近世代数课程标准

近世代数课程标准

一、课程概况

课程名称近世代数课程代码20102904

适用专业数学与应用数学开课学期第3或4学期

课程性质专业必修课程学时/学分68/4

预修课程《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》

二、谓电程目标

课程目标1:学生可以阐述近世代数中群、环、域的一些基本概念和基本性质以及相关定理和对应重

要的i正明；并能根据定义和性质进行举例和判断，以及应月性质对循环群、置换群及对称群、

整环、域、除环给出相应的刻画；对群的同构以及环的同态能阐述定义及基本性质；对素理

想、极大理想、环的特征和素域都能根据定义给出相应的判断；打好群、环、域基础，提升

学生的^业知i只素质，为后续课儆其它相关将柏勺学习奠定知识基砒

课程目标2：学生能够掌握近世代数课程中对群、环、域的更深一步知识，同时了解近世

代数课程的相关历史背景以及国内外最新发展状况，具有一定的数学文化素养。学生要明确

阐述出了群的陪集和正规子群的定义及正规子群对应的商群的概念，能熟练应用相关性质和

相关定理知识来判别是否正规子群；能阐述群同态的定义并举例说明；能证明同态基本定理；

对于多项式环、整环的商城、唯一分解整环、主理想整环以及欧几里得整环能阐述各自的概

念和性质以及相互的联系；能够对扩域有进一步了解，理解并掌握代数扩越和有限域定义；

能够理解并掌握重要性质和定理的结论和证明思路，并且可以综合应用相关性质和定理到实

际计算中来解决问题。培养学生严密的数学语言表达能力、抽象的逻辑思维能力、严诬的推

理论证能力以及熟练的抽象运算能力，为后续课程的学习和深造打下坚实的代数学基础。

课程目标3：了解近世代数课程在近（现）代数学中的基础地位和作用，以及与相关学科

（如密码学、计算机科学等）的联系。

课程目标4：具有终身学习与持续发展的意识和能力，能够利用近世代数的相关理论指导

中学数学中代数方面的教学实践，并能够在中学数学教学实践中客观、真实地介绍近世代数史以及与近

世代数相关的现代数学学科。

三、课程目标与毕业要求的关系

1、课程目标与毕业要求的对应关系

毕业要求指标课程目

点标

学学科素3.1掌握数学学科的基本原理、基础知识、基本方法、基本思邮目标1

会养想，了解现代数学分支的基本知识和专业发展趋势课程目标2

教3.2善于整合运用数学知识分析问题、解决问题，具备对数学课程目标1

学问题进行抽象概括化和逻辑推理的能力，具备良好的数学表课程目标2

达能力

3.3了解数学与物理和计算机等其他相关学科的联系，理解数课程目标3

学在社会生活的实际应用价值

6.1接受数学学科独有的谨慎细腻，思维严密的训练，能够将课程目标4

学会综合育数学课堂教学与思政教育紧密结合。能有效掌握教学案例设

有人人计、学生情感价值观察和分析，掌握灵活多样化的教学方法

学学会反7.1掌握数学教学专业发展规律，具有数学教学反思意识，树嬲目标1

会思立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教程FI标2

发学工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对目标4

展比，进行探索和研究，初步具备数学教学研究能力

2、课程目标与毕业要求的矩阵关系图

名称践行师德学会教学学会育人学会发展

师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作

1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37.17.27.38.18.28.3

近世代数11HHLM

近世代数HLM

课程目标1HHM

课程目标2HHM

课程目标3H

课程目标4LM

注：H表示高支撑，M表示中支撑，L表示低支撑.

