河北省唐山市玉田县2025-2026学年高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省唐山市玉田县高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,2)，b=(x,3)，若a//b，则A.−32 B.32 C.62.复数z=i(1+i)在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某公司生产的一批零件有A、B、C三种不同型号，产量分别为a，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若A种零件被抽取20件，则a=(

)A.400 B.300 C.250 D.2004.某校春季运动会男子100米项目有8名同学进入决赛，其成绩(单位：秒)分别为：12.1，12.3，12.7，12.7，12.9，13.1，13.5，14.4.则这8名同学百米成绩的第60百分位数是(

)A.12.7 B.12.9 C.12.8 D.13.15.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1A.726 B.76 C.6.将一枚质地均匀的硬币在光滑平面上连续抛掷3次，设事件A=“至少出现一次正面A向上”，则P(A)=(

)A.18 B.13 C.787.已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若a∩β=m，l⊄α，l//m，则l//β

B.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

C.若m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，n⊥l，则α⊥β

D.若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α//β8.如图，水平放置的圆台O1O2上底半径为1，下底半径为2，高为3，一只蚂蚁从底部C点沿侧面爬到AD中点E，则它爬行路线的最短长度为A.5

B.25

C.165二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1=−3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，另一个根记作A.p=12，q=26 B.|z2|=13 10.设A，B为两个互斥事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定正确的有(

)A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(AB)=0

C.P(A∪B)=P(A)+P(B) D.P(A)=1−P(B)11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2A.若点P在线段C1D1上，则AP⊥A1D

B.若点P在线段CD1上，则AP+PC1的最小值为23

C.若AP与B1C1所成角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知5个数为：1，2，3，4，5，则这5个数的方差为

．13.已知向量a=(3,1)，b=(0,2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为14.在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，若AD=BD=4，CD=3，则sinC=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a与b的夹角为150°，且|a|=1，|b|=3．

(1)求a⋅b；

(2)求|a−4b16.(本小题15分)

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在该市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(单位：t)，月用水量不超过x的部分按平价收费，每吨收费5元；超出x的部分按议价收费，每吨6.75元.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0,2)，[2,4)，…，[16,18]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图估计这组数据的众数(最高矩形底边中点的横坐标)并求a的值；

(2)已知该市有80万户居民，估计全市居民中月均用水量不低于14t的户数；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值；若该市某户居民某月用水量为14t，求该户居民本月应缴水费多少元？17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A=π6，a=2．

(1)若b=4，求C；

(2)当b为何值时，△ABC的面积S最大？并求出S18.(本小题17分)

如图，平行四边形ABCD中，AB=AC且AB⊥AC，将△ABC沿AC翻折至ΔAB1C，使得B1D=3AB1，E是AB1的中点，P是DE的中点．

(1)求证：CD⊥平面AB1C；

(2)求直线AC与平面ECD19.(本小题17分)

三角形各边中线交点为重心，各边高线交点为垂心，各边垂直平分线交点为外心．

(1)在△ABC中，若G满足GA+GB+GC=0，证明：点G为△ABC的重心；

(2)在△ABC中，若H满足：HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA，证明：点H为△ABC的垂心；

(3)在△ABC中，1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】BC

11.【答案】ACD

12.【答案】2

13.【答案】(0,1)

14.【答案】215.【答案】解：(1)已知平面向量a与b的夹角为150°，且|a|=1，|b|=3，

则根据平面向量数量积公式可得：

a⋅b=|a|×|b|cos150°=1×3×(−32)=−32；

(2)因为|a−4b16.【答案】解：(1)根据频率分布直方图可知众数为8+102=9，

根据频率分布直方图可得(0.02+0.04+a+0.10+0.13+a+0.03+0.02+0.01)×2=1，

解得a=0.075．

(2)由频率分布直方图可知，每户居民月用水量不低于14t的频率为(0.02+0.01)×2=0.06．

由此可估计全市80万户居民中月用水量不低于14t的户数约为800000×0.06=48000(户)．

(3)因为前6组的频率之和为(0.02+0.04+0.075+0.10+0.13+0.075)×2=0.88>0.85，

前5组的频率之和为(0.02+0.04+0.075+0.10+0.13)×2=0.73<0.85，所以x∈[10,12)．

则0.73+0.075×(x−10)=0.85，解得x=11.6．

因此，估计月用水量标准为11.6t时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

该户居民某月用水量为14t时，应缴水费为5×11.6+(14−11.6)×6.75=74.2(元)17.【答案】解：(1)由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=bsinAa=4×122=1，

因为0<B<π，所以B=π2，

故C=π−A−B=π3；

(2)由(1)可得A=π6，

由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，即4+318.【答案】解：(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，

∴AB1⊥ACCD⊥AC．

设AB=AC=1，则AB1=1，AD=2，B1D=3，

∴AB12+AD2=B1D2，即AB1⊥AD．

∵AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AC∩AD=A，

∴AB1⊥平面ACD，

∵CD⊂平面ACD，

∴AB1⊥CD．

又∵AB1⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，AB1∩AC=A，

∴CD⊥平面AB1C；

(2)过A作AH⊥EC，垂足为H，

由(1)知CD⊥平面AB1C，且CD⊂平面ECD，

∴平面ECD⊥平面AB1C.

∵平面ECD∩平面AB1C=EC，AH⊂平面AB1C，AH⊥EC，

∴AH⊥平面ECD，

∴∠ACH即为直线AC与平面ECD所成角．

设AB=AC=2，则AE=1，EC=5，

△ACE中，S△ACE=12AC⋅AE=12CE⋅AH，

解得AH=255．

∴sin∠ACH=AHAC=55．

(3)存在，当B19.【答案】证明：(1)设△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别为D，E，F，

由BD=DC得GD−GB=GC−GD，则GB+GC=2GD，

由GA+GB+GC=0得GB+GC=−GA=AG，则AG=2GD，

因此，点G在边BC的中线AD上，同理可得BG=2GE,CG=2GF，

即点G在边CA的中线BE上，还在边AB