高三1月高考适应性调研考试数学（理）试卷

高三1月高考适应性调研考试数学（理）试卷

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

IA.2018B,2019c.2ai8D.2xl8

【考点】

【答案】C

【解析】：•函数/(”)=*+从+«>°)有两个零点1,2,

/(x)=«(^-l)(x-2)=a(x]-3x+2)(o>0)A/(x)»2®-3a则由题意,

心(匚-30+2)蜷-34+2蜷-2

X-.,=X------------=x_---------=----

F孙-3々2x»-32x8-3

V-2^

・弘】-2二与一3=以―4~+4二//—2丫

A+i-1-2_]H+1=।A-2

2x「3・；一且q=l

:.=In——=21n——―=20n.1

西电-1%-1，二数列t/J是以1为首项，以2为公比的等比数列，则

I2CU

U_9—+1=2初1

4=2"-1.•邑g+l=

91-2

故选：c

2、如图，面积为s的正方形4HCD中有一个不规则的图形{{35}I

A.0.9287B,0.9187C,0.9167D.0.9147

【考点】

【答案】D

£

【解析】每个点落入M中的概率为Z,设落入M中的点的数目为X,题意所求概率为

2574

P(-0.03<-^―x4-K0.03)=尸(2425<X<2575)=力。嬴*0.25'x0.75lflafl'z

10000

=0.9570-0.0123=0.9147

故选：D

二10E

3、已知双曲线C：/g（a〃A0）,£,弓分别为其左、右焦点，0为坐标原点，若点耳

关干渐近线的对称点恰好落在以耳为圆心，为半径的圆上，则双曲线c的离心率是（）

A.、历B.百c2D,3

【考点】

【答案】C

【解析】

由题意，耳（F°）,耳（则，设一条渐近线方程为‘一直则可到渐近线的距离为瓦设区关于

渐近线的对称点为M,骂M与渐近线交于Z,则I螭仁仁/岬卜汽4为峭的中点，又。是耳骂

的中点，以“4M,二"肛为直角，-.人孙月为直角三角形，二由勾股定理得腐='+43,

・・・比7=4（---）二,=4«2二.c=2a,则。=2.

故选：c

4、已知函数/（、）=应"+氏°"（XEK）,若N=/是函数/（x）的一条对称轴，且抬鼻=2则g，b）

所在的直线为（）

A.X-2）=0B.x+2j=0c12X-J=0D.2X+J=0

【考点】

【答案】A

【解析】函数H1nx+厌33),若x=,是函数Q的一条对称轴，则工=玉1是函数〃x)的

—个极值点，・,・/3=业皿-2,根据题意有/‘&)="皿。-餐。=°,又一=2,故

”沅皿产叫结合选项，点伍B)所在的直线为x-2j=0

故选：A

5、已知函数“'A10期x+x,以')=2'+\Mx)=M&x+x的零点依次为玉，〜,玉，若在如图

所示的算法中，令〃=/，»=/,匕=/则输出的结果是()

A.~B.ZD.~或~

【考点】

根据函数图象，则~＜玉＜演，模拟执行程序算法，可得程序算法的功能是输出三个数口最大的数，

根据题意可得输出结果为玉.

故选：C

6、设函数/(X)是定义在K上的奇函数，且当XAO时，/(x)单调递增，若数列｛4｝是等差数列，且4＞0,

则/(%)+/(%)+/(%)+/(%)+/(%)的值()

A.恒为正数B.恒为负数C.恒为°D.可正可负

【考点】

【答案】A

【解析】根据题意，在K上单调递增，且图象关于原点龙称，不妨令的图象如图:

等差数列｛4｝中，%+巧乂+为二血,。，由对称性,得/⑷+

x+2y<l

｛2x+”-l

7、设X,J满足约束条件x-y4°,则z=3x-2y的最小值为()

_11

A.-6B.-5C.3D.3

【考点】

【答案】B

【解析】不等式组表示的可行域如图所示，

_3_2

由z=3x-2j得'一万'5在J轴上的截距越大，z就越小，所以当直线Z=3X-2J过点”(-L1)

时，z取得最小值，所以z的最小值为-5.

