高等数学竞赛试题及权威答案

高等数学竞赛试题及权威答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每题4分，共20分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=|x-1|在x=1处的导数是(A)-1(B)0(C)1(D)不存在2.极限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2的值是(A)1/2(B)1(C)3/2(D)23.设函数f(x)在区间I上连续且可导，f'(x)在I上单调递减，则f(x)在I上(A)必是凸函数(B)必是凹函数(C)可能是凸函数也可能是凹函数(D)必是常数函数4.若级数∑(n=1to∞)a_n收敛，则下列级数中必定收敛的是(A)∑(n=1to∞)|a_n|(B)∑(n=1to∞)a_n^2(C)∑(n=1to∞)(a_n/(n+1))(D)∑(n=1to∞)(a_n+1/n^2)5.微分方程y''-4y'+4y=0的通解是(A)y=C_1e^2x+C_2xe^2x(B)y=(C_1+C_2x)e^2x(C)y=C_1e^x+C_2e^3x(D)y=C_1e^2x+C_2e^-2x二、填空题（每题4分，共20分。）6.曲线y=ln(x^2)-x在点(1,0)处的切线方程是________。7.设f(x)是连续函数，且f(0)=1,f(1)=2。则由曲线y=f(x),x轴及x=0,x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积V=________。8.设z=x^2+y^2,x=t,y=t^2，则dz/dt=________。9.级数∑(n=1to∞)(x+1/2^n)的收敛域是________。10.设向量场F=(x^2+y^2)i+2xyj，则沿曲线L:x^2+y^2=4逆时针方向绕行的曲线积分∮_LF·dr=________。三、计算题（每题8分，共32分。）11.计算lim(x→π)[(sinx-sinπ)/(x-π)]^(1/(x-π))。12.计算∫[xlnx-x]/x^2dx。13.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的最大值与最小值。14.计算二重积分∫∫_D(x^2+y^2)dA，其中D是由直线y=x,y=0及圆x^2+y^2=1在第一象限围成的区域。四、证明题（每题10分，共20分。）15.证明：当x>0时，x-sinx>x/(x+1)。16.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。试卷答案一、单项选择题（每题4分，共20分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.(D)2.(C)3.(A)4.(C)5.(B)解析：1.f(x)=|x-1|=(x-1)forx≥1,(-x+1)forx<1.左导数lim(h→0^-)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h→0^-)[(-h)-0]/h=-1.右导数lim(h→0^+)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h→0^+)[(h)-0]/h=1.左右导数不相等，故导数不存在。2.原式=lim(x→0)[e^x-1-(1-cosx)]/x^2=lim(x→0)[e^x-1]/x+lim(x→0)[cosx-1]/x^2=1+(-1/2)=1/2.(使用等价无穷小e^x-1~x,1-cosx~x^2/2)3.f'(x)单调递减意味着f''(x)=(f'(x))'≤0.根据定义，函数f(x)是其导函数f'(x)的原函数，因此f(x)是凹函数。4.∑a_n收敛意味着部分和S_n->L(n→∞)，故(S_n-L)->0(n→∞)，从而(S_n-L)/n->0(n→∞)。因此∑(n=1to∞)(a_n/(n+1))=∑(n=1to∞)[((n+1)a_n-na_n)/(n(n+1))].拆项后与∑a_n/n^2交错，由WeierstrassM-判别法（a_n/n^2绝对收敛），原级数收敛。其他选项未必收敛，如a_n=(-1)^n/√n。5.特征方程r^2-4r+4=0有重根r=2。通解为y=(C_1+C_2x)e^(2x)。二、填空题（每题4分，共20分。）6.y'=(2x/x^2)-1=2/x-1.在点(1,0)处，y'=2-1=1.切线方程为y-0=1(x-1)，即y=x-1。7.V=∫[0to1]π[f(x)]^2dx=π∫[0to1]f(x)^2dx.(根据旋转体体积公式)8.dz=d(x^2+y^2)=2xdx+2ydy.代入x=t,y=t^2,得dz=2tdt+2(t^2)(2tdt)=2tdt+4t^3dt=(2+4t^3)dt.故dz/dt=2+4t^3.9.令x+1/2^n=0.当n→∞时，1/2^n→0，故x+1→0，得x→-1。收敛域为(-∞,-1]。