初中九年级数学二次函数表达式求解知识清单

初中九年级数学二次函数表达式求解知识清单【基础】【核心概念】二次函数的定义是理解和求解其表达式的基石。形如y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c（其中a,b,ca,b,ca,b,c是常数，且a≠0a\neq0a=0）的函数，叫做二次函数。这里，aaa决定了抛物线的开口方向与形状大小，bbb与aaa共同决定了对称轴的位置，ccc则是抛物线与yyy轴交点的纵坐标。理解这三个系数的几何意义，是灵活选择并求解表达式的前提。【重要】【知识结构】二次函数的表达式有三种基本形式，它们之间可以相互转化，分别适用于不同的已知条件。第一种是一般式：y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c（a≠0a\neq0a=0）。它是最基础的表达式形式，直接反映了二次项、一次项和常数项。第二种是顶点式：y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k（a≠0a\neq0a=0），其中(h,k)(h,k)(h,k)就是抛物线的顶点坐标。这种形式的优势在于能直接读出顶点，便于研究最值和对称性。第三种是交点式（或称两根式）：y=a(x−x1)(x−x2)y=a(xx_1)(xx_2)y=a(x−x1​)(x−x2​)（a≠0a\neq0a=0），其中x1,x2x_1,x_2x1​,x2​是抛物线与xxx轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0的两个根。这种形式直接揭示了函数图像与xxx轴的交点情况。【基本原理】求解二次函数表达式的本质，就是确定表达式中的待定系数a,b,ca,b,ca,b,c（或a,h,ka,h,ka,h,k等）。其核心数学思想是“待定系数法”。基本步骤是：首先，根据题目给出的已知条件（如函数图像上点的坐标、顶点位置、与坐标轴的交点等），合理选择二次函数的一种表达式形式作为模板。然后，将已知条件代入所设的表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组。最后，解这个方程或方程组，求出各个待定系数的值，并将其代回原设表达式，即得所求。【★★★高频考点】【方法分类】求解二次函数表达式的策略选择至关重要。根据不同的已知条件，应选择最简捷的设式方法。若已知图像上任意三个点的坐标（这三个点不在同一条直线上），通常设一般式y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c，代入三点坐标得到一个三元一次方程组求解。若已知抛物线的顶点坐标(h,k)(h,k)(h,k)或对称轴x=hx=hx=h与最值kkk，优先设顶点式y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k，再代入另一个非顶点的点坐标求出aaa。若已知抛物线与xxx轴的两个交点坐标(x1,0)(x_1,0)(x1​,0)和(x2,0)(x_2,0)(x2​,0)，优先设交点式y=a(x−x1)(x−x2)y=a(xx_1)(xx_2)y=a(x−x1​)(x−x2​)，再代入另一个非交点的点坐标求出aaa。有时也会遇到综合条件，例如已知顶点和与xxx轴的一个交点，或者已知与yyy轴的交点和最值等，此时需要灵活选用合适的形式或转化为这些基本情形。【典型考向一】已知三点求表达式，这是最基础的题型。例如，已知一个二次函数的图像经过A(1,−4)A(1,4)A(1,−4)，B(0,−3)B(0,3)B(0,−3)，C(−1,0)C(1,0)C(−1,0)三点，求这个二次函数的表达式。解题时，首先设其一般式为y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c。