2026年江西省高中数学函数性质专题备考习题集

2026年江西省高中数学函数性质专题备考习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增且无极值点B.单调递减且存在唯一极小值点C.单调递增且存在唯一极大值点D.单调递减且无极值点解析：f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当-1<x<0时，f′(x)>0，函数单调递增；当0<x<1时，f′(x)<0，函数单调递减。因此f(x)在(-1,0)上单调递增且在x=0处取得极大值f(0)=0，无极小值点。正确选项为C。2.函数g(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值分别为（）A.2和-1B.2和-2C.3和-1D.3和-2解析：g′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令g′(x)=0得x=0或x=2。计算g(-1)=-2，g(0)=2，g(2)=-2，g(3)=2，故最大值为2，最小值为-2。正确选项为B。3.若函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.1/2e解析：h′(x)=e^x-a，由题意h′(1)=e-a=0，解得a=e。验证二阶导数h′′(1)=e>0，确认x=1处为极小值点。正确选项为A。4.函数m(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最小值点为（）A.0B.π/4C.π/2D.π/6解析：m′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令m′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1/2。在[0,π/2]内，x=π/6或x=π/4。计算m(0)=1，m(π/6)=3/4，m(π/4)=√2/2，m(π/2)=0，故最小值点为x=π/2。正确选项为C。5.函数n(x)=xlnx-x^2在定义域内（x>0）的零点个数为（）A.0B.1C.2D.无数解析：n(x)=0即lnx=x，令f(x)=lnx-x，f′(x)=1/x-1，令f′(x)=0得x=1。f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且f(1)=-1<0，f(0^-)=+∞，f(+∞)=-∞。由零点存在性定理，f(x)在(0,1)和(1,+∞)各有一个零点。正确选项为C。6.函数p(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：分段函数p(x)={-2x-1,x<-2;3,-2≤x≤1;2x+1,x>1}，当x=1时取得最小值3。正确选项为B。7.函数q(x)=x^2e^(-x)在区间[0,3]上的最大值点为（）A.0B.1C.2D.3解析：q′(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=x(2-x)e^(-x)，令q′(x)=0得x=0或x=2。计算q(0)=0，q(1)=e^-1≈0.3679，q(2)=4e^-2≈0.5414，q(3)=9e^-3≈0.4998，故最大值点为x=2。正确选项为C。8.函数r(x)=x/(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：r′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令r′(x)=0得x=1。计算r(0)=0，r(1)=1/2，故最大值为1/2。正确选项为A。9.函数s(x)=x^3-3x^2+2x+1的图象关于点(1,0)对称的充分必要条件是（）A.s(1-x)+s(1+x)=0B.s(1-x)-s(1+x)=0C.s(1-x)=s(1+x)D.s(1-x)=-s(1+x)解析：图象关于点(1,0)对称的充要条件为s(1-x)=-s(1+x)。正确选项为D。10.函数t(x)=x^2lnx在x=1处的切线方程为（）A.y=x-1B.y=2x-2C.y=x+1D.y=2x+2解析：t′(x)=2xlnx+x，t′(1)=2，t(1)=0，切线方程为y=2(x-1)，即y=2x-2。正确选项为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数u(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差为________。参考答案：4解析：u(-1)=-1，u(0)=2，u(1)=0，u(2)=-2，u(3)=3，最大值为3，最小值为-2，差为5。2.函数v(x)=e^x-x^2在x=0处的二阶导数等于________。