江苏省淮安市淮安区2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.直线x-y+1=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.圆的圆心坐标是（

）A.（1，2） B.（－1，2） C.（1，－2） D.（－1，－2）3.等比数列{an}前n项和为Sn，若a3=4，a7=8a4，则S6=（）A.127 B.64 C.63 D.314.已知双曲线，下列说法正确的是（）A.m的取值范围为（-2，4）∪（4，10） B.双曲线C的焦点可能在y轴上

C.双曲线C的焦距为 D.双曲线C的两条渐近线可能垂直5.已知函数f（x）=lnx+2xf′（1），则f（1）=（）A.-6 B.-2 C.-1 D.26.若直线y=kx+1是曲线y=lnx的一条切线，则直线y=kx+1与坐标轴围成的三角形面积为（）A. B.e2 C.2 D.7.已知数列{an}满足，若a2026=2，则数列{an}的前10项和S10=（）A. B.6 C. D.88.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，记线段HF2与双曲线的交点为T，若点T恰好为线段HF2的中点，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列有关数列的说法正确的有（）A.数列1，2，3和数列3，2，1是同一个数列

B.数列1，-1，1，-1…的通项公式可以是

C.数列{an}的通项公式为an=n（n+3），则数列{an}中只有一项为70

D.数列{an}的通项公式为，则数列{an}的最大项是第6项10.已知函数f（x）=-x3+x-1，则（）A.f（x）有三个零点

B.f（x）有两个极值点

C.f（x）在上单调递减

D.点（0，-1）是曲线y=f（x）的对称中心11.如图，椭圆和椭圆在各象限的交点分别为A，B，C，D，定义四段弧围成的图形为“椭方”，若C1的离心率为，下列说法正确的有（）A.“椭方”的周长

B.“椭方”的面积

C.“椭方”上的点到椭圆C2右顶点E距离最大值为

D.直线y=3x+m截“椭方”所得线段长度最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.圆与圆的公切线条数为

.13.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，若3|PF1|=5|PF2|，则△PF1F2的面积为

.14.已知函数，首项为1的正项数列{an}满足f（2an+1）≥4f（an）+1，记an与an+1的等差中项为bn，数列的前n项和为Sn，若恒成立，则数列{an}的通项公式为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=ax2-bx-3lnx,当x=3时，f（x）有极小值.

（1）若直线y=-4x+m为f（x）的切线，求m的值；

（2）求f（x）的单调区间.16.(本小题15分)

已知圆M过点.

（1）求圆M的方程；

（2）过G（0，3）的直线l与圆M交于，求直线l的方程.17.(本小题15分)

已知等差数列{an}前n项和为Sn，2a1+a2=a4，S5=4a3+3.数列{bn}前n项和为Tn，Tn=2bn-2.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列的前n项和；

（3）若数列的前2n项和为P2n，且P2n＞2026，求n的最小值.18.(本小题17分)

已知抛物线Γ：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A，B，C是抛物线Γ上异于原点O的三个不同的点，点A也在直线y=x上，且|AF|=5.

（1）求抛物线Γ的标准方程；

（2）若点B在x轴下方，且△AOB的面积是△AFB的面积的2倍，求点B的坐标；

（3）若点F是△ABC的垂心，求直线BC的方程.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex-a,g（x）=ln（x+a），a∈R.