故选：B

8、若复数z满足（3-4i）z=|4+3&则z的共聊复数的虚部为（）

44

A.5B.5c.-4D.4

【考点】

【答案】B

二」4+宽|-5（3+旬_3+布_3+4/3_4£_4

【解析】3-柜（3-旬（3+旬555,...z的共姬复数为§5,虚部为5

故选：B

9、已知集合M=3x<D,"={*阴支则（）

A.{X|0VX<1}B{X|X<O}C.{X|X〈1}D0

【考点】

【答案】A

【解析】"={电>1}={工㈤可:•拉={x|x<l}・,.McN={x[O<x<l}

故选：A

二,填空题（共4题，共20分）

—右而=----OP^-^-OQ

10、已知。尸，OQ是非零不共线的向量，设M+1附+1定义点集

FPFM_FQFM

1质印地恒成立

"-⑺—^r骂W/时，若对于任意的附A3,不等式

则实数上的最小值为_____

【考点】

3

【答案】4

-----1—w—PM

OM=——OP+—OO（w>3）=

【解析】由次+1愕+1~,可得三点共线且QM

FPFM_FQFM_

由府||而|可行|田闸8&2学门匕=|月必861的/

即々尸M=则FM为々尸。的角平分线，

PFPM

m

由角平分线的性质定理可得。尸QM

以尸为坐标原点，尸Q所在宜线为“轴，建立直角坐标系,

则尸（0刀），Q（l+e0）,FM

m

于是—I—")'+y：

x+工m

,0m

,故点尸（二7）是以

化简得1-m,为圆心，加-1为半径的圆.要使

2上一4无（m+l）=上之2-—=2'Y

甲汴同闻对附A3恒成立，只需m~~

得不等式

:.k22x--=-

3-14

对用之3恒成立,3

3

故答案为：4

11、已知长方体心CD-44GA中，AB=5t3=3,必=4,点M为皿的中点，则三棱锥

C-MBiG的外接球的表面积为.

【考点】

625万

【答案】16

【解析】

三棱锥C-Affi©即为三棱链"一期0,以比AC5&为底面，底面AC4cl以点N为外心，（N

为线段用0的中点），则W平面0区G,设该三棱锥的外接球的球心为。，半径为人则。必在线段皿

上，由于MV"=AB=5,

525

T------

2,根据西二°"及勾股定理，可列，得8,

625-

故表面积为16

625万

故答案为：16

/X5

|,«

“2十―7

12、设常数aeK,若【X)的二项展开式中X，项的系数为70,则&=.

【考点】

【答案】-2

P+-7%=6产，f-Y=

【解析】试题分析：・•.lX)的展开式的通项为⑺,令10-3『=7,得

r=l,

••・/的系数是"以=",二"7项的系数为TO,/.5a=-10,得々=-2.

13、等差数列｛'｝的前程项和为&,若4+%=24,品=48,则｛'｝的公差为.

【考点】

【答案】4

【解析】品一2-3(%+%)-48,即%+4=16,.•.(%+%)-(%+,)=8,即

%―/=2f=g,解得4=4

故答案为：4

三、解答题(共7题，共35分)

14、选修4-5：不等式选讲

已知a〉0,4>0,c>0,函数/(x)=c+k_x|+|x+6].

(D当a=6=c=l时，求不等式/G)>3的解集；

(2)当〃x)的最小值为3时，求a+8+c的值，并求aZG的最小值.

【考点】

【答案】或工>1}⑵3

【解析】试题分析：(1)当a=b=c=1时，不等式/G)>3即|X+I|+|X-1|+1>3,化为：|X+1|+|X-1|>2.对

x与±1的大小关系分类讨论即可得出.

同+公+

/(x)=c+|a-x|+|x+6|2|fl-x+x+^|+c=7+c=b+c=3可得

~+—+—=l(a+A+c)(1+

abc3(abc)再利用均值不等式的性质即可得出.