参考答案：2解析：v′(x)=e^x-2x，v′′(x)=e^x-2，v′′(0)=1-2=-1。3.函数w(x)=sin^2x+cos^2x在区间[0,π]上的最小值点为________。参考答案：π/2解析：w(x)=1，最小值恒为1，最小值点为x=π/2。4.函数z(x)=xlnx-x在x=1处的极值类型为________。参考答案：极小值解析：z′(x)=lnx，z′(1)=0，z′′(x)=1/x，z′′(1)=1>0，为极小值。5.函数a(x)=|x-1|+|x+1|的图象关于________对称。参考答案：y轴解析：a(-x)=|-x-1|+|-x+1|=a(x)，为偶函数，图象关于y轴对称。6.函数b(x)=x^3-3x+1的图象在x=1处的切线斜率为________。参考答案：-1解析：b′(x)=3x^2-3，b′(1)=3-3=0。7.函数c(x)=x/(x^2+1)在x=1处的导数为________。参考答案：1/4解析：c′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，c′(1)=0。8.函数d(x)=x^2lnx在x=e处的切线方程为________。参考答案：y=2e(x-e)+e^2解析：d′(x)=2xlnx+x，d′(e)=2e，d(e)=e^2，切线方程为y=2e(x-e)+e^2。9.函数e(x)=sinx+cosx在区间[0,2π]上的最大值点为________。参考答案：π/4解析：e′(x)=cosx-sinx，令e′(x)=0得x=π/4或x=5π/4，计算e(π/4)=√2，e(5π/4)=-√2，最大值点为π/4。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的图象关于点(1,1)对称的充要条件是________。参考答案：f(2-x)+f(x)=2解析：图象关于点(1,1)对称的充要条件为f(1-x)+f(1+x)=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数g(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为24。解析：g′(x)=3x^2-3，令g′(x)=0得x=±1。g(-2)=-2，g(-1)=2，g(1)=-2，g(2)=2，最大值为2，最小值为-2，差为4。错误。2.函数h(x)=e^x-x在x=0处取得极大值。解析：h′(x)=e^x-1，令h′(x)=0得x=0。h′′(x)=e^x，h′′(0)=1>0，为极小值。错误。3.函数i(x)=sinx-cosx在区间[0,π]上的最小值点为π/4。解析：i′(x)=cosx+sinx，令i′(x)=0得x=3π/4，i(0)=-1，i(π/4)=0，i(3π/4)=0，i(π)=-1，最小值点为π/4。正确。4.函数j(x)=x^3-3x^2+2x在x=2处取得极值。解析：j′(x)=3x^2-6x+2，判别式Δ=(-6)^2-4×3×2=-12<0，无极值点。错误。5.函数k(x)=x/(x^2+1)在x=1处取得最大值。解析：k′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令k′(x)=0得x=±1，k(1)=1/2，k(-1)=1/2，最大值为1/2。错误。6.函数l(x)=x^3-3x+2的图象关于点(1,0)对称。解析：l(1-x)+l(1+x)=(-x)^3+3(-x)+2+(x)^3-3x+2=-x^3+3x+2+x^3-3x+2=4≠0。错误。7.函数m(x)=x^2lnx在x=1处的导数为1。解析：m′(x)=2xlnx+x，m′(1)=2。错误。8.函数n(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为2。解析：n(x)≥2，当x=0时取得最小值2。正确。9.函数o(x)=sinx+cosx在区间[0,2π]上的最大值为√2。解析：o′(x)=cosx-sinx，令o′(x)=0得x=π/4或x=5π/4，o(π/4)=√2，o(5π/4)=-√2，最大值为√2。正确。10.函数p(x)=x^3-3x^2+2x+1的图象关于点(1,1)对称的充要条件是p(2-x)+p(x)=2。解析：图象关于点(1,1)对称的充要条件是p(1-x)+p(1+x)=2。错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数q(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调区间。解：q′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令q′(x)=0得x=0或x=2。