图形的相似专题复习教学设计-九年级数学苏科版

图形的相似专题复习教学设计——九年级数学苏科版  【基础·核心知识梳理】  一、比例线段与比例的性质  1.定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度的比，即a∶b＝c∶d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。  2.比例的基本性质：    （1）如果a/b＝c/d，那么ad＝bc（b、d≠0）。这是比例变形的基石，常用于将比例式转化为等积式。    （2）反之，如果ad＝bc，那么a/b＝c/d（b、d≠0）。    （3）更比性质：如果a/b＝c/d，那么a/c＝b/d。    （4）合比性质：如果a/b＝c/d，那么(a＋b)/b＝(c＋d)/d。    （5）等比性质：如果a/b＝c/d＝…＝m/n（b＋d＋…＋n≠0），那么(a＋c＋…＋m)/(b＋d＋…＋n)＝a/b。  3.分割：【重要】【高频考点】把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，即较长部分与原线段的比例中项。其比值约为0.618。点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果AC/AB＝BC/AC，那么称线段AB被点C分割，点C叫做线段AB的分割点，AC与AB的比叫做比。  二、平行线分线段成比例  1.基本事实：【核心定理】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图，直线l1∥l2∥l3，直线m、n被这三条平行线所截，那么AB/BC＝DE/EF，AB/AC＝DE/DF，BC/AC＝EF/DF。  2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。这是三角形中构造相似模型的重要依据。  3.重要模型：【难点突破】“A”型与“X”型。在三角形中，过一边上一点作另一边的平行线，截得的三角形与原三角形相似，对应线段成比例。  三、相似三角形的判定  1.预备定理：【基础】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。  2.判定定理1：【核心判定方法】两角分别相等的两个三角形相似。即如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们相似。这是最常用、最关键的判定方法。  3.判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。使用此法时需注意角必须是两对应成比例边的夹角。  4.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。  5.直角三角形相似的判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。  四、相似三角形的性质  1.对应角相等，对应边成比例。【核心性质】  2.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。【重要】  3.相似三角形周长的比等于相似比。  4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。【高频考点】【难点】常与线段、面积计算综合考查。  五、相似多边形的性质  1.定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。  2.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。  六、图形的位似  1.定义：【概念理解】如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点（位似中心），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。此时的相似比又称为位似比。  2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。  3.位似变换与坐标：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）。【重要】【应用广泛】  【高频考点·九大题型深度剖析】  题型一：比例线段与分割的应用  1.例题：已知线段AB＝10cm，点C是AB的分割点，且AC＞BC，求AC和BC的长。    【解析】根据分割的定义，AC/AB＝(√5－1)/2≈0.618，故AC＝10×(√5－1)/2＝5(√5－1)cm，BC＝AB－AC＝10－5(√5－1)＝15－5√5cm。  2.变式训练：若一个矩形的宽与长的比等于比，则称此矩形为矩形。若一矩形的长为2，求其宽。  题型二：平行线分线段成比例的简单计算  1.例题：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝2，AE＝4.5，求EC的长。    【解析】由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理的推论，可得AD/DB＝AE/EC，代入数据得3/2＝4.5/EC，解得EC＝3。  2.变式训练：若直线l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、B、C，且AB＝2，BC＝3，直线DE分别交l1、l2、l3于D、E、F，且DF＝10，求DE、EF的长。  题型三：添加条件判定三角形相似  1.例题：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，请添加一个条件，使得△ABC∽△ADE。    【解析】由∠BAD＝∠CAE，两边同时加上∠DAC，可得∠BAC＝∠DAE。