四、课程教学要求与重难点

序课程内教学要求教学重点教学难点

号容框架

掌握等价关系与集合的分等价关系与集合的分类等价关系与集合的

类的定义及关系，为学习的定义及关系；分类的关系；

1

群全书打好基础；群的定义及其性质；群的定义及其等价

能够阐述群的相关定义和子群的定义、性质及判别条定义的理解；

性质，并能根据定义、等价伟理解并掌握生成子

定义和性质进行举例和判群的同构概念及群同构的性群的刻画；

断；质并会判断是否为解同构；凯莱定理；

能阐述子群等相关定义和掌握元索的阶的定义及会求掌握有限和无限循

性质，并能根据定义和性的阶；环群的刻画；

质进行举例和判断；掌握循环群的定义和性变换群、置换群的

掌握群的同构概念及群同构质、判定，会求循环群的刻画。

的颤；全部生成元和子群；

会求元素的阶；掌握循环掌握置换群和对称群定

群的定义和性质、判定，会

义，掌握SN的性质和刻

求循环群的全部生成元和

画。

子群；

掌握置换群和对称群定

义，掌握5”的性质和刻

画。

学生要明确子群的陪集以子群陪集的相关理论、有子群的左右陪集的

群的进及正规子群的定义及正规限群的拉格朗日定理；刻画与联系；

一步讨子群对应的商群的概念及正规子群的定义及判别正规子群的判别法

2

论性质和相关定理知识；条件、商群的概念；则；

掌握群的同态定义以及同群的同态概念及群同态基本商群的构造；

态基本定理。定理、应群同态基本定理证群同态基本定理的

明群同构。理解及应用。

学生能够熟悉并阐述环、环、子环的定义、判别条理想和商环的定

子环定义及对应等价定义件及基本性质；义、判别条件；

3环并会用性质进行判定；理想和商环的定义、判别整环、域的性质及

学生能够熟悉并阐述理想条件及初步性质；判别；

定义并会用性质进行判环同态的概念及环同态基本素理想和最大理想

定，掌握商环定义和性质；定理的证明；的定义及判别；

掌握环同志砸念及环同态基无零因子环、整环、域、1飙环的特征的定义及

本翘^的概念和颤求法。

掌握整环、域、除环的概念和想、最大理想的定义及判

性励能能脱明；别；

能阐述素理想、最大理想的定环的特征的定义、性质及

义、性质及并会判别；求法，素域的定义和基本

掌握环的特征的定义、性性质。

质及求法，素域的定义和

基本性质。

序课程内教学要求教学重点教学难点

a容框架

学生能够理解在整环上讨多项式环的概念及性质；多项式环的性质；

论整除的概念以及多项式理解整环的商域的概念、整环的商域的构造

环的概念、性质、理解整环构造过程及性质；过程及性质；

4环的进

的商域的概念、构造过程素元和不可约元的定义素元和不可约元的

一步讨

及性质、对整环上讨论整及关系，唯一分解整环的定义及关系；

论

除理论有比较系统的了概念及性质；唯一分解整环、主

解，并能用所学的理论解主理想整环以及欧几里理想整环以及欧几

决一些简单的与环和域性得整环的定义及相关性里得整环之间的联

质有关的问题。质以及他们之间的联系。条

学生掌握域的一些基本结扩域的概念及性质；扩域的概念及性

果，在域上有向量空间的代数扩张的定义及性质；质；

域的扩

5定义上，掌握扩域的定义多项式的分裂域的定义代数扩域的定义及

张

和基本性质，了解域的代及判定条件；判定，极小多项式

数扩张含义及性质，对多有限域的基本性质和刻的求法；

项式的分裂域有所理解，画；有限域的刻画;

