五年级上册数学《一个数除以小数》单元教学设计

五年级上册数学《一个数除以小数》单元教学设计

一、课程理念与设计总览

（一）指导思想与理论依托

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，立足于发展学生核心素养，特别是运算能力、推理意识和模型意识。我们摒弃将“一个数除以小数”简单视为计算技能训练的陈旧观念，而是将其定位为整数除法意义与算法向小数领域的一次深刻迁移与逻辑扩展。设计秉承“以生为本”的理念，强调在真实问题情境中，引导学生经历“发现冲突—提出猜想—验证推理—建构模型—灵活应用”的完整认知过程，实现算理与算法的有机统一。

理论层面，本设计融合建构主义学习理论（强调学生主动建构知识）、深度学习理论（追求理解性学习与迁移应用）以及差异化教学理念（满足不同层次学生的学习需求），旨在打造一个既有思维深度又有实践广度的智慧课堂。

（二）内容解析与学情纵横

1.内容本质与地位

“一个数除以小数”是小数除法计算体系中的关键枢纽与难点。从知识逻辑看，它上承“除数是整数的小数除法”的算理（商的小数点与被除数对齐），下启“商的近似值”、“循环小数”及小数四则混合运算。其算理核心是“商不变的性质”，通过将被除数和除数同时扩大相同的倍数，将“除数是小数的除法”转化为“除数是整数的除法”，从而完成知识的同化与顺应。这一过程不仅是一种计算技巧，更是数学转化与化归思想的典型体现。

2.学情深度分析

1.已有基础：学生已熟练掌握整数除法运算、商不变的性质、小数点移动引起小数大小变化的规律，以及除数是整数的小数除法。

2.认知难点：

1.3.思维定势干扰：在除数是整数的小数除法中，“商的小数点与被除数的小数点对齐”的算法已形成强记忆。面对除数是小数的新情境，学生极易机械迁移，错误地将“商的小数点与原被除数的小数点对齐”。

2.4.算理理解障碍：“为什么要把除数和被除数同时扩大相同的倍数？”部分学生可能只知其操作步骤（“一看、二移、三算”），而对其背后的数学原理（保持商不变）理解不深，导致在除数形式多变（如0.25、1.5、0.012等）或情境复杂时，无法灵活、正确地应用。

3.5.转化过程的抽象性：“转化”本身是一个抽象的数学思想，学生需要从具体实例中抽象出这一普遍方法，并内化为自己的认知策略。

3.跨学科视野

本设计有意渗透经济学（单价、总价、数量关系）、科学（单位换算、速度计算）、工程学（材料切割、比例缩放）等领域的简单问题情境，让学生体会数学作为通用工具的价值，初步培养跨学科解决问题的能力。

（三）素养导向的教学目标

根据核心素养内涵，制定以下三维整合的教学目标：

1.知识与技能

1.理解并掌握一个数除以小数的计算法则，能正确、熟练地进行笔算和估算。

2.能清晰阐述将“除数是小数的除法”转化为“除数是整数的除法”的算理依据——商不变的性质。

2.过程与方法

1.经历探索除数是小数除法计算方法的全过程，通过独立思考、合作交流、质疑辨析，发展类比迁移、归纳概括的能力。

2.体验“转化”这一基本数学思想在解决新问题中的威力，初步形成主动运用转化策略的意识。

3.情感、态度与价值观

1.在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学习兴趣和应用意识。

2.在探究活动中培养勇于探索、严谨求实的科学态度和合作精神。

（四）教学重点与难点

1.教学重点：理解并掌握一个数除以小数的计算方法。

2.教学难点：理解算理，即商不变性质在该算法中的灵活应用，特别是被除数位数不够时的处理方法。

（五）教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含动态演示转化过程的动画、多样化的情境问题）、实物投影仪、设计精良的探究学习单、差异化练习卡片。

2.学生准备：复习商不变的性质、小数点移动规律，准备课堂练习本。

二、教学实施过程（详案）

第一课时：算理初探与算法建模

（一）情境冲突，问题驱动（预计时间：8分钟）

1.创设现实情境，引出纯数学问题

1.2.【课件出示】“学校‘书香长廊’翻新，需为圆柱形立柱贴装饰画。已知每幅画纸长0.8米，现有画纸总长7.2米，可以贴多少根立柱？”

