2026年陕西省人教版初中数学九年级下册第5单元综合测试卷

2026年陕西省人教版初中数学九年级下册第5单元综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3），则该抛物线的解析式为（）A．y=-x²+4x-3B．y=x²-4x+3C．y=-x²-4x-3D．y=x²+4x-3解析：由对称轴x=2可知抛物线顶点横坐标为2，结合点A（1，0）和点B（3，0）为抛物线与x轴的交点，可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3)，代入点C（0，-3）得-3=a(0-1)(0-3)，解得a=1，故抛物线解析式为y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3，选项B正确。其他选项可通过代入点C验证不成立。2.在直角坐标系中，将抛物线y=2x²的顶点沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=2(x+3)²+2B．y=2(x-3)²+2C．y=2(x+3)²-2D．y=2(x-3)²-2解析：抛物线y=2x²的顶点为（0，0），沿x轴向左平移3个单位后顶点变为（-3，0），再沿y轴向上平移2个单位后顶点变为（-3，2），根据顶点式可得新抛物线解析式为y=2(x+3)²+2，选项A正确。其他选项平移方向或距离错误。3.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m>0B．m<0C．m≥0D．m≠0解析：由判别式Δ=m²-4>0可得m²>4，解得m>2或m<-2，即m≠0，选项D正确。其他选项取值范围不全面。4.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示（图略），则下列结论正确的是（）A．a>0，b>0，c>0B．a<0，b<0，c>0C．a>0，b<0，c<0D．a<0，b>0，c<0解析：由图象开口向下可知a<0，由图象与y轴交点在负半轴可知c<0，由对称轴x=-b/2a<0且a<0可知-b/2a>0，即b>0，故a<0，b>0，c<0，选项D正确。5.若抛物线y=x²-2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．1B．-1C．0D．任意实数解析：由判别式Δ=(-2)²-4×1×m=0可得m=1，选项A正确。其他选项代入Δ计算不等于0。6.已知点P（x，y）在抛物线y=-x²+4x上，则点P到直线y=x的距离的最小值为（）A．1B．2C．√2D．3解析：点P到直线y=x的距离d=|x-y|/√2=|x-(-x²+4x)|/√2=|x²-3x|/√2，令f(x)=x²-3x，求导f'(x)=2x-3，令f'(x)=0得x=3/2，f(3/2)=-9/4，故最小值为|-9/4|/√2=9√2/8≈1.59，最接近选项A。7.若关于x的方程x²+px+q=0和x²+qx+p=0有且只有一个公共根，则这个公共根为（）A．1B．-1C．0D．任意实数解析：设公共根为α，则α²+pα+q=0且α²+qα+p=0，两式相减得(p-q)α+p-q=0，若p≠q则α=1，若p=q则两方程相同，但题目要求有且只有一个公共根，故α=1，选项A正确。8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x上，则a的值为（）A．1B．-1C．1/2D．-1/2解析：由抛物线过（-1，0），（1，0）可得解析式为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，顶点为（0，-a），由顶点在y=x上可得-a=0，即a=0，但题目要求a≠0，故无解，选项均错误，需重新命题。9.若抛物线y=x²+mx+n与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁+x₂=4，x₁x₂=-3，则m的值为（）A．4B．-4C．2D．-2解析：由韦达定理x₁+x₂=-m=4，x₁x₂=n=-3，解得m=-4，选项B正确。其他选项计算错误。10.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示（图略），且对称轴为x=1，若点（2，3）在抛物线上，则当x=-1时，y的值为（）A．-3B．3C．5D．-5解析：由对称轴x=1可知顶点为（1，k），代入点（2，3）得4a+2b+c=3，由顶点式y=a(x-1)²+k，代入x=-1得y=4a+b+k，由对称性可知点（0，k）关于x=1对称，即k=3，故y=4a+b+3，又由抛物线过（1，k）得a+b+c=3，联立解得a=-1，b=5，故y=-4+5+3=4，选项均错误，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若抛物线y=2x²-4x+1的顶点为P，则点P到原点的距离为________。解析：抛物线顶点为（1，-1），根据两点距离公式√[(1-0)²+(-1-0)²]=√2，答案为√2。2.若关于x的一元二次方程x²+mx-1=0的一个根为2，则m的值为________。解析：代入x=2得4+2m-1=0，解得m=-3/2，答案为-3/2。3.若抛物线y=-x²+2x+m与y轴交于点A，且点A在y轴正半轴上，则m的取值范围是________。解析：抛物线与y轴交点为（0，m），由m>0得m>0，答案为m>0。4.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况是________。解析：开口向上且顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，答案为有两个相等的实数根。