辽宁省大连市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 利用导数研究函数的极值（1）教案 新人教B版选修2-2

辽宁省大连市高中数学第一章导数及其应用1.3利用导数研究函数的极值（1）教案新人教B版选修2-2课题Xxx课型XXXX修改日期2025年10月教具XXXXX课程基本信息1.课程名称：辽宁省大连市高中数学第一章导数及其应用1.3利用导数研究函数的极值（1）教案新人教B版选修2-2

2.教学年级和班级：高一年级

3.授课时间：2023年4月15日，上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.数学抽象：通过研究函数的极值，培养学生从具体情境中抽象出数学模型的能力，提高学生运用数学语言描述现实问题的水平。

2.逻辑推理：引导学生运用导数的概念和性质，通过逻辑推理找出函数极值点，培养学生严谨的数学思维和逻辑推理能力。

3.数学建模：鼓励学生将实际问题转化为数学问题，通过建立函数模型并求解，培养学生解决实际问题的能力。

4.直观想象：借助图形和图表，帮助学生直观理解函数极值的概念，提升学生的空间想象能力和几何直观能力。教学难点与重点1.教学重点：

-理解导数在研究函数极值中的应用，明确导数为零的点可能是极值点。

-掌握判断极值点的步骤：求导数，找出导数为零的点，确定这些点是否为极值点，并判断极大值或极小值。

-能够运用导数分析函数的单调性，从而确定极值点。

2.教学难点：

-理解并运用二阶导数判断极值的充分条件，区分极值点和拐点。

-准确求解函数的导数，包括复合函数的导数。

-在实际问题中，如何将问题转化为函数形式，并找到合适的函数来研究极值。

-分析导数等于零的点是否为极值点时，如何处理导数不存在的情况，如函数的尖点或间断点。

-在复杂函数的情况下，如何有效利用导数判断极值，避免计算错误。教学资源-软硬件资源：笔记本电脑、投影仪、黑板或电子白板

-课程平台：人教版高中数学选修2-2在线教学平台

-信息化资源：函数图像生成软件（如Mathematica、Geogebra等）

-教学手段：多媒体课件、导数性质相关动画演示、课堂练习题、学生练习册教学过程：1.导入新课

-（教师）同学们，我们上节课学习了导数的概念和几何意义，今天我们将继续探讨导数在研究函数性质中的应用，特别是如何利用导数来研究函数的极值问题。

-（学生）好的，老师。

2.回顾旧知

-（教师）首先，让我们回顾一下导数的概念。导数是描述函数在某一点处变化率的一个数值。大家还记得导数的定义吗？

-（学生）记得，导数是函数在某点处切线的斜率。

-（教师）很好。那么，导数如何帮助我们研究函数的极值呢？

3.新课引入

-（教师）今天我们要学习的是如何利用导数来研究函数的极值。首先，我们要明确，一个函数的极值点通常出现在导数为零的位置。接下来，我们将通过具体例子来探讨这一点。

4.举例讲解

-（教师）让我们来看一个简单的例子：函数f(x)=x^3。我们先求出它的导数f'(x)=3x^2，然后找出导数为零的点。

-（学生）f'(x)=3x^2=0，解得x=0。

-（教师）很好，x=0是导数为零的点。接下来，我们需要判断这个点是极大值点还是极小值点。

5.导数与极值

-（教师）为了判断极值，我们可以使用二阶导数。如果二阶导数大于零，则导数为零的点是一个极小值点；如果小于零，则是一个极大值点。

-（学生）哦，我明白了。对于f(x)=x^3，二阶导数f''(x)=6x，在x=0时，f''(0)=0，说明这个点是极值点。

6.课堂练习

-（教师）现在请大家尝试判断函数g(x)=x^4-8x^3+12x的极值点，并判断它们是极大值点还是极小值点。

-（学生）好的，我会计算一下。

7.学生展示

-（学生）老师，我计算了g(x)的导数g'(x)=4x^3-24x^2+12x，令g'(x)=0，解得x=0,x=1,x=3。

-（教师）很好，你已经找到了导数为零的点。现在，我们使用二阶导数来判断这些点。

-（学生）g''(x)=12x^2-48x+12，在x=0时，g''(0)=12>0，所以x=0是极小值点；在x=1时，g''(1)=-24<0，所以x=1是极大值点；在x=3时，g''(3)=12>0，所以x=3是极小值点。

