2027山东专升本高数二 二重积分章节检测A卷（逐题详细解析）

山东专升本高数二二重积分章节检测A卷试卷说明适配2027山东专升本高数二（经管类）官方考纲，全覆盖二重积分核心考点：概念与性质、直角坐标累次积分、交换积分次序、极坐标二重积分、简单区域面积计算。题型、难度、分值完全对标专升本真题，无超纲内容，基础题占70%、中档题20%、拔高题10%，适合章节自测、查漏补缺、考前巩固。所有题目一题一解析、零跳步、公式规范，严格匹配阅卷得分步骤。试卷满分100分，建议用时90分钟。核心考点速记（专升本必背）二重积分几何意义：Df(x,y)dxdy表示曲顶柱体体积（f≥0直角坐标计算核心：化为累次积分，X型区域先y后x，Y型区域先x后y。极坐标转换公式（必考）：x奇偶对称性：区域D关于y轴对称，f为x奇函数则积分为0；区域D关于x轴对称，f为y奇函数则积分为0。一、判断题（每题3分，共18分）第1题二重积分D1dxdy的值等于积分区域D的面积。（答案：√

解析：由二重积分几何意义，被积函数为1时，二重积分数值等于平面区域D的面积，为专升本基础结论。第2题二重积分可以随意交换积分次序，结果一定不变。（  ）答案：×

解析：交换积分次序必须匹配积分区域范围，直接调换上下限会出错，需重新画图定限，命题错误。第3题若积分区域D关于x轴对称，f(x,y)是关于y的奇函数，则答案：√

解析：对称区域+奇偶函数消去性质，正负面积抵消，积分值为0，是专升本快速解题核心技巧。第4题极坐标下面积元素为dxdy=rdrdθ。（答案：√

解析：极坐标二重积分必考转换公式，必须多乘因子r，不可遗漏，命题正确。第5题二重积分的结果是一个函数，不是常数。（  ）答案：×

解析：二重积分是定积分，积分区域为固定平面区域，计算结果一定是常数，命题错误。第6题圆域积分优先使用极坐标计算，可极大简化运算。（  ）答案：√

解析：含x2二、单项选择题（每题4分，共24分）第7题设区域D:0≤x≤1,0≤y≤1，则D答案：B

解析：积分表示单位正方形面积，边长为1，面积S=1×1=1，故选B第8题交换积分次序01dx0xf(x,y)dy=答案：B

解析：原区域：0≤y≤x,0≤x≤1，为下三角区域。

换序后：y第9题计算圆域D:x2+y2≤1上Dx2+y2dxdy，最优方法为（  ）答案：C

解析：被积函数含x2+y第10题区域D:-1≤x≤1,-1≤y≤1，则D答案：A

解析：区域D关于y轴对称，被积函数xy2是关于x的奇函数，对称区域奇函数积分值为0，选第11题极坐标下x2+y2≤4的积分范围为（  ）

A.0≤r答案：B

解析：半径2的整圆，极角一周0→2π，极径0→2，选B第12题累次积分02dx0xdy答案：B

解析：区域为直角三角形，直角边长均为2，面积S=12三、填空题（每题4分，共16分）第13题区域D:0≤x≤2,0≤解析：原式=2⋅SD=2×(2×3)=12第14题极坐标转换：Df(x,y)dxdy=解析：代入极坐标万能公式：

dxdy=rdrdθ第15题交换积分次序：02解析：原区域x≤y≤2,0≤x≤2，换序得第16题圆x2+y2≤9解析：圆面积S=πr2=9π，即四、计算题（每题8分，共32分，满分标准步骤）第17题直角坐标基础计算计算D(x+y详细解析：

将二重积分化为累次积分：

D(x+y)dxdy=01dx01答案：1第18题交换积分次序计算交换积分次序并计算：01详细解析：

分析：ey2无法先对y积分，必须交换次序。

原区域：x≤原式=01dy0yey2dx

对x答案：1第19题极坐标必考计算计算Dx2+详细解析：

转换极坐标：0≤r≤2,0≤θ≤2π，分步计算：

0答案：16第20题直角坐标区域拔高计算计算D2xydxdy，区域D：由y详细解析：

确定积分范围：0≤y≤对y积分：

0x2xydy=x答案：1五、综合应用题（10分）第21题平面区域面积求解（真题压轴）利用二重积分求由曲线y=x2与直线详细解析：

第一步：求交点，联立y=x2y=x，解得(0,0),(1,1)。

第二步：确定积分区域：x第四步：计算定积分

0答案：区域面积为1A卷高频易错总结（专升本必看）极坐标必错点：转换时绝对不能遗漏面积因子r，漏乘直接整题零分；换序必错点：遇ey2对称秒杀技巧：对称区域+奇偶函数可直