然后将三点坐标分别代入，得到方程组：{a(1)2+b(1)+c=−4a(0)2+b(0)+c=−3a(−1)2+b(−1)+c=0\begin{cases}a(1)^2+b(1)+c=4\\a(0)^2+b(0)+c=3\\a(1)^2+b(1)+c=0\end{cases}⎩⎨⎧​a(1)2+b(1)+c=−4a(0)2+b(0)+c=−3a(−1)2+b(−1)+c=0​即{a+b+c=−4c=−3a−b+c=0\begin{cases}a+b+c=4\\c=3\\ab+c=0\end{cases}⎩⎨⎧​a+b+c=−4c=−3a−b+c=0​将c=−3c=3c=−3代入第一和第三个方程，得a+b=−1a+b=1a+b=−1和a−b=3ab=3a−b=3。解这个二元一次方程组，得a=1,b=−2a=1,b=2a=1,b=−2。因此，所求二次函数的表达式为y=x2−2x−3y=x^22x3y=x2−2x−3。【★基础】【解题要点】在解三元一次方程组时，若已知点中有与yyy轴的交点(0,c)(0,c)(0,c)，则常数项ccc可直接确定，从而简化计算。这是利用一般式求解的一个小技巧。【典型考向二】已知顶点及另一点求表达式。这是顶点式的典型应用。例如，已知抛物线的顶点坐标为(2,−1)(2,1)(2,−1)，且抛物线经过点(1,0)(1,0)(1,0)，求抛物线的表达式。解题时，直接设顶点式y=a(x−2)2−1y=a(x2)^21y=a(x−2)2−1。然后将点(1,0)(1,0)(1,0)代入，得0=a(1−2)2−10=a(12)^210=a(1−2)2−1，即0=a(1)−10=a(1)10=a(1)−1，解得a=1a=1a=1。最后代回表达式，得y=(x−2)2−1y=(x2)^21y=(x−2)2−1。根据需要，可以将其展开为一般式y=x2−4x+3y=x^24x+3y=x2−4x+3。【重要】【思维拓展】顶点式不仅用于直接求表达式，还能用于解决最值问题。例如，已知二次函数在x=3x=3x=3时取最大值444，且图像经过点(1,2)(1,2)(1,2)，求其表达式。此时，“在x=3x=3x=3时取最大值444”即等价于顶点坐标为(3,4)(3,4)(3,4)，且a<0a<0a<0。设顶点式y=a(x−3)2+4y=a(x3)^2+4y=a(x−3)2+4，代入(1,2)(1,2)(1,2)得2=a(1−3)2+42=a(13)^2+42=a(1−3)2+4，即2=4a+42=4a+42=4a+4，解得a=−12a=\frac{1}{2}a=−21​。所以表达式为y=−12(x−3)2+4y=\frac{1}{2}(x3)^2+4y=−21​(x−3)2+4。【典型考向三】已知与xxx轴的交点及另一点求表达式。这是交点式的主要应用场景。例如，已知抛物线与xxx轴交于点(−1,0)(1,0)(−1,0)和(3,0)(3,0)(3,0)，且经过点(2,−3)(2,3)(2,−3)，求抛物线的表达式。解题时，直接设交点式y=a(x+1)(x−3)y=a(x+1)(x3)y=a(x+1)(x−3)。然后将点(2,−3)(2,3)(2,−3)代入，得−3=a(2+1)(2−3)3=a(2+1)(23)−3=a(2+1)(2−3)，即−3=a×3×(−1)3=a\times3\times(1)−3=a×3×(−1)，−3=−3a3=3a−3=−3a，解得a=1a=1a=1。代回得y=(x+1)(x−3)y=(x+1)(x3)y=(x+1)(x−3)，展开为一般式y=x2−2x−3y=x^22x3y=x2−2x−3。【易错点警示】在使用交点式时，需要注意两点：一是二次项系数aaa不能为0；二是代入交点坐标时，要正确写出(x−x1)(x−x2)(xx_1)(xx_2)(x−x1​)(x−x2​)的形式，注意符号。例如，交点为(−1,0)(1,0)(−1,0)，对应因式为(x−(−1))=(x+1)(x(1))=(x+1)(x−(−1))=(x+1)；交点为(3,0)(3,0)(3,0)，对应因式为(x−3)(x3)(x−3)。【★★★★难点】【综合考向】当已知条件并非直接给出上述标准情形时，需要灵活转化。例如，已知二次函数图像的对称轴是直线x=1x=1x=1，图像经过点(2,3)(2,3)(2,3)和(−1,6)(1,6)(−1,6)，求其表达式。解法一（利用一般式和对称轴公式）：设一般式y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c。对称轴为x=−b2a=1x=\frac{b}{2a}=1x=−2ab​=1，得b=−2ab=2ab=−2a。