人教版小学数学四年级下册四则运算练习二知识清单

人教版小学数学四年级下册四则运算练习二知识清单一、核心概念与运算基石（一）加、减法的意义及各部分间的关系【基础】【必会】加法与减法是数学运算体系中的基本运算，理解它们的意义以及内在联系是解决复杂问题的根本。1.加法的意义：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。其数量关系式为：加数+加数=和。2.减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。在减法中，已知的和叫做被减数，已知的一个加数叫做减数，求得的另一个加数叫做差。其数量关系式为：被减数减数=差。3.加减法各部分间的关系【重要】【高频考点】：（1）加法各部分间的关系：和=加数+加数；加数=和另一个加数。这是加法的逆运算关系，是检验加法计算结果是否正确的基本方法，也是解简单方程的基础。（2）减法各部分间的关系：差=被减数减数；减数=被减数差；被减数=减数+差。这些关系式不仅用于验算减法，还用于求解减法算式中的未知项。4.加减法的互逆关系：减法是加法的逆运算。利用这种互逆关系，可以灵活地进行算式的改写与验算。例如，由25+18=43，可以直接推导出4325=18和4318=25。（二）乘、除法的意义及各部分间的关系【基础】【必会】乘法和除法是比加减法更高级的运算，它们同样有着紧密的内在联系。1.乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。其数量关系式为：因数×因数=积。2.除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，求得的另一个因数叫做商。其数量关系式为：被除数÷除数=商。3.乘除法各部分间的关系【重要】【高频考点】：（1）乘法各部分间的关系：积=因数×因数；因数=积÷另一个因数。这是乘法的逆运算关系，用于验算乘法和求解乘法算式中的未知因数。（2）除法各部分间的关系：商=被除数÷除数；除数=被除数÷商；被除数=商×除数。有余数的除法中，被除数=商×除数+余数。这些关系是解决除法相关问题（如求除数、被除数）的核心工具。4.乘除法的互逆关系：除法是乘法的逆运算。理解这一点，可以快速完成乘除法算式之间的转换。例如，由12×5=60，可得60÷12=5和60÷5=12。（三）有关0的运算【难点】【易错点】0是一个特殊的数字，在四则运算中有着独特的性质，是考试中极易出错的地方。1.一个数加上0，还得原数。例如：a+0=a。2.一个数减去0，还得原数。例如：a0=a。3.被减数等于减数，差是0。例如：aa=0。4.一个数乘0，积是0。例如：0×a=0或a×0=0。5.0除以一个非0的数，还得0【非常重要】。例如：0÷a=0（a≠0）。这里的“非0”是前提条件，因为除数不能为0。6.0不能作除数【非常重要】【高频考点】。这是数学中的一个基本规定。其原因可以从除法的意义理解：如果除数是0，商不存在（如5÷0，找不到一个数乘以0等于5）或商不确定（如0÷0，任何数乘以0都得0，商不唯一）。在计算中，遇到除数为0的算式，直接判断为无意义或错误。二、四则混合运算的顺序与法则（一）四则混合运算的运算顺序【基础】【核心】当加、减、乘、除四种运算混合在一个算式中时，必须遵循特定的运算顺序，才能得到唯一正确的结果。1.同级运算（只有加减法或只有乘除法）：在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要按照从左到右的顺序依次计算【重要】。（1）例如：7236+24，应先算减法7236=36，再算加法36+24=60。不能先算36+24。（2）例如：200÷8×5，应先算除法200÷8=25，再算乘法25×5=125。不能先算8×5。2.两级运算（既有加减法，又有乘除法）：在没有括号的算式里，如果有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法【非常重要】。即“先乘除，后加减”。（1）例如：75+25×4，应先算乘法25×4=100，再算加法75+100=175。如果先算加法，会得到400，结果是错误的。（2）例如：÷12，应先算除法144÷12=12，再算减法20012=188。3.含有括号的运算：在含有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算小括号外面的【非常重要】。括号的作用是改变运算顺序，括号内的算式同样遵循上述的运算顺序。（1）例如：（78+22）×5，应先算小括号内的加法78+22=100，再算乘法100×5=500。