10.P=x^2+y^2,Q=2xy.曲线L:x^2+y^2=4逆时针方向，参数化r(θ)=(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π].dr/dθ=(-2sinθ,2cosθ).∮_LF·dr=∫[0to2π][(2cosθ)^2+(2sinθ)^2](-2sinθ)dθ+2(2cosθ)(2sinθ)(2cosθ)dθ=∫[0to2π](4)(-2sinθ)dθ+∫[0to2π](8cos^2θsinθ)dθ=-8∫[0to2π]sinθdθ+8∫[0to2π]cos^2θsinθdθ.第一个积分=-8[cosθ]_0^{2π}=-8(1-1)=0.第二个积分，令u=cosθ,du=-sinθdθ,当θ=0,u=1;当θ=2π,u=1.∫[0to2π]cos^2θsinθdθ=∫[1to1]u^2(-du)=0.故积分结果为0+0=0.(利用格林公式或直接计算均可)三、计算题（每题8分，共32分。）11.令t=x-π,则x=t+π,当x→π,t→0.原式=lim(t→0)[(sin(t+π)-sinπ)/t]^(1/t)=lim(t→0)[(-sint-0)/t]^(1/t)=lim(t→0)[(-sint)/t]^(1/t).因为lim(t→0)(-sint)/t=-1.原式=(-1)^(1/t).t→0时，1/t→+∞或-∞。(-1)^(+∞)无意义，考虑t→0^-，1/t→-∞.(-1)^(-∞)=1.故极限值为1。12.∫[xlnx-x]/x^2dx=∫(lnx/x)dx-∫(1/x)dx=∫lnxd(lnx)-ln|x|+C=(1/2)(lnx)^2-ln|x|+C=(1/2)ln^2x-ln|x|+C.13.f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).令f'(x)=0,得x=0,x=2.计算f(-1)=-1-3+2=-2,f(0)=0-0+2=2,f(2)=8-12+2=-2,f(4)=64-48+2=18.最大值为18，最小值为-2。14.D由y=x,y=0,x^2+y^2=1(1/4圆)围成。可用直角坐标计算：∫[0to1/√2]∫[xto√(1-x^2)](x^2+y^2)dydx=∫[0to1/√2][x^2y+y^3/3]|_{y=x}^{y=√(1-x^2)}dx=∫[0to1/√2][x^2√(1-x^2)+(1-x^2)^(3/2)/3-x^3]dx=∫[0to1/√2][x^2√(1-x^2)+(1-3x^2+3x^4-x^6)/3-x^3]dx=∫[0to1/√2][(x^2√(1-x^2)+1/3-x^2+x^4-x^6/3-x^3)]dx=∫[0to1/√2][x^2√(1-x^2)+1/3-x^2-x^3+x^4-x^6/3]dx=(∫[0to1/√2]x^2√(1-x^2)dx)+(1/3∫[0to1/√2]1dx)-(∫[0to1/√2]x^2dx)-(∫[0to1/√2]x^3dx)+(∫[0to1/√2]x^4dx)-(∫[0to1/√2]x^6/3dx)=[-1/3(1-x^2)^(3/2)+(1/2)arcsin(x)]|_0^{1/√2}+(1/3)[x]_0^{1/√2}-(1/3)[x^3]_0^{1/√2}-(1/4)[x^4]_0^{1/√2}+(1/5)[x^5]_0^{1/√2}-(1/21)[x^7]_0^{1/√2}=[-1/3(1/2)^(3/2)+(1/2)π/4-0]+(1/3)(1/√2)-(1/3)(1/2√2)-(1/4)(1/4)+(1/5)(1/16)-(1/21)(1/128)=[-√2/24+π/8]+(√2/6-√2/6)-1/16+1/80-1/2688=-√2/24+π/8-1/16+1/80-1/2688=π/8-(√2/24+1/16-1/80+1/2688)=π/8-(√2/24+1/16-1/80+1/2688)=π/8-(√2/24+1/16-1/80+1/2688)(计算结果可保留此形式或进一步简化)四、证明题（每题10分，共20分。）15.令f(x)=x-sinx-x/(x+1).求导f'(x)=1-cosx-[1(x+1)-x(1)]/(x+1)^2=1-cosx-(1/(x+1)^2).当x>0时，1-cosx≥0,1/(x+1)^2>0.故f'(x)≥0.因此f(x)在x>0时单调递增。又f(0)=0-sin0-0/(0+1)=0.所以当x>0时，f(x)>f(0)=0。即x-sinx>x/(x+1).16.由罗尔定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ1，使得f'(ξ1)=0(因为f(a)=f(b)且f在[a,b]上连续，在(a,b)内可导)。设ξ1为f'(x)=0的点。若ξ1是唯一的，则命题得证。若ξ1不是唯一的，即存在ξ2∈(a,b),ξ2≠ξ1,使得f'(ξ2)=0。考虑函数g(x)=f'(x)。则g(x)在[ξ1,ξ2](或[ξ2,ξ1])上连续，在(ξ1,ξ2)(或(ξ2,ξ1))内可导，且g(ξ1)=g(ξ2)=0。由罗尔定理知