试题解析：

(1)/(x)=^-l|+|x+l|+l

-1<X<1xNl

{l-2x>3或I3>3或，+1>3

解得{x|x<T或x>lj.

⑵/(x)=t+|£j—x|+k+b|N|a-x+x+b|+c=K+@+c="+b+c=3

―+-+-=_Q+6+c)

abc3\abc)3(鸿+(鸿］

点3+2+2+2)=3

当且仅当々=A=c=1时取得最小值3.

15、选修4-4：坐标系与参数方程

已知直角坐标系中动点尸0+。0sa,ma),参数ae[。'比)，在以原点为极点、X轴正半轴为极轴

上in夕_cm3_1

所建立的极坐标系中，动点0(。°)在曲线c：a"上.

(D求点尸的轨迹E的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若动点尸的轨迹E和曲线C有两个公共点，求实数a的取值范围.

【考点】

【答案】⑴(x-i)+V=iy=Hx+i)g*o)⑵[s)

【解析】试题分析：（1）设点P的坐标为（x,V）,消去参数a,得（x-iy+V=1能求出点P的轨迹E

的方程；由。加伊=J,=能求出曲线C的方程；

（2）由已知得直线与圆相交，圆心（1,0）到直线ax-y+a=0,（aHO）的距离小于半径1,由此能

求出实数a的取值范围.

试题解析：

（1）设点尸的坐标为（2）,则有y=sina"£］。,2兀）

消去参数Q,可得（kiy+V=l,为点尸的轨迹E的方程;

得一apcoa。=a

由曲线C：a",且夕♦0,

由Oin°=j,08s9=x故曲线C的方程为：ax->+a=O（«*O）.

（2）曲线c的方程为：衣-7+。=。（"°）,即y”（x+i）gw。）

表示过点（一1‘°）,斜率为。的直线，动点下的轨迹后是以（L°）为圆心，1为半径的圆

由轨迹E和曲线C有两个公共点，结合图形可得I'八⑶）

16、已知函数=£（x）=xlnx-x2+（«-l）x+l旦曲线了=/G）在x=］父的切线方程

为尸治+1

（D求。，办的值；

（2）求函数〃x）在［°川上的最小值；

（3）证明：当X>0时，g（x）«/（x）.

【考点】

【答案】（i）〃=L3=o-2⑵,（X）皿=1（3）见解析

【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，计算/（I）,求出a,b的值即可；

（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（X）在［0,1］递增，从而求出f（x）的最大

值；

⑶只需证明x>0时，JMlr）x-xlnx-l*。，因为〃0）=1,且曲线"/&）在工=1处的

二线方程为y=G-2)x+l,故可猜测：当x>0且x时，〃x)的图象恒在切线)=(=2)x+l的上

试题解析：

，(l)=L%=b

⑴由题设得/'(x)=『-2〃，//(1)=8-。=计1

解得，a=bb=e-2

(2)由(1)知，/(x)=J-x；

令函数Mx)=J-x-l.〃(x)=JT,

当x<0时，〃(x)v。，Mx)递减；

当x>0时，Mx)递增；,Mx)NM°)=°,即Jix+1

,・当，检1］时,/'(x)・/-2xNx+l-2x・l-xN。且仅当“I时/'(x)=。

故〃x)在［°』上单调递增，

・・・/(叽・/(。)・1;

(3)由题要证：当x>0时，且6)"3,

即证：/+(j)x-xlnxT之。

因为/(0)=L且曲线y=/a)在x=i处的切线方程为了=(8-2卜+\

故可猜测：当x>0且Xf1时，/(X)的图象恒在切线y=(°_2)x+l的上方.

下面证明：当兀>0时，/㈤之(。-2卜+1

证明：设研

x)=/(x)-g-2)x-lx>0

则/(x)=J-2X-(L2)今/(x)=d(x)尸'(x)=/-2

'99

当xW(0M2)时尸夕'(工)单调递减;

当x€(四曲)时，尸'(3°，研”)单调递增，

又”(。)=3-.>0，⑴・00<fa2<l,^(ln2)<0

所以，存在、e（°J）,使得/（x）=°,

当他）时,，（x）>。；当xw，,l）伊«）<。

故中（X）在（QxJ上单调递增，在Gr，l）上单调递减，在（L+00）上单调递增.