（2）例如：360÷（189）×2，应先算小括号内的减法189=9，再算除法360÷9=40，最后算乘法40×2=80。这里要特别注意，括号算完后，剩下的同级运算仍然要按从左到右的顺序进行。（二）解决实际问题中的列综合算式【难点】【高频考点】将分步算式合并成一个综合算式，是检验学生对运算顺序理解程度的重要题型。1.方法：首先找出分步算式中的最后一步是什么运算，确定综合算式的主体框架。然后，观察前一步的得数在最后一步算式中充当什么角色（是加数、减数、被减数、因数、除数还是被除数），将其替换为对应的算式。最后，仔细检查是否需要添加括号以改变或保证原有的运算顺序【非常重要】。2.例如：根据分步算式32+28=60，240÷60=4，列综合算式。（1）分析：最后一步是除法，主体框架为240÷（）=4。括号里的60是由前一步的加法算式得到的。（2）替换：将括号里的60替换为32+28，得到240÷32+28。（3）检查运算顺序：如果不加括号，按照运算顺序，应先算除法240÷32，再算加法，这与分步运算的顺序（先加后除）不符。因此，必须给加法算式加上小括号，以保证它先计算。（4）正确结果：240÷（32+28）。3.例如：根据分步算式12×5=60，15060=90，列综合算式。（1）分析：最后一步是减法，主体框架为150（）=90。括号里的60是由前一步的乘法算式得到的。（2）替换：将括号里的60替换为12×5，得到15012×5。（3）检查运算顺序：按照运算顺序，在没有括号的算式里，有乘法和减法，应先算乘法，后算减法。这与分步运算的顺序完全一致。（4）正确结果：15012×5。（无需添加括号）三、典型问题与数学模型（一）归一问题【重要】【高频考点】归一问题是小学应用题中的基础模型，其核心是“先求出一份量（即单一量）”，再以此为标准求出所需的总量或份数。1.含义：已知总量和数量，先求出单一量，再以这个单一量为标准，根据其他条件求出结果的应用题。2.解题关键：找准“单一量”。单一量通常是指单位时间的工作量、单位物品的价格、单位面积的产量等。3.基本数量关系：（1）单一量=总量÷份数（2）总量=单一量×新的份数（3）份数=新的总量÷单一量4.例题解析：王师傅3小时加工了24个零件。照这样计算，8小时可以加工多少个零件？（1）第一步求单一量（每小时加工个数）：24÷3=8（个）（2）第二步求总量（8小时加工个数）：8×8=64（个）（3）综合算式：24÷3×8=8×8=64（个）。答：8小时可以加工64个零件。5.变式问题：王师傅3小时加工了24个零件。照这样计算，要加工64个零件，需要多少小时？（1）第一步求单一量（每小时加工个数）：24÷3=8（个）（2）第二步求份数（所需时间）：64÷8=8（小时）（3）综合算式：64÷（24÷3）=64÷8=8（小时）。答：需要8小时。（二）归总问题【重要】【高频考点】归总问题与归一问题相对应，其核心是“先求出总量”，再根据新的条件，以这个不变的总量为标准，求出新的单一量或份数。1.含义：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其他条件算出所求的问题。这里的“总数量”可以指总路程、总产量、总价、工作总量等，它是一个不变的量。2.解题关键：找准不变的“总量”。3.基本数量关系：（1）总量=原单一量×原份数（2）新的单一量=总量÷新的份数（3）新的份数=总量÷新的单一量4.例题解析：一批货物，每车装5吨，需要6辆车才能一次运完。如果每车装6吨，需要几辆车一次运完？（1）第一步求总量（货物总吨数）：5×6=30（吨）（2）第二步求新的份数（改变后需要的车辆数）：30÷6=5（辆）（3）综合算式：5×6÷6=30÷6=5（辆）。答：需要5辆车。5.变式问题：一批货物，每车装5吨，需要6辆车才能一次运完。如果改用4辆车来运，平均每车需要装多少吨？（1）第一步求总量（货物总吨数）：5×6=30（吨）（2）第二步求新的单一量（改变后每车装载吨数）：30÷4=7.5（吨）（3）综合算式：5×6÷4=30÷4=7.5（吨）。答：平均每车需要装7.5吨。（三）行程问题中的基本模型【拓展】【基础应用】行程问题是研究物体运动的应用题，其基本框架是速度、时间和路程之间的关系。1.基本概念：（1）路程：物体从起点到终点经过的路线长度。（2）速度：单位时间内物体移动的路程。表示物体运动的快慢程度。（3）时间：物体运动所经过的时间。2.核心公式【非常重要】：（1）路程=速度×时间（v=s÷t的变形，s=v×t）（2）速度=路程÷时间（v=s÷t）（3）时间=路程÷速度（t=s÷v）3.例题解析：一辆汽车3小时行驶了180千米。