-a

这就是所需要的门限值与给定的。及夕的关系。

现在我们来求序贯概率比检验所需要的平均取样数E[N|"]及

E[N|"o],其中N是终止阶段的取样数，是个随机变量。

当必为真时，有

P[ln/(xN)<ln/0|/7.]=/?

P[lnZ(xN)>ln/I|W1]=l-^

当“0为真时，有

P[ln/(xN)<ln/0|//()]=l-(z

户[ln/(XN)Nln//H0]=a

又由于随着观测取样数的增加，ln/(/)的每一步增量都很小，故可以认为最终

取样OR的In/C/)只取两个数，或者是In/。，或者是In，。因此In/(即)的条

件数学期望等于

E[ln/(xN)|/71]=(l-^)ln/14-y01n/o

E[ln/(xN)|W0]=crln/,+(l-«)ln/0

另一方面，在每次取样值先具有同样概率分布且独立的条件下，有

E[ln/(xN)|/7,.]=E^ln/(x,)|/7.=E[ln/(x)|〃』E[N|z=0,I

代入式(2.11)及(2.12)得

(1+/?ln/o

E[/V|H,]=

E[ln/U)|W,]

«In/,+(l-cr)ln/

E[N[%]=0

E[ln/(x)|//0]

最后，值得说明的是.序贯概率比检验是有终止的，/(x)的值不会总是徘

徊在4与%之间而不能作出判决。

三窄带混合高斯噪声模型

根据干扰噪声的物理特性，在窄带条件下，可导出混合高斯噪声模型的概率

密度函数。该概率密度函数是不同加权值的多个高斯分布的叠加，其表达式如下:

3A"(A+6

p(x)=e~A

通常取表达式的前四项就可以满足要求。参数A表示“脉冲指数”，它反

映非高斯冲激项的比例。当A逐渐趋于0且A不为0时，，由于单位时间内的强

干扰源逐渐减少或它们的持续时间变短，这时强干扰源对整个混合噪声的贡献将

减弱，所以混合噪声的总概率密度将由强非高斯性向高斯性过渡。当A趋于无

穷大时，意味单位时间内有大量独立干扰源，根据中心极限定理，这时冲激项的

统计特性趋于高斯性。参数攵=A「，它的物理意义是样本中小样本值和大样

本值的平均功率比。「是“高斯因素”，它反映的是高斯项和非高斯项在总时间

内的平均能量比。k越小，则样本的非高斯性越强；k越大，则样本的高斯性越

强。

二元假设为%:茗〃=%,；其中%为确知信号,%为

噪声，用窄带混合高斯表示其概率特性。假设接收端的噪声统计独立，信噪比远

远小于I,且信号相关时间远小于信号持续时间。

则最佳检测器的似然比为：

（3.2）

^=pMHA=JKx-s1

p（%|“0）p（x）

其中〃（•）表示纯噪声下观测样本的多维概率密度，*=［西・・・占打］,7表示观

察时间，3表示噪声带宽，

在小信噪比条件下，得到似然比

2BT2BT2

A-1=Z%+ZZ,〃exp（/&帆）（3.3）

m=lni=］

其中=b也户=。为噪声的平均功率，口

凡dx：

为归一化窄带中心频率。

由式⑶规定的似然比检验可由噪声预白滤波器、半线性滤波器和传统的正

交接收机组合来完成（见图3.1）。该模型在传统的正交接收机的基础上，外加了

预白滤波器和升线性滤波器.其中所加的预白滤波器是为了保证模型实现的条

件，即色噪声的白化。非线性滤波器则用来对输入非高斯噪声高斯化，而对输入

小信号仍满足线性输出。

图3.1随机信号的非高斯最佳检测器

四.总结

一般来说，把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透

过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，

从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。随机过程分析渗透到很多与信

息和通信相关的学科，以随机过程分析的角度处理相关蹴念和定义更具有其现实

意义，尤其对于工程技术人员来说，将理论应用与实际相结合更是离不开随机过

程分析。

参考文献：

rn朱华，随机信号分析，北京理工大学出版社，2004年7月。

12J王永德,随机信号分析基础,电子工业出版社,2003年6月。

［3］姚天任，孙洪，现代数字信号处理，华中科技大学出版社，1999年11月。

［4］许树生，信号检测与估计，国防工业出版社，1985年。

15］陈功，蔡志明，混合高斯噪声中随机信号的最佳检测，声学与电子工程，2005

年第2期。

附录:

导师：茹国宝

电话/p>

研究方向：1.遥感影像处