5.若抛物线y=3x²-6x+5的对称轴为直线x=1，则当x=2时，y的值为________。解析：由对称性可知x=2时的函数值与x=0时的函数值相等，代入x=0得y=5，答案为5。6.若关于x的一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根，则不等式x²+px+q<0的解集是________。解析：由判别式Δ=p²-4q>0可知方程有两个不相等的实数根x₁，x₂，且x₁<x₂，不等式x²+px+q<0的解集为（x₁，x₂），答案为（x₁，x₂）。7.若抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=-x上，则a的值为________。解析：抛物线过（-1，0），（1，0），解析式为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，顶点为（0，-a），由顶点在y=-x上得-a=-0，即a=0，但题目要求a≠0，故无解，答案为无解。8.若抛物线y=x²-2x+m与x轴交于A，B两点，且AB=2√3，则m的值为________。解析：抛物线与x轴交点为（1±√(1+m)），AB=2√(1+m)=2√3，解得m=2，答案为2。9.若二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示（图略），且对称轴为x=2，若点（3，4）在抛物线上，则当x=-1时，y的值为________。解析：由对称轴x=2可知点（1，4）也在抛物线上，代入x=1得a+b+c=4，代入x=3得9a+3b+c=4，联立解得a=-1，b=6，c=-3，故y=-(-1)+6(-1)-3=-4，答案为-4。10.若关于x的方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，则m²+n的值为________。解析：设方程两根为x₁，x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10，又由韦达定理x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，代入得m²-2n=10，故m²+n=10+n=10+n，答案为10+n。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，则抛物线一定经过点（1，0）。解析：对称轴为x=1说明顶点横坐标为1，但顶点纵坐标不一定为0，故抛物线不一定经过点（1，0），错误。2.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m>2或m<-2。解析：由判别式Δ=m²-4>0可得m²>4，解得m>2或m<-2，正确。3.若抛物线y=x²-2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是m<1。解析：由判别式Δ=(-2)²-4m>0可得m<1，正确。4.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况是有两个相等的实数根。解析：开口向上且顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，正确。5.若抛物线y=2x²-4x+1的顶点为P，则点P到直线y=x的距离为√5/2。解析：抛物线顶点为（1，-1），点P到直线y=x的距离d=|1-(-1)|/√2=√2，√5/2≈1.12>√2≈1.41，错误。6.若关于x的方程x²+px+q=0的一个根为1，则p+q=1。解析：代入x=1得1+p+q=0，即p+q=-1，错误。7.若抛物线y=-x²+2x+m与y轴交于点A，且点A在y轴正半轴上，则m的取值范围是m>0。解析：抛物线与y轴交点为（0，m），由m>0得m>0，正确。8.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x上，则a的值为-1/2。解析：抛物线过（-1，0），（1，0），解析式为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，顶点为（0，-a），由顶点在y=x上得-a=0，即a=0，但题目要求a≠0，故无解，错误。9.若抛物线y=x²-2x+m与x轴交于A，B两点，且AB=2√3，则m的值为2。解析：抛物线与x轴交点为（1±√(1+m)），AB=2√(1+m)=2√3，解得m=2，正确。10.若关于x的方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，则m²+n的值为10+n。解析：设方程两根为x₁，x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10，又由韦达定理x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，代入得m²-2n=10，故m²+n=10+n，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3），求该抛物线的解析式。解析：由对称轴x=2可知抛物线顶点横坐标为2，结合点A（1，0）和点B（3，0）为抛物线与x轴的交点，可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3)，代入点C（0，-3）得-3=a(0-1)(0-3)，解得a=1，故抛物线解析式为y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3。2.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。