2.3.学生口答数量关系：总长÷每根用量=根数。列式：7.2÷0.8。

3.4.教师引导：“这与我们之前学的小数除法有何不同？”（揭示课题：除数是小数的除法）

5.制造认知冲突，激发探究欲望

1.6.挑战一：“7.2÷0.8等于多少？你能想办法验证自己的猜想吗？”鼓励学生利用已有知识尝试解决。

1.2.7.预设学生方法：

1.2.3.8.估算：0.8×9=7.2，所以约等于9。

2.3.4.9.单位换算：7.2米=72分米，0.8米=8分米，72÷8=9。

3.4.5.10.商不变性质猜想：被除数和除数同时乘10，变成72÷8=9。

6.11.挑战二（深化冲突）：【课件出示】“如果画纸总长是7.65米，每根用0.85米呢？”列式：7.65÷0.85。

1.7.12.单位换算略显繁琐，商不变性质猜想（同时乘100，变成765÷85）的优势凸显。

8.13.挑战三（聚焦核心）：“如果总长只有5.4米，每根用1.2米呢？”列式：5.4÷1.2。同时乘10，变成54÷12，可直接计算。**但若列竖式，我们该如何规范书写这个‘转化’过程？”

【设计意图】从真实情境出发，引出新知。通过三个递进式的问题，让学生自然调用估算、单位换算等旧知解决问题，初步感受“转化”思想。第三个问题直接指向竖式书写的规范性与算理的直观呈现，将学生的思维从“结果”引向“过程”，为深度探究做铺垫。

（二）合作探究，建构算法（预计时间：22分钟）

1.自主尝试，初建模型

1.2.出示核心探究任务：请用竖式计算5.4÷1.2，并思考：你的竖式每一步计算依据是什么？如何清晰地向同伴展示“转化”的过程？

2.3.学生独立尝试，教师巡视，收集典型做法（正确与错误）于黑板上或通过实物投影展示。

4.对比辨析，明晰算理

1.5.展示对比：

1.2.6.做法A（正确转化）：将除数1.2和被除数5.4的小数点同时向右移动一位（即同时乘10），在竖式中直接划去除数的小数点，并将被除数的小数点移至新位置（相当于54），然后计算54÷12。

2.3.7.做法B（常见错误）：只移动了除数的小数点，或被除数的小数点移动位数错误，或商的小数点仍与原被除数5.4的小数点对齐。

4.8.组织辩论：

1.5.9.“你认为哪种做法正确？为什么？”

2.6.10.“做法A中，将除数和被除数‘同时’移动小数点，保证了什么不变？”（紧扣商不变的性质）

3.7.11.“在竖式中，我们‘划去’除数的小数点，‘移动’被除数的小数点，这种操作实际上相当于在做什么？”（相当于将被除数和除数同时乘10、100…）

4.8.12.“转化后，我们计算的是什么除法？（除数是整数的除法）这时，商的小数点应该和哪个被除数的小数点对齐？”（和转化后的被除数的小数点对齐）

13.归纳概括，形成法则

1.14.引导学生结合板演和讨论，尝试用自己的语言总结计算方法。

2.15.教师协同学生，提炼出关键步骤，并用精炼语言板书：

一个数除以小数的计算方法：

1.3.16.一看：看清除数有几位小数。

2.4.17.二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数（使除数变成整数）。如果被除数位数不够，用“0”补足。

3.5.18.三算：按照除数是整数的小数除法进行计算。

6.19.动态演示：利用课件动画，将“同时移动小数点”的过程与“商不变性质”的数理关系（如：5.4÷1.2=(5.4×10)÷(1.2×10)=54÷12）同步呈现，实现算理与算法的直观统一。

【设计意图】本环节是突破重难点的核心。通过“尝试—展示—辨析—归纳”的路径，让学生亲身经历算法的生成过程。重点辨析环节，直面学生的认知误区，在思辨中深化对算理的理解。动画演示将抽象的“同时乘相同的数”具体化为“小数点移动”，架起了直观操作与抽象原理之间的桥梁。

（三）分层巩固，内化理解（预计时间：8分钟）

1.基础层（算法巩固）：

1.2.完成书上例题的变式：6.84÷0.9，4.68÷1.2。

2.3.重点讨论被除数位数足够的情况，巩固操作步骤。

4.进阶层（理解算理）：

1.5.填空：()÷0.25=36÷5，说说你的想法。

2.6.判断：计算2.8÷0.07时，可以转化为280÷7。（）理由是什么？

7.拓展层（应用意识）：

1.8.简单实际问题：“一瓶1.5升的果汁，正好倒满6个相同的杯子。每个杯子容量是多少升？”