若要使△ABC∽△ADE，已经有一对角相等，可以再找一对角相等，如∠B＝∠D或∠C＝∠E；也可以找夹这个角的两边对应成比例，即AB/AD＝AC/AE。  2.变式训练：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上一点，过D作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线最多有几条？  题型四：利用相似三角形求线段长度  1.例题：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，求AE的长。    【解析】本题为“动点型”相似问题，需分类讨论。①当△ADE∽△ABC时，AD/AB＝AE/AC，即2/8＝AE/6，解得AE＝1.5。②当△AED∽△ABC时，AE/AB＝AD/AC，即AE/8＝2/6，解得AE＝8/3。故AE的长为1.5或8/3。  2.【难点剖析】此类问题往往因对应顶点的不确定性而产生多解，解题的关键是抓住“对应”关系，用分类讨论的思想逐一求解。  题型五：相似三角形性质的综合应用  1.例题：已知△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，且△ABC的周长为18，面积为12，求△DEF的周长和面积。    【解析】相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。设△DEF的周长为C，面积为S，则18/C＝2/3，解得C＝27；12/S＝(2/3)²＝4/9，解得S＝27。  2.变式训练：两个相似多边形的最长边分别为10cm和25cm，它们的周长差为60cm，面积之和为290cm²，求这两个多边形的周长与面积。  题型六：相似三角形与四边形综合  1.例题：如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，交AC于点F。求证：△AEF∽△CBF，并求AF/FC的值。    【解析】在矩形ABCD中，AD∥BC，故∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，因此△AEF∽△CBF。由相似，AF/FC＝AE/BC。又因为E是AD中点，AD＝BC，所以AE/BC＝1/2，故AF/FC＝1/2。  2.【综合提升】此类问题常将相似三角形置于平行四边形、梯形等背景中，需要借助平行四边形的性质（对边平行且相等）来寻找角相等或边比例关系。  题型七：位似图形的识别与作图  1.例题：判断下列说法是否正确，并说明理由。①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③位似图形上任意一对对应点与位似中心在同一直线上。    【解析】①正确，位似是相似的特殊情况；②错误，相似图形不一定位似，只有满足对应点连线交于一点时才构成位似；③正确，这是位似的基本性质。  2.作图题：已知四边形ABCD和点O，以点O为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的一半。    【操作指导】连接OA、OB、OC、OD，分别取它们的中点A'、B'、C'、D'，顺次连接A'B'C'D'，所得四边形即为所求。  题型八：坐标系中的位似与相似  1.例题：在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（4，1），C（1，2），以原点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，求放大后点A的对应点A'的坐标。    【解析】根据位似变换与坐标的关系，若相似比为k，则对应点坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）。当k＝2时，A'的坐标为（4，6）或（－4，－6）。  2.【易错提醒】切记有两种情况，即位似图形可以在位似中心的同侧或异侧，对应点的坐标符号会发生变化。  题型九：相似三角形的实际应用  1.例题：如图，为了测量一棵树CD的高度，小明在距树24米处立了一根高为2米的标杆EF，然后小明前后调整位置，当他站在B处时，他的眼睛A、标杆顶端E、树顶C恰好在一条直线上。已知AB＝1.6米，BF＝3米，求树高CD。    【建模分析】过A作AH⊥CD于点H，交EF于点G。易证△AEG∽△ACH，从而有EG/CH＝AG/AH。其中EG＝EF－AB＝0.4米，AG＝BF＝3米，AH＝BD＝BF＋FD＝3＋24＝27米。代入可求得CH，进而求得CD＝CH＋AB。  2.变式训练：小军想用镜子测量一棵大树的高度，他将镜子放在离大树一定距离的地面上，然后后退直到在镜子中看到大树的顶端，记录相关数据即可求解。请画出草图，并说明其中的相似原理。  【易错辨析·三大易错点预警】  易错点一：比例线段中项的顺序与单位  【典型错误】已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，求d。部分学生直接列出2/4＝6/d，求得d＝12，但忽略了比例线段是有顺序的，即a∶b＝c∶d。如果题目未明确顺序，可能会有多解，如a∶c＝b∶d等。另外，计算时单位需统一，若单位不统一，应先化为同一单位。  【防错策略】解题前务必明确四条线段的排列顺序，若顺序未定，需分类讨论。所有线段长度单位必须一致后再进行计算。  易错点二：相似三角形判定中对应边或对应角的错位  【典型错误】在△ABC和△DEF中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝5，DE＝6，EF＝8，∠B＝∠E＝90°，判定△ABC与△DEF是否相似。部分学生误认为两边成比例且一边对角相等即相似，直接判定AB/DE＝BC/EF＝1/2，∠B＝∠E，从而得出相似结论。但此处∠B和∠E分别是AB与BC、DE与EF的夹角，满足“两边成比例且夹角相等”，因此结论正确，但推理过程中部分学生可能会忽略夹角这一关键条件。