解析：由判别式Δ=m²-4>0可得m²>4，解得m>2或m<-2。3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x上，求a的值。解析：抛物线过（-1，0），（1，0），解析式为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，顶点为（0，-a），由顶点在y=x上得-a=0，即a=0，但题目要求a≠0，故无解。4.若抛物线y=x²-2x+m与x轴交于A，B两点，且AB=2√3，求m的值。解析：抛物线与x轴交点为（1±√(1+m)），AB=2√(1+m)=2√3，解得m=2。5.若关于x的方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，求m²+n的值。解析：设方程两根为x₁，x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10，又由韦达定理x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，代入得m²-2n=10，故m²+n=10+n。6.已知抛物线y=2x²-4x+1的顶点为P，求点P到原点的距离。解析：抛物线顶点为（1，-1），根据两点距离公式√[(1-0)²+(-1-0)²]=√2。7.若抛物线y=-x²+2x+m与y轴交于点A，且点A在y轴正半轴上，求m的取值范围。解析：抛物线与y轴交点为（0，m），由m>0得m>0。8.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，求关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况。解析：开口向上且顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实数根。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3），求该抛物线的解析式，并求抛物线与y轴的交点坐标。解析：由对称轴x=2可知抛物线顶点横坐标为2，结合点A（1，0）和点B（3，0）为抛物线与x轴的交点，可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3)，代入点C（0，-3）得-3=a(0-1)(0-3)，解得a=1，故抛物线解析式为y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3，抛物线与y轴交点为（0，3）。2.若关于x的一元二次方程x²+mx+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围，并求这两个根的平方和。解析：由判别式Δ=m²-4>0可得m>2或m<-2，设方程两根为x₁，x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2=10，解得m=±√12=±2√3。3.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x上，求a的值，并求抛物线与y轴的交点坐标。解析：抛物线过（-1，0），（1，0），解析式为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，顶点为（0，-a），由顶点在y=x上得-a=0，即a=0，但题目要求a≠0，故无解。4.若抛物线y=x²-2x+m与x轴交于A，B两点，且AB=2√3，求m的值，并求抛物线与y轴的交点坐标。解析：抛物线与x轴交点为（1±√(1+m)），AB=2√(1+m)=2√3，解得m=2，抛物线与y轴交点为（0，2）。5.若关于x的方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，求m²+n的值，并求方程的两个根。解析：设方程两根为x₁，x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10，又由韦达定理x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，代入得m²-2n=10，故m²+n=10+n，方程的两个根为x₁，x₂满足x₁²+x₂²=10且x₁+x₂=-m，x₁x₂=n。6.已知抛物线y=2x²-4x+1的顶点为P，求点P到直线y=x的距离，并求抛物线与y轴的交点坐标。解析：抛物线顶点为（1，-1），点P到直线y=x的距离d=|1-(-1)|/√2=√2，抛物线与y轴交点为（0，1）。7.若二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，求关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况，并求抛物线与y轴的交点坐标。解析：开口向上且顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，抛物线与y轴交点为（0，c）。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.D4.D5.A6.A7.A8.无解9.B10.D解析：2.由对称轴x=2可知抛物线顶点横坐标为2，结合点A（1，0）和点B（3，0）为抛物线与x轴的交点，可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3)，代入点C（0，-3）得-3=a(0-1)(0-3)，解得a=1，故抛物线解析式为y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3，选项A正确。3.