当-1<x<0时，q′(x)>0，函数单调递增；当0<x<2时，q′(x)<0，函数单调递减；当2<x<3时，q′(x)>0，函数单调递增。单调递增区间为(-1,0)∪(2,3)，单调递减区间为(0,2)。2.求函数r(x)=x/(x^2+1)在x=1处的切线方程。解：r′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，r′(1)=0，r(1)=1/2，切线方程为y=1/2。3.判断函数s(x)=x^3-3x+2是否存在奇偶性。解：s(-x)=(-x)^3-3(-x)+2=-x^3+3x+2≠s(x)且≠-s(x)，函数既非奇函数也非偶函数。4.求函数t(x)=x^2lnx在x=e处的导数。解：t′(x)=2xlnx+x，t′(e)=2e+e=3e。5.求函数u(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。解：分段函数u(x)={-2x-1,x<-2;3,-2≤x≤1;2x+1,x>1}，当-2≤x≤1时，u(x)=3，最小值为3。6.求函数v(x)=x^3-3x^2+2x在x=0处的二阶导数。解：v′(x)=3x^2-6x+2，v′′(x)=6x-6，v′′(0)=-6。7.求函数w(x)=sin^2x+cos^2x在区间[0,π/2]上的最大值。解：w(x)=1，最大值为1。8.求函数x(x)=x^3-3x+2的图象关于点(1,0)对称的充要条件。解：充要条件为x(1-x)+x(1+x)=2，即x^2-1+x^2+1=2，化简得x^2=1，即x=±1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^2+10x+100（万元），其中x为产量（万件）。（1）求边际成本函数；（2）求产量为5万件时的边际成本。解：（1）边际成本函数为C′(x)=2x+10；（2）当x=5时，边际成本为C′(5)=2×5+10=20万元。2.某商品的需求函数为p=100-0.01x（元），其中x为需求量（件）。（1）求收益函数；（2）求边际收益函数；（3）求需求量为1000件时的边际收益。解：（1）收益函数R(x)=px=(100-0.01x)x=100x-0.01x^2；（2）边际收益函数R′(x)=100-0.02x；（3）当x=1000时，边际收益为R′(1000)=100-0.02×1000=80元。3.某城市人口增长模型为P(t)=P0e^(kt)，其中P0为初始人口，k为增长率。若该城市初始人口为10万人，3年后人口达到12万人，求：（1）增长率k；（2）6年后的人口预测。解：（1）12=10e^(3k)，e^(3k)=1.2，3k=ln1.2，k≈0.061；（2）P(6)=10e^(0.061×6)≈13.44万人。4.某公司投资某项目的收益函数为R(t)=50t-0.5t^2（万元），其中t为投资年限。（1）求边际收益函数；（2）求收益最大时的投资年限；（3）求最大收益。解：（1）边际收益函数R′(t)=50-t；（2）令R′(t)=0得t=50，收益最大时的投资年限为50年；（3）最大收益为R(50)=50×50-0.5×50^2=1250万元。5.某产品的成本函数为C(x)=x^3-6x^2+15x+10（元），求：（1）边际成本函数；（2）平均成本函数；（3）求边际成本等于平均成本时的产量。解：（1）边际成本函数C′(x)=3x^2-12x+15；（2）平均成本函数C(x)=x^3-6x^2+15x+10/x=x^2-6x+15+10/x；（3）令C′(x)=C(x)，3x^2-12x+15=x^2-6x+15+10/x，化简得2x^3-6x^2-10=0，x=√5。6.某产品的需求函数为p=80-0.02x（元），求：（1）收益函数；（2）边际收益函数；（3）需求量为2000件时的边际收益。解：（1）收益函数R(x)=px=(80-0.02x)x=80x-0.02x^2；（2）边际收益函数R′(x)=80-0.04x；（3）当x=2000时，边际收益为R′(2000)=80-0.04×2000=0元。7.某产品的成本函数为C(x)=x^2+4x+5（元），求：（1）边际成本函数；（2）平均成本函数；（3）求边际成本等于平均成本时的产量。解：（1）边际成本函数C′(x)=2x+4；（2）平均成本函数C(x)=x^2+4x+5/x=x+4+5/x；（3）令C′(x)=C(x)，2x+4=x+4+5/x，化简得x^2-3x-5=0，x=5。8.某产品的需求函数为p=60-0.03x（元），求：（1）收益函数；（2）边际收益函数；（3）需求量为1000件时的边际收益。解：（1）收益函数R(x)=px=(60-0.03x)x=60x-0.03x^2；（2）边际收益函数R′(x)=60-0.06x；（3）当x=1000时，边际收益为R′(1000)=60-0.06×1000=0元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.A4