高三数学十四周周测立体几何

高三数学十四周周测立体几何

一单选题

1.有下列命题：

①若直线/平行于平面a内的无数条直线，则直线1//o.

②若直线a在平面a外，则&〃°；

③若直线a//b,b//a,则a〃a；

④若直线a〃6,a,则a平行于平面a内的无数条直线.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A[命题①，/可以在平面。内，不正确；命题②，直线a与平面。可以是相交关系，不正确；

命题③，a可以在平面o内，不正确；命题④正确.]

2.【云南省昆明市2019届高三高考5月模拟数学试题】已知直线/_L平面。，直线加〃平面。，若a_L/,

则下列结论正确的是

A./〃/或/<Z夕B.Uhn

C.in±aD.ILm

【答案】A

【解析】对于A,直线/!.平面a,al/?,则/〃〃或/u£,A正确；

对于B,直线/J_平面。，直线加〃平面且则/〃加或/与加相交或/与〃?异面，・・・B错

误；

对于C,直线相〃平面尸，且。，尸，则加_La或加与。相交或〃zua或加〃。，・・.c错误；

对于D,直线/_L平面。，直线"?〃平面尸，且。_L/,则〃/机或/与〃?相交或/与次异面，・・・D错

误.

故选A.

【名师点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符

号语言的应用问题，是基础题.

3」陕西省2019届高三年级第三次联考数学试题】己知三棱柱ABC-AAG的侧楂与底面边长都相等，4

在底面A8C上的射影为3c的中点，则异面直线AB与CG所成的角的余弦值为

83

A.B.-

44

c.如DT

44

【答案】B

【解析】如图,设8c的中点为Q.连接A。、AD.AB.

易知即为异面直线45与CG所成的角（或其补角）.

设三棱柱A6C-A,4G的侧棱与底面边长均为1,

则AD==—,A.B-»

2212

由余弦定理，得cosZV人喝若产

_1+_1——2_2a-

2x1x14

故应选B.

【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若

平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解•，属于基础题.解答本题时，易知N^AB即为异面

直线48与CG所成的角（或其补角），进而通过计算△ABA的各边长，利用余弦定理求解即可.

4.【四川省宜宾市2019届总三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为2的正方形ABC力中，E,/分

别是3C,C。的中点，现在沿AE,A尸及即把这个正方形折成一个四面体，使氏C,。三点重合，重合

后的点记为P,则四面体?一4环的高为

D

2

A.B.

33

2

C.D.1

4

【答案】B

【解析】如图，由题意可知次PE,Pb两两垂直,

5.（2019•山东沂水检测）如图，在三棱锥力-筋?中，E,F,G,〃分别是/以BC,CD,加上的点，当初

〃平面所'67/时，下面结论正确的是（）

A.E,F,G,，一定是各边的中点

B.G,〃一定是必，的的中点

C.BE：EA=BF：FC,且DH：HA=DG：GC

D.AE\EB=AH\HD,且蜀：FC=DG\GC

【答案】D［由劭〃平面防M得BD〃EH、BD〃FG,^iAE：EB=AH：HD,且BF：FC=DG：GCA

6.过三棱柱力比■力心G的任意两条棱的中点作直线，其中与平面/步遥4平行的直线共有（）

A.4条B.6条

C.8条D.12条

【答案】B［作出如图的图形,

E,F,G,〃是相应直线的中点，故符合条件的直线只能出现在平面跖67/中.由此四点可以组成的直线有:

EF,QI,FG、EH,GE,在共有6条.］

7.如图，£,M*分别为正方体对应棱的中点，则平面乙加，与平面/初?的位置关系是（）

A.垂直B.相交不垂直

C,平行D.重合

【答案】c［如图，分别取另三条棱的中点儿B,a将平面〃介延展为平面正六边形小暇比z,

因为加〃/!/“PR"AM,且々与部相交，4,与加/相交，所以平面〃平面儿物外以，即平面"/V〃平面

PQRA

8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,"BC是边长为2的正三角形，E,尸分

别是以，A3的中点，NCEF=90。,则球。的体枳为

A.8A/6HB.4〃兀

C.2遥兀D.瓜11

【答案】D

【解析】解法一：•••PA=P3=PC,ZkABC为边长为2的等边三角形，.•.2一48c为正三棱锥，

:.PBA-AC,又E，产分别为24，48的中点，厂.石尸〃QB，.,.所_LAC，又EFICE,

CEA^C=C,.•.£/?_1平面以。，・・・28_1_平面必。，「./4/>3=90。,/./<4=28=尸。=血，

P-ABC为正方体的一部分，2R=J2+2+2=〃，即火=逅，V=&兀/??=47rx还=瓜,

2338

故选D.