又以o）=p（l）=o.伊（X）=J1-G-2）X-1之。当且仅当“1时取等号.

«*+（2-«）x-l

---------L---->x>x>0

故X

由（2）知，GX>x+l,故%之加（％+1）,...x.l2htt,当且仅当X=l时取等号.

/+(2-€)工-1

>x>lnx+l

所以,x

«J+(2-«)x-l

即％-所以J+(2r)x-lNxlnx+x

即『+(lr)xrlnx-l之0成立，当工=1时等号成立.

故：当x>0时，g(x)"(x),12分

方法二：要证xlnx-f+G-l)x+l。--等价于xlnx+G-l)x+"J40,又x>0,可转化

1/

lnx+tf-14-———<0

为证明XX

斤(x)=lnx+o-1+-—一

令XX,

尸e泞-宇二中

VX>O,因此当“€（°』时，//（X）单调递增；当xw（LZo）时/尸（X）单

调递减；

••・尸（X）有最大值尸（1）=°,即尸G）4°恒成立，即当X>O时，g（x）M/（x）

£_+X=1

17、已知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点是椭圆M："/的右焦点，且两曲

仔等）

线有公共点I''）

（D求椭圆M的方程；

（2）椭圆M的左、右顶点分别为4,4,若过点'（4'°）且斜率不为零的直线,与椭圆M交于尸,

P

°两点，已知直线4与4°相较于点G,试判断点G是否在一定直线上？若在।试题解析:

⑴将（331代入抛物线C二y'=2再得p=2

••・抛物线的焦点为（L。），则椭圆M中c=l,

又点在椭圆M上,

｛上+丝=]

/.93处2一,解得这'=4力2=3

椭圆M的方程为43

（2）方法一

当点尸为椭圆的上顶点时,直线’的方程为总+纣-4旨=°,此时点:仙石）,3

｛岳-2"24=0

则直线如：&-2」+2万=0和直线，33&+2J-6、8=0,联立36x+2y-6&=。，解得

G卜金

当点尸为椭圆的下顶点时，由对称性知：I£）

猜想点G在直线x=l上，证明如下:

由条件可得直线尸Q的斜率存在，设直线尸。。=*6-4）（**°）,

v=*(x-4)

联立方程3/+4/-12=0

储y役.（3+4阻-32*5+64炉-12=0右而个不笺的立熄

/自J.'，有两I不的实根，

4=32】上4-4・4（3+4£。（16后］一3）=16・9。-4无】）>0^0<A2<J-

32k26+肥一12公

设尸（斗刈,0弓.），则看+巧=时，玉飞二不高（）

如。=备（m+45"后万6-4

则直线巧+2与直线巧2

_2L（X+2）=^-（X-2）

联立两直线方程得W+2巧一2（其中x为G点横坐标）

3yl-一％

将工=I代入上述方程中可得玉+2巧一2,

即3Hxi-4乂芍-2）=*々-4）&+2）

即证4a5-1°&+弓）+16=。

4x（64配-⑵］0x3m.16

将C）代入上式可得3+4阻3+4尤

_16。6上7-3-20lr2+3+4i2）_

3+4上',此式成立

.••点G在定直线x=l上.

方法二

由条件可得直线尸。的斜率存在，设直线「2"=MT化‘°）

>=*（x-4）

联立方程3X2+4/-12=0,

、出v，曰（3+4无/一3%、+64肥—12=。*用人用

消了得：'f有两个不等的实根，

4=32】上4-4・4（3+4£。（16后］一3）=16・9。-4无】）>0^0<A2<J-

__64*2-12

设尸（忌乂），。（巧，M），G（9”），则玉巧=帝口，々4=3+4必

二kF=4七+4-4/w=

3+4〃，

_A_=_2i_

由4,P,G三点共线，有：玉+2巧+2

_2!1_=^2_

由4，°,G三点共线，有；玉一2Xj-2

纪1=里产）_3-4）（/2）

上两式相比得玉-2乂（f-2）〉（怎一4）（三一2）

三咨一（项+?）+3（吃-演）一8二

玉\-3（a+、）+（不一玉）+8-

9

解得看=1

•••点G在定直线x=l上.

