陕西省西安市某校2025-2026学年高三（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年陕西省西安市某校高三（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={y|y=x2−6x+7}，B={x|(x+4)(x−2)<0}，则(A.(−4,−2] B.(−4,−2) C.[−2,+∞) D.(−∞,2)2.在复平面内，复数z对应的点是(2,−1)，则|1−3iz|=A.5 B.5 C.2 D.3.已知平面内三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，则向量AB在AC上的投影向量为(

)A.(15,35) B.(2,6)4.已知函数y=f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(

)A.f(x)=x2−9x3+2x B.f(x)=5.若需要刻画预报变量w和解释变量x的相关关系，且从已知数据中知道预报变量w随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量x的增大，预报变量w大致趋于一个确定的值，为拟合w和x之间的关系，应使用以下回归方程中的(b>0,e为自然对数的底数)(

)A.w=bx+a B.w=−blnx+a C.w=−bx+a6.已知n∈N∗，设函数f(x)=sin(π2x−A.120 B.210 C.75 D.2407.函数f(x)=ax3−3x+1对于x∈[−1,1]，总有f(x)≥0成立，则a=A.1 B.2 C.3 D.48.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F在底面ABCD内运动，且满足直线A.点F的轨迹是一条线段，且其长度为22

B.过D1，B1，F三点的截面面积为18

C.沿平面D1B1F切割正方体得到较大的多面体体积为1373

D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是(

)A.ab≥2 B.1a+2b≤1 10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，C的准线l与x轴交于点K，过K的一条直线与C交于A，B两点，过A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，则(

)A.准线l的方程为x=−1 B.∠FMK=∠FMA

C.直线FA与FB的斜率之和为0 D.△ABF与△MNF的面积相等11.已知正项数列{an}满足a1A.a2026=14053 B.存在n∈N∗，使得i=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设f(x)=2ex−1,x<2log213.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，O14.现有n(n>3,n∈N∗)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k(k=1,2,3,…,n)个袋中有k个红球，n−k个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球(每个取后不放回)，若第四次取出的球为白球的概率是49，则n=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量m=(cosθ,sinθ)，n=(1,3)，且m⋅n=1，θ∈(0,π)．

(1)求θ的值；

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，16.(本小题15分)

为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间(单位：分钟)的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”．

(1)试求频率分布直方图中的a值；

(2)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率；

(3)从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在100～120分钟之间的学生数，求X的分布列及期望．17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A(0,2)满足直线AF1，AF2的斜率之积为−4，点B是C上任意一点，|BF1|+|BF2|=22．

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx−12x2．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求证：对任意x∈(0,π19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面ABP，∠PAB=60°，AD=1，AP=2，点F在线段PD上(F与P，D不重合)．

(1)若平面AFB∩平面PCD=l，证明：1//平面ABCD；

(2)当△AFB的面积最小时，求二面角P−AF−B的正弦值；

(3)在(2)的条件下，若点F1，F2，…，Fn是线段PF的n+1等分点，分别过点F1，F2，…，Fn在四棱锥上作平行于平面AFB的截面，记相应的截面面积为Si(i=1,2,3,…,n)

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】CD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】2e13.【答案】614.【答案】9

15.【答案】θ=2π3

16.【答案】a=0.0025；

12；

分布列见解析，数学期望为2517.【答案】x22+18.【答案】f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)

证明：令t=tanx，因为x∈(0,π4)，所以tanx∈(0,1)，即t∈(0,1)，

由三角恒等式cos2x=1−tan2x1+tan2x=1−t21+t2，代入lnt