再将两点代入，得：{4a+2b+c=3a−b+c=6\begin{cases}4a+2b+c=3\\ab+c=6\end{cases}{4a+2b+c=3a−b+c=6​将b=−2ab=2ab=−2a代入上面两个方程，得：{4a+2(−2a)+c=4a−4a+c=c=3a−(−2a)+c=3a+c=6\begin{cases}4a+2(2a)+c=4a4a+c=c=3\\a(2a)+c=3a+c=6\end{cases}{4a+2(−2a)+c=4a−4a+c=c=3a−(−2a)+c=3a+c=6​由第一个方程得c=3c=3c=3，代入第二个方程得3a+3=63a+3=63a+3=6，解得a=1a=1a=1，则b=−2b=2b=−2。所以表达式为y=x2−2x+3y=x^22x+3y=x2−2x+3。解法二（利用顶点式）：由对称轴x=1x=1x=1，可设顶点式y=a(x−1)2+ky=a(x1)^2+ky=a(x−1)2+k。代入两点(2,3)(2,3)(2,3)和(−1,6)(1,6)(−1,6)，得：{a(2−1)2+k=a+k=3a(−1−1)2+k=4a+k=6\begin{cases}a(21)^2+k=a+k=3\\a(11)^2+k=4a+k=6\end{cases}{a(2−1)2+k=a+k=3a(−1−1)2+k=4a+k=6​两式相减得3a=33a=33a=3，所以a=1a=1a=1，进而k=2k=2k=2。表达式为y=(x−1)2+2=x2−2x+3y=(x1)^2+2=x^22x+3y=(x−1)2+2=x2−2x+3。对比可见，设顶点式在已知对称轴时更为简便。【高频考点】二次函数表达式的求解常常与图像平移、对称、旋转等变换相结合。例如，将抛物线y=2x2−4x+1y=2x^24x+1y=2x2−4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得新抛物线的表达式。解题步骤是：先将原表达式化为顶点式y=2(x−1)2−1y=2(x1)^21y=2(x−1)2−1。抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，但注意此原则是相对于顶点坐标中的hhh和kkk而言的。向左平移2个单位，顶点横坐标由1变为1−2=−112=11−2=−1（注意：向左是减？实际上是x→x+2x\tox+2x→x+2代入。更稳妥的方法是：新抛物线顶点为(1−2,−1+3)=(−1,2)(12,1+3)=(1,2)(1−2,−1+3)=(−1,2)，且aaa不变）。所以新抛物线顶点式为y=2(x+1)2+2y=2(x+1)^2+2y=2(x+1)2+2，展开得y=2x2+4x+4y=2x^2+4x+4y=2x2+4x+4。另一种方法是直接应用平移法则：向左平移2单位，用x+2x+2x+2替代原式中的xxx；向上平移3单位，在表达式末尾加3。即y=2(x+2)2−4(x+2)+1+3y=2(x+2)^24(x+2)+1+3y=2(x+2)2−4(x+2)+1+3，化简亦可得到相同结果。【★基础】平移只改变抛物线的位置，不改变其形状（即aaa不变）。这是处理平移问题的关键。【综合考向】与函数变换结合。例如，已知抛物线关于xxx轴对称的抛物线经过点A(1,2)A(1,2)A(1,2)和B(3,2)B(3,2)B(3,2)，且顶点在直线y=x+1y=x+1y=x+1上，求原抛物线的表达式。这类问题较为复杂。解题思路是，先利用对称性求出目标抛物线（即对称后的抛物线）的表达式，再反推原抛物线。由于关于xxx轴对称，点的坐标变化规律是(x,y)→(x,−y)(x,y)\to(x,y)(x,y)→(x,−y)，函数表达式由y=f(x)y=f(x)y=f(x)变为y=−f(x)y=f(x)y=−f(x)。但此题条件是给出对称后的图像经过的点，且其顶点在某直线上，因此可以设对称后的抛物线表达式，利用条件求出，再求原抛物线。【重要】【解题步骤】求解此类综合问题的步骤通常为：第一步，设出所求抛物线的适当形式（一般式、顶点式或交点式）；第二步，根据几何变换的性质，将变换后的点坐标关系或表达式关系转化为关于待定系数的方程；第三步，解方程组，求出系数；第四步，写出最终表达式。【难点剖析】当已知条件涉及函数的最值、增减性、函数值的取值范围时，求表达式往往需要结合二次函数的性质。