更常见的错误是当角不是夹角时，盲目套用判定定理2。  【防错策略】应用判定定理2时，必须确保所给的角是两组对应边的夹角。若给出的角是其中一边的对角，则不能直接判定相似，需借助其他方法。  易错点三：相似三角形性质中面积比等于相似比平方的误用  【典型错误】已知两个相似三角形的相似比为2∶3，它们的面积之和为78，求较大的三角形面积。部分学生可能设两三角形面积分别为2x和3x，由2x＋3x＝78得x＝15.6，大三角形面积为3×15.6＝46.8。这混淆了相似比与面积比的关系，实际上面积比应为4∶9。  【防错策略】牢记相似比、周长比、对应线段比三者相等，但面积比等于相似比的平方。设未知数时应以面积比为依据，如设两三角形面积分别为4k和9k。  【解题方法·三种核心思想方法】  方法一：基本图形分析法——“A”型与“X”型  【方法精讲】在相似三角形问题中，“A”型（平行线型）和“X”型（相交线型）是最常见的两种基本图形。  1.“A”型：如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC。由此可得AD/AB＝AE/AC＝DE/BC。  2.“X”型：如图，若AB∥CD，AD与BC交于点O，则△AOB∽△DOC。由此可得OA/OD＝OB/OC＝AB/CD。  【应用策略】在复杂图形中，通过识别或构造出这些基本图形，可以快速找到相似三角形，建立比例关系。例如，在梯形中作腰的平行线，可将梯形问题转化为平行四边形和“A”型相似问题。  方法二：分类讨论思想  【方法精讲】在涉及对应顶点不确定的相似问题中，常常需要运用分类讨论思想。例如，已知一个三角形的两边和一个角与另一个三角形的对应部分成比例，但未明确对应顶点时，需根据不同的对应方式分类求解。  【应用策略】一般步骤为：①分析问题中哪些元素不确定；②根据可能出现的对应关系进行分类；③在每一类中运用相似的性质和判定方法求解；④检验解的合理性，确保不重不漏。如前文题型四中的例题，正是分类讨论思想的典型应用。  方法三：方程思想与建模思想  【方法精讲】相似三角形中往往隐含着比例式，而比例式可以转化为方程（或方程组），从而通过解方程求得未知量。此外，实际问题中的相似问题，关键是将实际问题抽象为数学问题，构建相似三角形模型。  【应用策略】当题目中已知条件较多，但所求量无法直接得出时，可考虑设未知数，利用相似三角形的性质列出比例式，再转化为方程求解。在实际应用中，要善于抓住“光线是直线传播的”、“视线在同一直线上”等关键条件，抽象出相似三角形模型，再根据比例关系列出方程。  【教学实施过程设计】  第一环节：知识网络建构与核心回顾（约10分钟）  【教师活动】引导学生以小组为单位，快速翻阅教材和笔记，共同回顾“图形的相似”这一专题的知识框架。教师在黑板上以思维导图的形式逐步呈现核心知识，包括比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、相似多边形、位似图形等板块。在每个板块下，提问关键概念与定理，并随机点名让学生用自己的语言复述，如“请说说什么是分割？”“相似三角形的判定定理有几个？分别是什么？”“相似三角形的面积比与相似比有什么关系？”  【学生活动】积极参与讨论，主动回忆知识，回答教师提问，构建起清晰的知识体系。  【设计意图】通过快速回顾和知识网络构建，唤醒学生的已有认知，为后续的题型训练和深度探究奠定基础。同时，让学生成为课堂的主体，主动输出知识。  第二环节：高频题型深度剖析与变式训练（约25分钟）  【教师活动】选取上述九大题型中的典型代表，特别是【高频考点】和【难点】部分，进行重点讲解。例如，针对题型四（利用相似三角形求线段长度），教师先展示例题，引导学生分析图形特点，找出相似三角形的基本模型（“A”型或“X”型），并鼓励学生思考“是否存在多种可能？”从而引出分类讨论思想。教师规范板书解题过程，强调对应边的找法和比例式的正确列法。    紧接着，呈现变式训练，让学生独立尝试解答，然后小组内交流讨论，最后请一位学生上台板演，全班共同点评，纠正可能出现的【易错点】。    对于题型六（相似三角形与四边形综合），教师引导学生从复杂的四边形中剥离出相似三角形的基本图形，渗透“转化”的数学思想。  【学生活动】紧跟教师思路，积极思考例题，主动参与变式训练，在小组内交流解题心得，勇于展示自己的解题过程，认真聆听他人的点评。  【设计意图】通过“例题引领+变式跟进”的方式，让学生在不同情境下运用相似知识解决问题，实现知识向能力的转化。同时，在解题过程中暴露问题，通过生生、师生互动，及时纠正错误，深化对核心知识的理解。  第三环节：易错点集中辨析与警示（约10分钟）  【教师活动】将上述三大易错点以判断题或纠错题的形式呈现给学生。例如，展示一个错误的解题过程：“已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC面积为8，则△DEF面积为4。”让学生找错、析错、改错。引导学生总结易错点的成因，并归纳出防错策略。教师强调：“相似比、周长比、对应线段比三者是‘铁三角’，面积比是它们的‘平方兄弟’，千万不能混淆。”  【学生活动】积极参与纠错活动，深入剖析错误根源，总结防错要诀，并将易错点记录在笔记本的醒目位置。  【设计意图】“吃一堑，长一智”。通过对典型错误的集中辨析，让学生在“试错”与“纠错”中加深对知识细节和适用条件的理解，有效规避考试中的失分陷阱。  第四环节：思想方法提炼与升华（约8分钟）  【教师活动】结合前面所讲的例题和变式，引导学生从更高的视角审视解题过程，提炼出蕴含其中的数学思想方法，即基本图形分析法、分类讨论思想、方程思想与建模思想。教师通过追问引导学生反思：“刚才那道题，我们是如何找到相似三角形的？”“当出现多种可能时，我们用了什么方法？”“实际应用问题中，最关键的一步是什么？”  【学生活动】在教师引导下，回顾反思，感悟数学思想方法的力量，尝试用自己的话概括这些方法。  【设计意图】数学思想方法是数学的灵魂。通过提炼与升华，让学生不仅“知其然”，更“知其所以然”