2.9.跨学科链接（科学）：“已知声音在空气中每秒传播约0.34千米，打雷处距离我们多远？”

【设计意图】练习设计体现层次性。基础题确保全体学生掌握算法；进阶题指向算理本质的理解与逆向思考；拓展题将算法应用于实际问题，并初步尝试跨学科背景，体现数学的工具性。

（四）课堂小结，反思提升（预计时间：2分钟）

1.引导学生回顾：“今天我们是如何学会计算除数是小数的除法的？”

2.学生总结要点：遇到新问题（除数是小数）→想办法转化（利用商不变性质）→变成旧知识（除数是整数）来解决。

3.教师升华：“转化”是一种非常重要的数学思想。它不仅帮助我们学会了今天的知识，未来还能帮助我们解决更多复杂的问题。

第二课时：算法熟练与问题解决

（一）回顾迁移，直指难点（预计时间：5分钟）

1.快速口算：根据商不变性质，直接说出下列各题转化后的算式。

1.2.2.46÷0.6→()÷6

2.3.5.3÷0.05→()÷5

3.4.0.84÷0.07→()÷7

（重点关注第二题被除数5.3的位数不够，需要补“0”的情况，自然引出本课难点）

5.聚焦难点：出示算式1.5÷0.025。

1.6.“要使除数0.025变成整数25，小数点需要向右移动几位？（三位）”

2.7.“被除数1.5的小数点也需要向右移动三位，现在它只有一位小数，怎么办？”

3.8.引导学生发现：位数不够，用“0”补足。1.5→1500。

4.9.关键提问：“这个‘0’是在小数末尾添上的，根据小数的性质，它改变了被除数的大小吗？为什么可以添？”（再次将操作与算理挂钩）

【设计意图】开门见山，直击本节课的教学难点——被除数位数不够需补“0”。通过具体例子，引导学生自主发现矛盾并找到解决方案，同时不忘追问原理，强化理解。

（二）精讲精练，突破难点（预计时间：15分钟）

1.范例精讲：师生共研0.546÷0.13。

1.2.学生独立尝试。

2.3.聚焦讨论：除数0.13变成整数13，需移动两位；被除数0.546需移动两位，成为54.6；计算54.6÷13，注意商的小数点与转化后的被除数小数点对齐。

3.4.对比辨析：展示错误案例“5.46÷13”或“546÷13”，分析错误原因（被除数移动位数错误），强调“同时”、“相同位数”。

5.专项擂台赛（攻克补“0”难点）：

1.6.分组计算：①0.6÷0.15②3÷0.06③0.1÷0.0025

2.7.要求：不仅写出正确竖式，还要在旁边用箭头和文字简要说明“转化”过程。

3.8.小组互评，重点检查“补0”是否正确，算理说明是否清晰。

【设计意图】通过范例规范书写，通过“擂台赛”形式将枯燥的练习趣味化、任务化。小组互评促使学生从“做题者”转变为“评价者”，在检查他人的过程中深化自己对算理，特别是补“0”规则的理解。

（三）综合应用，发展素养（预计时间：15分钟）

本环节设计一组有层次、有情境的综合性问题，培养学生分析、选择和灵活运用知识的能力。

1.任务一：优化选择（渗透模型意识与优化思想）

为班级联欢会采购彩带。甲商店：每米0.8元，乙商店：每0.5米0.45元。哪个商店的彩带单价更便宜？

1.2.引导：比较单价，需统一标准。计算乙商店的每米价格：0.45÷0.5。这需要用到本课知识。算出结果后与0.8比较。

3.任务二：工程估算（融入跨学科情境，培养数感）

工程队要用一根长12.6米的钢材切割成若干段0.28米长的零件。大约能切割出多少段？

1.4.引导：“大约”提示我们可以估算。可以将12.6看作12.6，0.28看作0.3，12.6÷0.3=42；或者看作12÷0.3=40。实际计算12.6÷0.28进行验证，并讨论余料问题。