对有限域进一步了解，了了解用直尺和圆规作图尺规作图。

解用直尺加圆规作图的背的背景。

景。

五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况

序课程教学内容教学方式学支撑

a内时课程目标

容框

架

1群课程简介；代数运算：讲授、课堂讨论2目标1

等价关系与集合的分类：等价关系与集课程目标2

合的分类各自的定义及关系螂目标3

廨胴标4

群的概念：群的定义及其几个等价定义讲授、课堂讨论4嵋目标1

的证明；交换群，有限群和无限群及群的课程目标3

阶的概念、单位元逆元、消去律；群的每个目标4

揩J逆元的舱及其存a性唯性消去律的

相糊论；例子以及群的基本性质

子群：子群的定义及其等价定义及判别讲授、课堂讨论4蝴目标1

法；子群的交与生成子群课程目赤3

课®目标4

群的同构：同构、自同构的概念与性质及讲授、课堂讨论2课程目亦1

判定；交换群和一般群的关系；凯莱定理^8目标4

循环群：元素的阶的定义、性质及求法；讲授、课堂讨论4

海不群的概歙循两羊的存在性问题、个数问课程目标1

题邓琏问题，求有限循闲物所有生阪的

方法；求有限循环群的全部子群的方法

序课程教学内容教学方式学支撑

a内时课程目标

容框

架

置换群与对f僦:置换群与n次福傩的定义，讲授、课堂讨论4蝴目标1

,颉；置换的两种痴;方法；对换的定义；奇课程目赤3

偶1换的定汲判定课程目标4

习题课讲授、课堂讨论2蝴目标1

课程目标4

子群的陪集：集合的积的定义及群里子讲授、课堂讨论2蝌目标2

集的积的性质；子群的左右陪集、指数的

定义及相同和不同之处;Lagrange定理

正规子群与商群：正规子群的定义、例讲授、课堂讨论2课®目标2

子；正规子群的判别条件和性质；商群的课程目标3

2群的

定义及性质课程目标4

进一

群的同态和同态基本定理：同态映射、单同态、讲授、课堂讨论2谢期标

步讨2

满国志的定义及例子;群同态性质及同态基目标

论3

本定理课程目标4

习题课讲授、课堂讨论2程目标2

课6目标4

环的定义与基本性质：环、子环的定义、讲授、课堂讨论2课程目标］

例子及基本性质课程目标3

潮呈目标4

整环、域、除环：零因子、无零因子环的讲授、课堂讨论2蝴目标］

概念及判定；整环、域、除环的定义及例课程目赤3

子课程口苏4

3环理想与商环：理想的定义及判定；理想的讲授、课堂讨论2课程目标1

性质；主理想的定义及构成；商环的定义课SFI标3

及性质

环的同态：环的同态、单同态、满同态定义及讲授、课堂讨论2目标1

判定;环同态的核的刻画,环同趣本定理以嵋目布3

及环的第二同构定理；环的扩张定理

素理想与极大理想：素理想与极大理想讲授、课堂讨论2蝴目标1

的定义、例子、判定及简单性质课6目标3

环的特征与素域：环的特征的概念、性质讲授、课堂讨论2课®目标1

及求法，素域的概念、例子

习题课讲授、课堂讨论2课程目赤1

廨胴标4

序课程教学内容教学方式学支撑

a内时课程目标

容框

架

多项式环：多项式环、一元多项式环等的概讲授、课堂讨论课SFI标2

念、例子及相关1的员2蝌目标4

整环的商域：商域的概念、存在性、唯一讲授、课堂讨论2课®目标2

性及构造方法及例子、基本性质课S目标3

4环的

课程目赤4

进一

唯一分解整环：唯一分解整环的定义、性讲授、课堂讨论2课®目标2

步讨

质及例子

论

主理想整环与欧儿里德整环：主理想整讲授、课堂讨论2螂目标2

环的定义、例子与基本性质；欧儿里德整

环的概念、性质与例子

习题课讲授、课堂讨论2课程目标2

程目标4

向量空间：向量空间简介讲授、课堂讨论1课程目标

2

扩域：扩域、单扩域及有限扩域的概念、讲授、课堂讨论3课程目标

例子及基本性质2

代数扩张：代数元、超越元及代数扩张的讲授、课堂讨论2课程目标

概念、基本性质和典型例子2

域的课程目标

扩张4

多项式的分裂域：多项式的分裂域简介讲授、课堂讨论2课程目标

5

2

有限域：有限域的基本性质及例子讲授、课堂讨论1课程目标

2

课程目标3

几何作图：尺规作图背景讲授、课堂讨论1课程目标

2

课程目标

4

习题课讲授、课堂讨论2课程目标

2

课程目标

4

6综合综合复习：全部内容）讲授、课堂讨论4课程目标

复习1

课程目标

2

课程目标

3

课程目标

4

六、课程目标与考核内容

课程目标考核内容

课程目标1:学生可以阐述近1、期末考试：

1）等价关系的判定与集合的分类；

世代数中群、环、域的一些基本

2）群懒念、举（歹峋证明，群血府等（徒义及基本性届

概念和基本性质以及相关定理和