照这样的速度，这辆汽车5小时可以行驶多少千米？（1）分析：这是一个先求速度的归一问题。（2）第一步求速度（单一量）：180÷3=60（千米/时）（3）第二步求新路程（总量）：60×5=300（千米）（4）综合算式：180÷3×5=60×5=300（千米）。答：5小时可以行驶300千米。（四）工程问题中的基本模型【拓展】【基础应用】工程问题研究的是工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，其结构与行程问题非常相似。1.基本概念：（1）工作总量：需要完成的工作任务的总量。通常在没有具体数值时，可以把工作总量看作单位“1”。（2）工作效率：单位时间内完成的工作量。表示工作的快慢。（3）工作时间：完成工作所经过的时间。2.核心公式【非常重要】：（1）工作总量=工作效率×工作时间（2）工作效率=工作总量÷工作时间（3）工作时间=工作总量÷工作效率3.例题解析：李叔叔4小时可以加工20个零件。照这样计算，他加工35个同样的零件需要多少小时？（1）第一步求工作效率（单一量）：20÷4=5（个/时）（2）第二步求工作时间（份数）：35÷5=7（小时）（3）综合算式：35÷（20÷4）=35÷5=7（小时）。答：需要7小时。四、运算定律的初步渗透与简便计算意识（一）加法运算定律的初步认识【基础】【拓展】虽然本单元重点是四则运算的意义和顺序，但练习二中会初步渗透一些简便运算的思想，为后续学习运算定律做铺垫。1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a+b=b+a。这可以使计算更灵活。2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：（a+b）+c=a+（b+c）。这可以帮助我们将能凑成整十、整百的数先结合起来计算。3.简便计算意识：在遇到连加算式时，要养成先观察数字特点的习惯，看看是否有哪两个数能凑成整十、整百数，如果有，就可以运用加法交换律和结合律把它们移到一起先加，使计算简便。（1）例如：计算36+78+64。观察到36和64能凑成100，可以先算36+64=100，再算100+78=178。过程为：36+78+64=（36+64）+78=100+78=178。（二）乘法运算定律的初步认识【基础】【拓展】同样，乘法中也存在类似的规律，可以为简便计算提供思路。1.乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。用字母表示为：a×b=b×a。2.乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示为：（a×b）×c=a×（b×c）。3.简便计算意识：在连乘算式中，观察数字特点，看看哪两个数相乘能得到整十、整百数，可以先乘它们。（1）例如：计算25×17×4。观察到25和4相乘得100，可以先算25×4=100，再算100×17=1700。过程为：25×17×4=（25×4）×17=100×17=1700。五、常见题型分类解析与解题策略【高分秘籍】（一）直接运用关系式求解的题型【基础】这类题目直接考查对加、减、乘、除法各部分间关系的掌握程度。1.求未知数（填空或解简易方程）：（1）例：计算（）+35=80。根据“加数=和另一个加数”，得8035=45。（2）例：计算320（）=180。根据“减数=被减数差”，得=140。（3）例：计算（）×8=360。根据“因数=积÷另一个因数”，得360÷8=45。（4）例：计算450÷（）=15。根据“除数=被除数÷商”，得450÷15=30。2.验算题：给定算式和计算结果，要求判断对错并说明理由。（1）例：判断135+267=392是否正确。可以用减法验算：=257，或=125，结果都不是另一个加数，所以计算错误。（二）判断运算顺序的题型【基础】【易错点】这类题目旨在考察学生对“先乘除后加减”和“先括号内后括号外”运算顺序的理解。1.脱式计算（递等式计算）：要求写出每一步的计算过程。（1）例：计算16832×3+45。解：16832×3+45=16896+45（第一步：先算乘法32×3=96）=72+45（第二步：从左到右算减法16896=72）=117（第三步：算加法72+45=117）（2）例：计算（）÷（3212）。解：（）÷（3212）=160÷20（第一步：同时计算两个小括号内的减法）=8（第二步：算除法）2.给算式添括号改变运算顺序的题：（1）例：给算式6+12×42添上括号，使结果最大或最小。分析：要使结果最大，应让乘数变大或让加数变大。