18、某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100X）0名男生的身高服从正态分布"（170.5,16）,现从

该生某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和1875GW之

间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组［157.6,162.5第一组［162.5,167.5）汕一口

182.5»187.5］下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图

（1）求该学校高三年级男生的平均身高；

（2）求这5。名男生中身高在1775M以上（含1775cm）的人数;

（3）从这50名男生中身高在1775M以上（含1775cm）的人中任意抽取2人，该2中身高排名（从

高到低)在全省前130名的人数记为4,求4的数学期望.

(附：参考数据：若《服从正态分布"("'/，则尸("-b<""+a)=06826,

尸(，一4/+2。)=0.9544,尸("-3b<J4"+3o)=0.9974)

【考点】

【答案】(1)171.5cm(2)10A(3)眩=1

【解析】试题分析：(1)计算平均身高用组中值X频率，即可得到结论；

(2)先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的

个数；根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在

177.5cm以上(含177.5cm)的人数；

(3)先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定&的可

能取值，求出其概率，即可得到的分布列与期望.

试题解析：

(1)由直方图可知该校高三年级男生平均身高为

160x0.1+165x0.2+170x0.34-175x0.2+180x0.1+185x0.1=171.5cm

(2)由频率分布直方图知，后两组频率为62,人数为0.2x50=10,即这50名男生身高在177.5cm

以上(含177.5cm)的人数为1。人

(3)P(170.5-3x4<44170.5+3x4)=0.9974

1-09974

尸(4之182.3)==0.0013

,而0.0013x1KOI®=130,

所以全省前130名的身高在182.5cm以上(含182.5cm),这50人中182.5cm以上(含182.5cm)

的有5人.

随机变量4可取°,1,2,于是

且二处二尸匕=1)旭5C；_1。_2

彘=。)=%459,3)%45尸6=2)===

9C?o459

252

第皿”、产L

19、如图，已知四棱锥尸一/BCD,>平面/BCD,底面曲CD中，3cliND,AB1AD,且

>4=42)=45=25C=2,M为的中点.

（1）求证：平面尸CW平面P/D；

（2）问在棱FD上是否存在点°,使ED-L平面CM3,若存在，请求出二面角尸-CAf-O的余弦

值；若不存在，请说明理由.

【考点】

710

【答案】（1）见解析；（2）10

【解析】试题分析：（1）要证平面FCM_L平面尸AD,即证CM_L平面尸AD,即证：

CMLPACM1AD;

⑵存在点。使EDIt平面CM3,在A/XD内，过M做M2"1■尸口垂足为2,易知々M2为二面

角尸一CM-。的平面角，从而得到结果.

试题解析：

方法一：（1）证明：・.•",平面4RCD,CMu平面/5CD,

BC--AD

.\CMVPA.・.・M为&的中点，且梯形/"CD中2,AB1AD,

.-.CM.LAD

.••P/u平面FAD,4Du平面2AD,且尸Ac4D=4

.・.CM_L平面2/D.

•・・CMu平面尸CM,平面尸CM_L平面PAD

（2）存在点。使EDI•平面CM2,在内，过M做垂足为0

由（1）CM_L平面2/D,EDu平面2ND,二CM_LED,

MgcCM=M，二2DJ_平面CM3

又尸Mu平面尸4D,M9u平面2AD知CMJ•尸M,CM1MQ

•.・平面尸CMc平面CMQ-CM

々M2为二面角尸-CM-O的平面角.

在彩APAD中，MQ1PDPM=QP4+AM，=5PD=2也

皿FAxMDaMQM

MQ=-----------=—cosZPA®=-----=-----

PD2,PM10

故二面角尸-CM-0的