3）子群的概念、举例与判别条件，子群的交，牛成子群的刻画

对应重要的证明；并能根据定义

4）群的同构的定义及证明，群同构的基本件质，凯莱定理；

和性质进行举例和判断，以及

5）元素的阶的定义、性质及求法；循概念、循环群的

应用性质对循环群、置换群及

存在性问题、个数问题及构造问题，求有限循环群的所有生成元的

对称群、整环、域、除环给出

方法；求有限循环群的全部子群的方法；

相应的刻画；对群的同构以及

6）置换群与n次对称群的定义，性质；置换的两种表示方法；对换

环的同态能阐述定义及基本

的定义；奇偶置换的定义及判定；

性质；对素理想、极大理想、

7）环、子环的定义、例子及基本性质；

环的特征和素域都能根据定

8）零因子、无零因子环的概念及判定：

义给出相应的判断；打好群、

9）整环、域.、除环的定义及例子；

环、域基础，想T学生犍'I欧口

10）理想的性质；土理想的定义及构成；商环的定义及性

识素质，为后续课程及其它相关学

质；

科的学习奠定知识基础。

11）环的同态、单同态、满同态定义及判定；环同态的核的^画,环

同态基本定理以及环的第二同构定理；环的扩张定理；

12）素理想与极大理想的定义、例子、判定及简单性质；

13）环的特征的概念、性质及求法，素域的概念、例子；

2、课堂出勤和课堂表现、平时作业、期中测试等

课程目标2：学生能够掌握近1、期末考试：

1）集合的积的定义及群里子集的积的性质；

世代数课程中对群、环、域的

2）子群的左右陪集、指数的定义及相同和不同之处；

更深一步知识，同时了解近世

Lagrange定理的应用；

代数课程的相关历史背景以

3）正规子群的定义、例子；正规子群的判别条件和性质：

及国内外最新发展状况，具有

商群的定义及性质；

一定的数学文化素养。学生要

4）同态映射、单同态、满同态的定义及例子；群同态性质及同态

明确子群的陪集以及正规子

基本定理；

群的定义及正规子群对应的

5）多项式一元多项式环等的概念、例子及相关性质：

商群的概念及性质和相关定

6）商域的概念、存在性、唯一性及构造方法及例子、基本

理知识；掌握群的同态定义以

性质；

及同态基本定理；对于多项式

7）唯•分解整环的定义、性质及例子；主理想整环的定义、

环、整环的商域、唯一分解整

例子与基本性质；

环、主理想整环以及欧几里得

8）欧几里德整环的概念、性质与例子；

整环能明白各自的概念和性

9）向量空间定义及性质；

质以及相互的联系；能够理解

10）扩域、单扩域及有限扩域的概念、例子及基本性质；

并掌握重要性质和定理的结

11）代数元、超越元及代数扩张的概念、基本性质和典型

论和证明思路，并且可以综合

例子；

应用近世代数中的性质和定

12）多项式的分裂域例子；

理到实际计算中来解决问题。

13）有限域的基本性质及例子；

培养学生严密的数学语言表

14）几何作图；

达能力、抽象的逻辑思维能

2、课堂出勤和课堂表现、平时作业、期中测试等

力、严谨的推理论证能力以及

熟练的抽象运算能力，为后续

课程的学习和深造打下坚实

的代数学基础。

课程目标考核内容

课程目标3：J'解近世代数课1、期末考试：

1）代数运算、同态、同构、等价关系与集合的分类；

程在近（现）代数学中的基础

2）群的概念与证明；

地位和作用，以及与相关学科

3）子群的概念及判别条件；

（如密码学、计算机科学等）

4）变换群、置换群的相关理论；

的联系。

5）正规子群的概念及判别条件，商群的概念与构造，拉格

朗日定理；

6）群的同态性质；

7）环的概念及证明，子环的相关概念及判别方法,

8）环同态基本定理；

9）理想、主理想、最大理想的概念及判别条件；

10）剩余类环、最大理想构造域的方法；

11）商域的构造等；

12）有限域的基本性质及例子；

2、课堂出勤和课堂表现、平时作业、期中测试等

课程目标4：具有终身学习与1、期末考试：

1）代数运算、映射、同态、同构、等价关系与集合的分类;

持续发展的意识和能力，能够

2）群的概念与证明：

利用近世代数的相关理论指

3）子群的概念及判别条件；

导中学数学中代数方面的教

4）变换群、置换群的相关理论；

学实践，并能够在中学数学教

5）环、整环、域的概念及证明，整环、域的性质；

学实践中客观、真实地介绍近

6）多项式环；

世代数史以及与近世代数相

7）商域的构造；

关的现代数学学科。

8）代数元，代数扩张的定义；

9）几何作图等。

2、课堂出勤和课堂表现、平时作业、期中测试等

七、考核方式与评价细则

考核方式比例考核/评价细

则

评价标准：根据学生上课出勤情况

10%

1）全勤100分;

课堂出

2）旷阳-次扣10分；

勤