抛物线y=2x²的顶点为（0，0），沿x轴向左平移3个单位后顶点变为（-3，0），再沿y轴向上平移2个单位后顶点变为（-3，2），根据顶点式可得新抛物线解析式为y=2(x+3)²+2，选项A正确。4.由判别式Δ=m²-4>0可得m²>4，解得m>2或m<-2，即m≠0，选项D正确。5.由图象开口向下可知a<0，由图象与y轴交点在负半轴可知c<0，由对称轴x=-b/2a<0且a<0可知-b/2a>0，即b>0，故a<0，b>0，c<0，选项D正确。6.由判别式Δ=(-2)²-4×1×m=0可得m=1，选项A正确。7.点P到直线y=x的距离d=|x-y|/√2=|x-(-x²+4x)|/√2=|x²-3x|/√2，令f(x)=x²-3x，求导f'(x)=2x-3，令f'(x)=0得x=3/2，f(3/2)=-9/4，故最小值为|-9/4|/√2=9√2/8≈1.59，最接近选项A。8.设公共根为α，则α²+pα+q=0且α²+qα+p=0，两式相减得(p-q)α+p-q=0，若p≠q则α=1，若p=q则两方程相同，但题目要求有且只有一个公共根，故α=1，选项A正确。9.由抛物线过（-1，0），（1，0）可得解析式为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，顶点为（0，-a），由顶点在y=x上可得-a=0，即a=0，但题目要求a≠0，故无解，选项均错误，需重新命题。10.由韦达定理x₁+x₂=-m=4，x₁x₂=n=-3，解得m=-4，选项B正确。11.由对称轴x=1可知顶点为（1，k），代入点（2，3）得4a+2b+c=3，由顶点式y=a(x-1)²+k，代入x=-1得y=4a+b+k，由对称性可知点（0，k）关于x=1对称，即k=3，故y=4a+b+3，又由抛物线过（1，k）得a+b+c=3，联立解得a=-1，b=5，故y=-4+5+3=4，选项均错误，需重新命题。二、填空题1.√212.-3/213.m>014.有两个相等的实数根15.516.(x₁，x₂)17.无解18.219.-420.10+n解析：2.抛物线顶点为（1，-1），根据两点距离公式√[(1-0)²+(-1-0)²]=√2。3.代入x=2得4+2m-1=0，解得m=-3/2。4.抛物线与y轴交点为（0，m），由m>0得m>0。5.开口向上且顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实数根。6.由对称性可知x=2时的函数值与x=0时的函数值相等，代入x=0得y=5。7.由判别式Δ=p²-4q>0可知方程有两个不相等的实数根x₁，x₂，且x₁<x₂，不等式x²+px+q<0的解集为（x₁，x₂）。8.由对称轴x=1可知顶点为（1，k），但顶点纵坐标不一定为0，故抛物线不一定经过点（1，0），错误。9.抛物线与x轴交点为（1±√(1+m)），AB=2√(1+m)=2√3，解得m=2。10.由对称轴x=2可知点（1，4）也在抛物线上，代入x=1得a+b+c=4，代入x=3得9a+3b+c=4，联立解得a=-1，b=6，c=-3，故y=-(-1)+6(-1)-3=-4。11.设方程两根为x₁，x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10，又由韦达定理x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，代入得m²-2n=10，故m²+n=10+n。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.×27.√28.×29.√30.√解析：2.若抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1，则抛物线顶点横坐标为1，但顶点纵坐标不一定为0，故抛物线不一定经过点（1，0），错误。3.由判别式Δ=m²-4>0可得m²>4，解得m>2或m<-2，正确。4.由判别式Δ=(-2)²-4m>0可得m<1，正确。5.开口向上且顶点在x轴上，说明抛物线与x轴只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，正确。6.抛物线顶点为（1，-1），点P到直线y=x的距离d=|1-(-1)|/√2=√2，√5/2≈1.12>√2≈1.41，错误。7.代入x=1得1+p+q=0，即p+q=-1，错误。8.抛物线与y轴交点为（0，m），由m>0得m>0，正确。9.抛物线过（-1，0），（1，0），解析式为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，顶点为（0，-a），由顶点在y=x上得-a=0，即a=0，但题目要求a≠0，故无解，错误。10.抛物线与x轴交点为（1±√(1+m)），AB=2√(1+m)=2√3，解得m=2，正确。11.设方程两根为x₁，x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10，又由韦达定理x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，代入得m²-2n=10，故m²+n=10+n，正确。四、简答题1.解析：由对称轴x=2可知抛物线顶点横坐标为2，结合点A（1，0）和点B（3，0）为抛物线与x轴的交点，可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3)，代入点C（0，-3）得-3=a(0-1)(0-3)，解得a=1，故抛物线解析式为y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3。2.解析：由判别式Δ=m²-4>0可得m²>4，解得m>2或m<-2。3.解析：抛物线过（-1，0），（1，0），解析式为y=a(x+1)(x-1)=ax²-a，顶点为（0，-