（1）若函数y=f（x）-x有零点，求a的取值范围；

（2）当a≥2时，记函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

（i）求证：g（xi）=xi，且|xi|＞1，（i=1，2）；

（ii）求证：.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】1

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）由f（x）=ax2-bx-3lnx,x＞0，

可得，

所以f′（3）=6a-b-1=0①，

又，

所以，即②，

由①②解得，

所以，

设切点为（x0，y0），所以，

即，解得x0=1或-3（舍去），

所以，

所以，解得；

（2）由（1）有，x＞0，

所以，

令f′（x）=0，解得x=3，

当x＞3时，f′（x）＞0，当0＜x＜3时，f′（x）＜0，

所以f（x）在（3，+∞）单调递增，在（0，3）单调递减．

16.【答案】解：（1）设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0），

依题意，可得，解得，

所以圆M的方程为x2+y2-2x-3=0，即（x-1）2+y2=4．

（2）由（1）知圆M的圆心为M（1，0），半径为r=2，

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，

将其代入圆M的方程，可得，

不妨取，

则，|MP|=|MQ|=r=2，

在△PQM中，由余弦定理得，，

因为0＜∠PMQ＜π，所以，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，

在△PQM中，，

由余弦定理得，，即，

所以点M到直线l：kx-y+3=0的距离为，解得，

此时直线l的方程为，即4x+3y-9=0，

综上，直线l的方程为x=0和4x+3y-9=0．

17.【答案】an=n；

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18.【答案】解：（1）设点A（m,m），又|AF|=5，∴．

又点A在抛物线y2=2px上，∴m2=2pm,得m=4，p=2．

所以y2=4x；

（2）由（1）可得焦点F（1，0），A（4，4），

设B（x1，y1），因点B在x轴下方，∴y1＜0，连接AB交x轴于M点，设M（a,0）（a＞0），

由△AOB的面积是△AFB的面积的2倍，可得，

即|a|=2|a-1|，解得a=2或．

当a=2时，M（2，0），，直线AM方程为y=2x-4，

将直线AM与抛物线方程y2=4x联立得y2-2y-8=0，解得y=-2或y=4（舍），

y=-2时，此时x=1，即B（1，-2）．

当时，，，直线AM方程为，

将直线AM与抛物线方程y2=4x联立得3y2-10y-8=0，解得或y=4（舍）．

时，此时，即．

综上，B点坐标为（1，-2）或．

（3）因为点F是△ABC的垂心，所以AF⊥BC，BF⊥AC．

已知A（4，4），F（1，0），则，

∴kBC=-，

设直线，联立y2=4x得，，

设，可得：，

∵BF⊥AC，∴，化简得，

齐次化处理：，

化简得，化简得9m2-81m-28=0，

解得或，

当时，直线BC经过A，不合题意，舍去．

∴直线BC的方程为3x+4y+1=0．

19.【答案】解：（1）因为函数y=f（x）-x有零点，

即ex-a-x=0，a=ex-x有解，

令h（x）=ex-x,h′（x）=ex-1．

由h′（x）＞0，解得x＞0，由h′（x）＜0，解得x＜0，

所以h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．

所以a≥h（x）min=h（0）=1，

所以a≥1，

所以实数a的取值范围为[1，+∞）；

（2）（i）证明：设，

则有，

作差移项得，

因为y=ex与y=x在R上单调递增，

所以y=ex+x在R上单调递增，

所以xi=yi，则f（xi）=g（xi）=xi．

令G（x）=f（x）-x,所以G（x）=ex-x-a,

则G′（x）=ex-1，

令G′（x）=ex-1＞0，解得x＞0，G′（x）=ex-1＜0，解得x＜0，

所以函数G（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．

因为，

G（-a）=e-a＞0，G（a）=ea-2a,

令H（a）=G（a）=ea-2a,

则H′（a）=ea-2，

因为a≥2，所以H′（a）＞0，

所以H（a）=G（a）≥G（2）=e2-4＞0，

由G（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

由零点存在定理得G（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）内各有一个零点．

不妨设x1＜x2，则x1＜-1，x2＞1，得证．

（ii）证明：G（x）在x=x0处的切线方程为y=G′（x0）（x-x0）+G（x0）．

令H（x）=G（x）-G′（x0）（x-x0）-G（x0），

所以，

所以当x＞x0时，H′（x）＞0；当x＜x0时，H′（x）＜0，

即H（x）在（-∞，x0）上为单调递减函数，在（x