8.拓展应用

-（教师）很好，大家已经掌握了如何利用导数来判断极值。现在，让我们将这个方法应用到实际问题中。

-（学生）好的，老师。

9.实际问题分析

-（教师）假设一个公司的收入函数为R(x)=-0.5x^2+20x+100，其中x是销售量。我们需要找出销售量使得公司收入最大化的点。

-（学生）我会先求出R(x)的导数R'(x)，然后找出导数为零的点，最后使用二阶导数来判断这个点是极大值点。

10.总结与反思

-（教师）今天我们学习了如何利用导数来研究函数的极值，并通过具体的例子和实际问题来加深理解。希望大家能够掌握这个方法，并在今后的学习中灵活运用。

-（学生）谢谢老师，我明白了。

11.作业布置

-（教师）请大家课后完成以下练习题：

1.判断函数h(x)=x^5-5x^4+4x^3的极值点，并判断它们是极大值点还是极小值点。

2.一个长方形的面积固定为48平方厘米，求长方形的长和宽使得周长最小。

-（学生）好的，我会认真完成作业。

12.课堂小结

-（教师）今天的课程到此结束，希望大家能够通过今天的课程，对导数在研究函数极值中的应用有更深入的理解。我们下节课再见。

-（学生）再见，老师。学生学习效果：学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解能力提升

-学生能够理解和掌握导数的概念，以及导数在研究函数性质中的应用，特别是如何利用导数来研究函数的极值问题。

-学生能够区分导数与极值的关系，理解极值点的定义和性质，以及如何通过导数来判断极值点。

-学生能够理解并运用二阶导数来判断极值点的类型，以及如何通过二阶导数来区分极值点和拐点。

2.实践能力增强

-学生能够运用导数分析实际问题，将实际问题转化为数学问题，并建立合适的函数模型来研究极值。

-学生能够通过计算导数和二阶导数，找到函数的极值点，并判断这些点是否为极大值点或极小值点。

-学生能够分析复杂函数的极值问题，处理导数不存在的情况，如函数的尖点或间断点。

3.解决问题能力提高

-学生能够应用导数来解决问题，如优化问题、极值问题等，提高解决实际问题的能力。

-学生能够通过导数分析函数的单调性，从而确定极值点，解决函数在实际应用中的问题。

-学生能够将所学知识应用于实际问题中，如物理学中的运动学问题、经济学中的成本问题等。

4.思维能力培养

-学生能够运用逻辑推理和数学归纳法，分析导数与极值的关系，培养严谨的数学思维。

-学生能够运用直观想象能力，通过图形和图表来理解函数极值的概念，提升空间想象能力和几何直观能力。

-学生能够运用数学抽象能力，从具体情境中抽象出数学模型，提高运用数学语言描述现实问题的水平。

5.学习习惯养成

-学生能够通过课堂练习和课后作业，养成良好的学习习惯，如按时完成作业、主动思考问题等。

-学生能够积极参与课堂讨论，提出问题并解决问题，提高课堂参与度和学习兴趣。

-学生能够通过自主学习，查阅资料、查阅教材，提高自学能力和独立解决问题的能力。XX教学反思与总结：哎，这节课过得真快，现在想想，有几个方面我觉得还可以再改进一下。

首先，我在引入新课的时候，可能有点过于简单了。我注意到有些学生对于导数这个概念还不够熟悉，所以在讲解极值之前，我可能需要花更多的时间来回顾和巩固导数的基础知识。我打算在下一节课的开头，设计一个简短的复习环节，帮助学生们更好地过渡到新的内容。

其次，我在讲解函数的极值点时，可能过于依赖公式和步骤。我发现有些学生对于如何判断极值点的类型并不是很清楚，尤其是当二阶导数等于零的时候。我觉得我可以在接下来的教学中，更加强调直观理解和案例分析，让学生们通过具体的例子来理解这些概念。

再者，我在课堂上对于学生的互动和参与度还不够。有些学生似乎对自己的答案不太自信，不太敢在课堂上发表意见。我想要创造一个更加开放和包容的课堂氛围，鼓励每个学生都参与到讨论中来。我打算在接下来的课程中，多设计一些小组讨论和合作学习的活动，让每个学生都有机会表达自己的想法。

教学总结方面，我觉得这节课还是取得了一些成效的。学生们对于导数在研究函数极值中的应用有了更深入的理解，能够在给定的问题中正确地求出导数，并找到极值点。不过，也有少数学生在计算过程中出现了一些错误，这可能是因为他们对导数的定义和性质还不够熟练。XX课后拓展：1.拓展内容：

-阅读材料：《微积分学基本思想方法》中的“极值问题的数学模型”章节，了解极值问题的历史背景和数学建模过程。

-视频资源：《数学分析》系列视频，通过视频讲解如何在实际问题中运用导数和极值的概念。

2.拓展要求：

-学生在课后可以选择阅读《微积分学基本思想方法》中的相关章节，了解极值问题的数学原理和它在物理学、经济学等领域的应用。

-观看《数学分析》系列视频，通过视频学习如何将实际问题转化为数学问题，并运用导数和极值的概念来解决这些问题。

-鼓励学生在阅读和观看后，尝试自己解决一些相关的习题，如求函数的极值点、分析函数的单调性等。

-教师将提供必要的指导和帮助，包括解答学生在阅读和观看过程中遇到的疑问，推荐额外的学习资源，以及组织小组讨论会，让学生们分享学习心得和解决实际问题的方法。XX板