可以尝试6+12×（42）=6+12×2=30；或（6+12）×42=18×42=722=70；或6+（12×42）=6+（482）=52。比较后发现70最大。要使结果最小，应让乘数变小或让减去的数变大。可以尝试（6+12）×（42）=18×2=36；或6+12×（42）=30；或（6+12×4）2=（6+48）2=52。比较后发现30最小。（三）改写成综合算式的题型【重要】【高频考点】这类题目连接了分步思考和算式表达，是检验逻辑思维的关键。1.步骤：【非常重要】从最后一步算式入手，往上追溯每个数的来源，并用算式替换，同时注意括号的添加。（1）例：根据下面分步算式，列出综合算式。4518=27，12×27=324。分析：最后一步是乘法，主体框架是12×（）=324。括号里的27是由第一步减法得来的，所以替换为4518。由于乘法中要先算减法才能得到27，而减法是低级运算，所以必须加括号。结果为12×（4518）。（2）例：根据下面分步算式，列出综合算式。120÷5=24，10024=76，76+32=108。分析：最后一步是加法，主体框架是76+32=108。但这里的76不是已知数，而是第二步减法的结果。所以主体框架可以看作是（）+32，而括号里是10024。接着，24又是第一步除法的结果。所以将24替换为120÷5。得到÷5+32。检查运算顺序：在没有括号的算式中，应先算除法120÷5=24，再算减法10024=76，最后算加法76+32=108，与分步顺序完全一致，所以不需要加括号。结果为÷5+32。（四）解决实际问题的应用题【核心】【综合应用】这类题目将数学知识与现实情境结合，是学习的最终目的。1.读题与审题：【非常重要】通读题目，理解题意，弄清楚题目中给出了哪些已知条件（数据和信息），要求解决什么问题。圈画出关键信息，如“照这样计算”、“平均”、“一共”、“还剩”等词语。2.分析数量关系：思考已知条件和所求问题之间存在着什么样的联系。是属于归一问题、归总问题，还是简单的和差积商关系？确定解题思路，先求什么，再求什么。3.列式计算：根据分析，列出算式并准确计算。计算时注意运算顺序，必要时使用括号。4.检验与作答：检查计算是否正确，结果是否符合生活实际。最后写上完整的答句。5.典型例题精析：（1）【归一问题】一辆卡车4次可以运送20吨货物。照这样计算，12次可以运送多少吨货物？解析：先求一次运送吨数（单一量）：20÷4=5（吨）。再求12次运送总量：5×12=60（吨）。综合算式：20÷4×12=5×12=60（吨）。（2）【归总问题】学校买来一些粉笔，如果每个班分5盒，可以分给12个班。如果每个班分6盒，可以分给几个班？解析：先求粉笔总盒数（总量）：5×12=60（盒）。再求按新标准可分班数：60÷6=10（个）。综合算式：5×12÷6=60÷6=10（个）。（3）【两步计算问题】一本书有200页，小明已经看了4天，每天看25页，还剩多少页没看？解析：先求已经看的页数：25×4=100（页）。再求剩下的页数：=100（页）。综合算式：20025×4==100（页）。注意此题不用括号，因为要先算乘法。（4）【带括号问题】学校食堂运来36袋大米，每袋重25千克。如果这些大米计划吃6周，平均每周吃多少千克？解析：方法一：先求总质量，再求每周吃的。总质量：25×36=900（千克），每周：900÷6=150（千克）。综合算式：25×36÷6=900÷6=150（千克）。方法二：也可以先求每周吃多少袋，再求质量。每周吃袋数：36÷6=6（袋），每周吃质量：25×6=150（千克）。综合算式：25×（36÷6）=25×6=150（千克）。这里括号必不可少，因为要先算除法。六、易错点与难点突破【警示】【提升】（一）运算顺序混淆【非常容易错】1.典型错误：在计算25+75÷5时，错误地先算加法，得到100÷5=20。2.正确理解：根据“先乘除后加减”的规则，应先算除法75÷5=15，再算加法25+15=40。3.突破方法：在计算前，先观察算式结构，用笔尖指着运算符号，心中默念运算顺序。对于两步以上的混合运算，可以按运算顺序在算式下面用横线标出先算的步骤。（二）0的运算中忽略“0不能作除数”【非常容易错】1.典型错误：在填空或判断中，认为0÷0=0是正确的。2.正确理解：0不能作除数。任何包含“除以0”的算式都是没有意义的。3.突破方法：牢记“0作除数，算式无意义”这一铁律。在做判断题或改错题时，第一时间检查除数是否为0。（三）列综合算式时忘记加括号【非常容易错】1.典型错误：根据“12+8=20，3020=10”列综合算式为3012+8。2.错误分析：在综合算式中，3012+8的运算顺序是从左到右，先算3012=18，再算18+8=26，与分步结果10不符。3.正确解法：为了确保先算加法，必须给12+8加