例如，已知二次函数y=x2+bx+cy=x^2+bx+cy=x2+bx+c在0≤x≤20\lex\le20≤x≤2上的最小值为1，最大值为3，求b,cb,cb,c的值。这类问题需要分情况讨论对称轴x=−b2x=\frac{b}{2}x=−2b​相对于区间[0,2][0,2][0,2]的位置。因为二次项系数a=1>0a=1>0a=1>0，抛物线开口向上，最小值在离对称轴最近的点取得，最大值在区间端点取得（除非对称轴在区间内且离两端点远）。根据对称轴的不同位置（在区间左侧、内部、右侧），结合最值条件，列出关于b,cb,cb,c的方程或不等式组求解，并检验结果是否与假设的对称轴位置相符。【★★★高频考点】二次函数表达式的确定是解决实际应用问题的基础。例如，在利润问题、拱桥问题、运动轨迹问题中，往往需要先根据题意建立适当的坐标系，然后设出二次函数表达式，再利用已知点的坐标求出表达式，最后利用表达式解决相关问题。【典型例题·利润问题】某商店销售一种进价为20元/件的商品，经市场调查发现，若售价为xxx元/件，则月销售量yyy（件）与xxx满足一次函数关系，且当x=30x=30x=30时，y=400y=400y=400；当x=40x=40x=40时，y=200y=200y=200。求月销售利润PPP（元）关于售价xxx的函数表达式。解题步骤：首先，用待定系数法求出yyy与xxx的一次函数关系式。设y=kx+by=kx+by=kx+b，代入(30,400)(30,400)(30,400)和(40,200)(40,200)(40,200)，得方程组{30k+b=40040k+b=200\begin{cases}30k+b=400\\40k+b=200\end{cases}{30k+b=40040k+b=200​解得k=−20,b=1000k=20,b=1000k=−20,b=1000，所以y=−20x+1000y=20x+1000y=−20x+1000。然后，根据利润=(售价进价)×销售量，得P=(x−20)⋅y=(x−20)(−20x+1000)P=(x20)\cdoty=(x20)(20x+1000)P=(x−20)⋅y=(x−20)(−20x+1000)。展开化简得P=−20x2+1400x−20000P=20x^2+1400x20000P=−20x2+1400x−20000。这就是关于售价xxx的二次函数表达式，有了这个表达式，就可以进一步研究最大利润问题了。【典型例题·拱桥问题】如图是一座抛物线形拱桥，当水面在lll时，拱顶离水面2m，水面宽4m。水位下降1m后，水面宽多少？解题步骤：建立平面直角坐标系。通常以拱顶为原点，平行于水面的直线为xxx轴建立坐标系。则抛物线顶点在(0,0)(0,0)(0,0)，开口向下，可设其表达式为y=ax2y=ax^2y=ax2（a<0a<0a<0）。根据已知，水面在lll时，拱顶离水面2m，即此时水面纵坐标为y=−2y=2y=−2，水面宽4m，说明水面与抛物线两交点的横坐标分别为−22−2和222。将点(2,−2)(2,2)(2,−2)代入y=ax2y=ax^2y=ax2，得−2=a×222=a\times2^2−2=a×22，解得a=−12a=\frac{1}{2}a=−21​。所以抛物线表达式为y=−12x2y=\frac{1}{2}x^2y=−21​x2。水位下降1m后，新的水面纵坐标为y=−3y=3y=−3。代入表达式得−3=−12x23=\frac{1}{2}x^2−3=−21​x2，解得x=±6x=\pm\sqrt{6}x=±6<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​。所以此时水面宽为262\sqrt{6}26<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​m。【重要】【建模思想】在实际问题中建立二次函数模型，关键是合理选择坐标系的位置，以简化表达式。通常将顶点放在原点，或让对称轴为yyy轴，或让抛物线经过原点，这样设出的表达式形式最简单，待定系数个数最少。【易错点辨析】在利用待定系数法求解表达式时，有几个常见的易错点需要特别留意。一是忽视a≠0a\neq0a=0的前提条件，尤其是在设一般式时，解出的aaa若为0则需舍去。