解法二：设PA=PB=PC=2x,E,/7分别为PAAB的中点，.•.斯〃心，且痔

2

•.•△48。为边长为2的等边三角形，.・.。尸=石，

又/CEF=90。，:.CE=yj3-x\AE=-PA=x,

2

/\AEC中，由余弦定理可得cosZEAC=，"_±]

2X2XJV

An]x~+4-3+x~1

作PO_LAC于O，・・・B4=PC,\。为AC的中点，cos/E4C=—=—

PA2x4x2x

二.2x2+1=2,x2=—»x=PA=PB=PC=5/2»

22

又AB=BC=AC=2,.。两两垂直，2R=j2+2+2=G，/./?=—»

2

:.V=—HR》=—KX色生=J6兀，故选D.

338

二多选题

9.如图，透明塑料制成的长方体容器力谶・48£〃内灌进一些水，固定容器底面一边比'于地面上，再将

容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

A没有水的部分始终呈棱柱形；

B水面/汨G?/所在四边形的面积为定值；

C棱4〃始终与水面所在平面平行；

D当容器倾斜如图所示时，/加・痔'是定值.

其中正确的命题是（）

【答案】①③④[由题图，显然①是正确的，②是错误的；

对于③，因为BC//FG,

所以且平面EFGH，

所以44〃平面瓯（水面）.所以③是正确的；

对于④，因为水是定量的（定体积。，所以Sw•比1=1/,即良'•法・玄所以跖•勿'=,（定值），即

④是正确的.]

10.【2019年高考全国III卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方

体挖去四棱锥O—EFG”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H

分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AAi=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cnP,不考虑打

印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

【答案】118.8

【解析】由题意得，S四边形=4x6-4x；x2x3=12cm。

•・•四棱锥。—EFG”的高为3cm,・•・/,G〃=4xl2x3=12cm3.

乂长方体ABCD-AMCQI的体积为匕=4x6x6=144cm\

所以该模型体积为V=V2-V（）-EFGH=144-12=132cm，

其质量为0.9xl32=118.8g.

【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式

求解.根据题意可知模型的体枳为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质

量即可.

11.【2019年高考北京卷理数】已知〃是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断:

①LL，〃；②〃?〃。；③/_L。.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

【答案】如果/_La,m//a,则

【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

(1)如果LLa,m〃a,则/_!_〃?，正确；

(2)如果LLa,LLAM,则旭〃a,不正确，有可能加在平面a内;

(3)如果/_!_〃?，则/J_a,不正确，有可能/与a斜交、l//a.

故答案为：如果l-La,m//a,则/±m.

【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分

别作为条件、结论加以分析即可.

12.【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为g的正方形，侧棱长均为6.若圆柱的一个

底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为

【答案】-

4

【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为近的正方形，侧棱长均为逐，借助勾股定理，可知四棱锥的

高为行斤二2.

若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的

高为1，圆柱的底面半径为

2

/1\*2

故圆柱的体积为兀x-xl=-.

⑶4

【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥

底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.

：•FA_L平面尸石尸,

11

12

--X-XX1X=

32

设P到平面A放的距离为伍

1113

又S入AFF=2?x1x2x1x2x1X1=—,

‘2222

…13,/?

P-AEF322

h\,2

,故u力=一，

233

故选B.

【名师点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体枳计算，属于中档题.折叠后，利用

VA-PEF=Vp_AEF即可求得P到平面的距离.

13【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在三棱锥P-A8C中，平面PAB1.

平面人BC,A4BC是边长为6的等边三角形，△P43是以A8为斜边的等腰直角三角形，贝ij该三棱

锥外接球的表面积为.

【答案】4871

【解析】如图，在等边三角形ABC中，取的中点尸，设等边三角形ABC的中心为。，连接〃凡

CF,OP.

由AB=6,^AO=BO=CO=-CF=2>/3.OF=^,