5.任务三：数据推理（发展推理意识）

已知A÷0.5=B÷0.2=C÷0.1（A、B、C均大于0）。请比较A、B、C的大小，并说明理由。

1.6.引导：将除法关系转化为乘法关系思考（如A÷0.5=B÷0.2→A×2=B×5），或赋予商一个具体值进行推理。此题为思维弹性区域，鼓励不同解法。

【设计意图】综合应用环节超越了单纯的计算，将算法嵌入真实的、需要分析判断的问题情境中。任务一涉及信息筛选与数学模型建立；任务二结合估算与实际计算，培养数感；任务三是纯数学推理，挑战学生的思维深度。三个任务共同指向数学核心素养的综合发展。

（四）总结拓展，勾连体系（预计时间：5分钟）

1.单元脉络梳理：师生共同绘制本单元知识脉络图。

1.2.小数除法

1.2.3.除数是整数的小数除法（基础）

2.3.4.一个数除以小数（核心转化）

3.4.5.商的近似值（实际需要）

4.5.6.循环小数（认识规律）

5.6.7.解决问题（综合应用）

7.8.强调“一个数除以小数”在本单元承上启下的枢纽地位。

9.前瞻性思考：

1.10.“今天我们研究了除数大于0的小数除法。如果除数是小于1的小数（如0.1，0.01），商会发生什么有趣的变化？”（商大于被除数）

2.11.“这和我们之前学的整数除法经验（越除越小）似乎不同，这背后又有什么道理呢？”（引发学生对除法运算意义的深度思考，为后续学习做铺垫）。

三、差异化教学与课堂文化

（一）学习任务差异化设计

1.面向全体（基础巩固层）：确保完成教材核心例题及配套基础练习，掌握算法步骤，理解基本算理。

2.面向大多数（能力发展层）：提供需要稍加分析和一步转化的实际问题，以及辨析算理的变式题。参与小组探究和综合应用环节的任务一、二。

3.面向学有余力者（拓展挑战层）：

1.4.挑战任务：探究形如a÷(b÷c)与(a÷b)×c的关系（如6÷(0.3÷0.5)与(6÷0.3)×0.5），感受除法的运算性质。

2.5.开放任务：自编一道能用“7.5÷0.25”解决的生活中的问题，并尝试用不同的方法（如画图、线段图）解释其意义。

3.6.研究小课题：查阅资料，了解“小数点”和“除法竖式”的发展历史，制作一份简易的数学小报。

（二）课堂互动语言预设

1.激励性语言：“你的这个‘转化’想法非常巧妙，一下子把难题变简单了！”“敢于展示不同的做法，这是真正的探究精神！”

2.追问性语言：“你能解释一下，为什么这里一定要‘同时’移动小数点吗？”“如果只移动除数，商会怎样？你能举个例子证明吗？”

3.归纳性语言：“看来，不管除数是什么样的小数，我们的目标都是统一的——将它变成整数。‘商不变的性质’就是我们实现这个目标的‘法宝’。”

（三）评价机制

1.过程性评价：关注学生在探究活动中的参与度、合作交流的成效、思维表达的条理性。通过课堂观察、学习单完成情况、小组汇报进行评价。

2.形成性评价：通过分层练习的完成质量，诊断学生对算法、算理的掌握程度，特别是对“补0”等难点的理解情况。

3.表现性评价：在“综合应用”环节，评价学生分析问题、建立模型、选择策略和解释结果的能力。

四、作业设计与评估反馈

（一）分层作业设计（课后完成）

1.必做题（夯实基础）：

1.2.完成教材课后练习中关于“一个数除以小数”的基础计算题。

2.3.解决2道简单的实际问题（如购物找单价、等分物品）。

4.选做题（提升能力）：

1.5.一道需要补“0”的竖式计算题和一道除数形式较特殊（如0.004）的计算题。

2.6.一道需要两步思考的实际问题（如任务一的变式）。

7.挑战题（拓展思维）：

1.8.数学小论文（提纲）：以“我是如何攻克‘一个数除以小数’的”为题，写一篇短文，简述你的学习过程、遇到的困难和解决的方法。

2.9.实践调查：在家里或超市，找一个包含“一个数除以小数”计算的实际例子（如计算某种商品的单价），记录并计算。

（二）教学反思与评估要点（教师用）

1.目标达成度评估：通过课堂反馈和作业分析，判断学生是否真正理解了算理，还是仅仅记住了算法步骤。重点关注中等及以下学生在处理被除数位数不够时的正确率。

2.学