二是代入点的坐标时，计算错误，特别是符号错误，如将(x1,0)(x_1,0)(x1​,0)代入交点式时，因式写错。三是解方程组时，未能灵活运用代入消元或加减消元，导致计算繁琐或出错。四是在实际问题中，没有考虑自变量的取值范围，求出的表达式虽然是正确的，但实际意义下的取值范围可能受限。【解题策略】对于较复杂的条件，有时需要引入中间变量或利用参数思想。例如，已知二次函数图像经过点(1,2)(1,2)(1,2)，且其顶点在直线y=xy=xy=x上，求其表达式。由于顶点不确定，可设顶点坐标为(t,t)(t,t)(t,t)，则顶点式为y=a(x−t)2+ty=a(xt)^2+ty=a(x−t)2+t。代入点(1,2)(1,2)(1,2)得2=a(1−t)2+t2=a(1t)^2+t2=a(1−t)2+t。这里有两个参数aaa和ttt，但只有一个方程，解不唯一，说明满足条件的二次函数有无穷多个。题目若要求唯一确定，通常会再附加一个条件，如与xxx轴交点等。这种设参数的方法体现了“动点”思想，是解决一类开放性问题的有效途径。【★★★高频考点】与几何图形结合求表达式。例如，已知一个二次函数的图像经过点A(0,0)A(0,0)A(0,0)，B(2,0)B(2,0)B(2,0)，且其顶点CCC在反比例函数y=2xy=\frac{2}{x}y=x2​的图像上，求这个二次函数的表达式。解题分析：由点A(0,0)A(0,0)A(0,0)和B(2,0)B(2,0)B(2,0)在xxx轴上，可设交点式y=a(x−0)(x−2)=ax(x−2)y=a(x0)(x2)=ax(x2)y=a(x−0)(x−2)=ax(x−2)。其对称轴为直线x=1x=1x=1，代入表达式得顶点纵坐标yC=a×1×(1−2)=−ay_C=a\times1\times(12)=ayC​=a×1×(1−2)=−a。所以顶点CCC坐标为(1,−a)(1,a)(1,−a)。因为顶点在y=2xy=\frac{2}{x}y=x2​上，所以有−a=21=2a=\frac{2}{1}=2−a=12​=2，解得a=−2a=2a=−2。因此，所求二次函数表达式为y=−2x(x−2)=−2x2+4xy=2x(x2)=2x^2+4xy=−2x(x−2)=−2x2+4x。【难点】当二次函数表达式中含有参数，且参数需要根据函数性质（如增减性、值域）确定时，往往需要逆向思维。例如，已知二次函数y=x2−2mx+m2+3y=x^22mx+m^2+3y=x2−2mx+m2+3，当x≥2x\ge2x≥2时，yyy随xxx的增大而增大，求mmm的取值范围。此题的关键是理解二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定。开口向上，在对称轴右侧yyy随xxx增大而增大。对称轴为直线x=mx=mx=m。条件“当x≥2x\ge2x≥2时，yyy随xxx的增大而增大”意味着区间[2,+∞)[2,+\infty)[2,+∞)位于对称轴的右侧，即m≤2m\le2m≤2。若将此条件改为“当x≥2x\ge2x≥2时，yyy随xxx的增大而减小”，则意味着开口向下（但此题a=1>0a=1>0a=1>0，不可能），或者条件变为在某个区间内。理解函数的图像特征是解题关键。【拓展提升】利用根与系数的关系求表达式。若已知抛物线与xxx轴两交点的距离，以及与yyy轴的交点等信息，可以巧妙利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。例如，已知抛物线y=x2+bx+cy=x^2+bx+cy=x2+bx+c与xxx轴的两个交点间的距离为2，且与yyy轴的交点坐标为(0,−3)(0,3)(0,−3)，求其表达式。由与yyy轴交点得c=−3c=3c=−3。设抛物线与xxx轴交点为(x1,0)(x_1,0)(x1​,0)和(x2,0)(x_2,0)(x2​,0)，则x1,x2x_1,x_2x1​,x2​是方程x2+bx−3=0x^2+bx3=0x2+bx−3=0的两根。有x1+x2=−bx_1+x_2=bx1​+x2​=−b，x1x2=−3x_1x_2=3x1​x2​=−3。两交点距离∣x1−x2∣=2|x_1x_2|=2∣x1​−x2​∣=2。由距离公式∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2=(−b)2−4×(−3)=b2+12=2|x_1x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^24x_1x_2}=\sqrt{(b)^24\times(3)}=\sqrt{b^2+12}=2∣x1​−x2​∣=(x1​+x2​)2−4x1​x2​<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120c340,704.7,510.7,1060.3,512,1067l00c4.7,7.3,11,11,19,11H40000v40H1012.3s271.3,567,271.3,567c38.7,80.7,84,175,136,283c52,108,89.167,185.3,111.5,232c22.3,46.7,33.8,70.3,34.5,71c4.7,4.7,12.3,7,23,7s12,1,12,1s109,253,109,253c72.7,168,109.3,252,110,252c10.7,8,22,16.7,34,26c22,17.3,33.3,26,34,26s26,26,26,26s76,59,76,59s76,60,76,60zMhv40hz">​=(−b)2−4×(−3)<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120c340,704.7,510.7,1060.3,512,1067l00c4.7,7.3,11,11,19,11H40000v40H1012.3s271.3,567,271.3,567c38.7,80.7,84,175,136,283c52,108,89.167,185.3,111.5,232c22.3,46.7,33.8,70.3,34.5,71c4.7,4.7,12.3,7,23,7s12,1,12,1s109,253,109,253c72.7,168,109.3,252,110,252c10.7,8,22,16.7,34,26c22,17.3,33.3,26,34,26s26,26,26,26s76,59,76,59s76,60,76,60zMhv40hz">​=b2+12<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​=2。两边平方得b2+12=4b^2+12=4b2+12=4，即b2=−8b^2=8b2=−8，无实数解。说明这样的抛物线不存在。这体现了韦达定理在判断存在性及求解中的应用。【★★★★难点】二次函数表达式的确定有时会与一元二次方程、一元二次不等式综合考查。例如，已知二次函数y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c的图像与xxx轴交点的横坐标分别为−22−2和1，且过点(2,4)(2,4)(2,4)，解不等式ax2+bx+c>0ax^2+bx+c>0ax2+bx+c>0。第一步，由交点可设y=a(x+2)(x−1)y=a(x+2)(x1)y=a(x+2)(x−1)，代入(2,4)(2,4)(2,4)得4=a×4×14=a\times4\times14=a×4×1，解得a=1a=1a=1。所以二次函数为y=(x+2)(x−1)=x2+x−2y=(x+2)(x1)=x^2+x2y=(x+2)(x−1)=x2+x−2。第二步，解不等式x2+x−2>0x^2+x2>0x2+x−2>0，即(x+2)(x−1)>0(x+2)(x1)>0(x+2)(x−1)>0。结合二次函数图像（开口向上，与xxx轴交于−22−2和1），可知不等式解集为{x∣x<−2

或

x>1}\{x|x<2\{或}x>1\}{x∣x<−2

或

x>1}。【重要】【数形结合思想】在整个求解二次函数表达式的过程中，数形结合思想贯穿始终。每给出一个条件，都应立即在脑海中（或草稿纸上）想象出对应的几何特征。例如，“图像经过点”对应“点在曲线上”；“顶点坐标”对应“最高/最低点的位置”；“与xxx轴交点”对应“方程的根”；“对称轴”对应“图像的一条铅垂分割线”；“增减性”对应“图像的上升或下降趋势”。将文字条件转化为代数方程或不等式，是求解的关键。【基础夯实】