重庆市南川区第一中学2025-2026学年九年级（下）期中数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市南川区第一中学校九年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个数中，最小的数是（）A.-3 B. C.0 D.22.下列图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（）A.调查全国中学生的节水意识 B.调查一批电视机的使用寿命

C.调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D.调查全班同学入学体考成绩4.已知反比例函数，下列结论正确的是（）A.其图象经过点（-1，-3） B.其图象位于第一、第三象限

C.当x＞0时，y随x的增大而减小 D.当x≤-3时，0＜y≤15.如图，AB分别与⊙O交于两点B，C，AD与⊙O交于点D，连接CD，若CA=CD，∠A=20°，则∠BOD的度数是（）A.40° B.50° C.80° D.100°6.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有3个圆点，第②个图形有6个圆点，第③个图形有10个圆点，…，按此规律，第⑨个图形中的圆点数量是（）A.40 B.45 C.50 D.557.小明去年开了一家商店，去年12月份开始盈利，去年12月份盈利4800元，今年2月份的盈利达到6912元，那么每月盈利的月平均增长率为（）A.10% B.20% C.22% D.44%8.关于x的方程x2-x+k2+2=0根的情况为（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.无实数根 D.只有一个实数根9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上的点，且DE=1，连接AE交对角线BD于点G，将△ADE沿直线AE翻折到正方形ABCD所在AD平面内，得△AME，延长EM交BC于点F，延长AM交BC的延长线于点N，连接GN，则△AGN的面积为（）A. B. C. D.10.已知整式M：，其中a0，a1=2，a2，⋯，an-1为自然数，n,an为正整数，且n+an+an-1+⋯+a1+a0=6，a0≤a1≤a2≤⋯≤an.下列说法：

①当n=1，x=2时，M的最小值为6；

②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为6x3+2x2+x；

③满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有2个.

其中正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.不透明的袋子中装了2个红球，3个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出1个球，刚好是红球的概率为

.12.若一个正多边形的内角和等于外角和的3倍，则该正多边形的边数是

.13.若n为正整数，且满足n＜×，则n=

.14.已知实数x,y满足|x-1|=2x-3，x+|y|=2，则xy的值为

.15.如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上的点，连接BC，将BC沿射线BA方向平移至AD，连接BD交⊙O于点E，连接CE并延长交AD于点F，且BC=CE.若CF=24，连接AE，则△AED的周长为

.

16.如果一个四位数M=满足各个数位数字均不为0且互不相等，当m+n=9时，则称M为“启航数”，M的千位数字与百位数字组成的两位数为A，十位数字与个位数字组成的两位数为B，规定：F（M）=，H（M）=m2-n2.若N为最小的“启航数”，则F（N）的值为

；已知两个“启航数”M1=，M2=，其中为整数，且H（M1）+H（M2）+ab-22a+13b=16，则F（M1）+F（M2）的值为

.三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解不等式组：.18.(本小题8分)

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点F为线段BC上一点，连接AF，过点C作CE⊥AF，交AF的延长线于点E，且AE=2CE(1)尺规作图：过点B作AF的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：点D为AE的中点．

证明：∵BD⊥AE，CE⊥AF，

∴∠BDA=∠E=90°．

∵∠BAC=90°，

∴．

在Rt△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°．

∴

．

在△ABD与△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS）．

∴

．

∵AE=2CE，

∴AE=2AD，

即点D为AE的中点19.(本小题10分)为普及网络安全知识，增强青少年网络安全防范意识，某校面向全校学生开展了网络安全知识竞赛活动.在竞赛结束后，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：未达标x＜70，良好70≤x＜80，优秀80≤x＜90，卓越90≤x＜100），下面给出了部分信息：

八年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，86，88，91，91，94，95，96，99；

九年级学生成绩属于优秀的数据为：89，88，87，86，84，83，81.

八、九年级学生成绩统计表年级平均数中位数众数方差八年级85.28660.2九年级85.2a9185.3根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a=______

，b=______

，m=______

；

（2）根据以上数据，你认为哪个年级对网络安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）该校九年级共有学生1050名，随机抽取了九年级80%的学生参加此次网络安全知识竞赛活动，估计九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有多少人？20.(本小题10分)先化简，再求值：，其中.21.(本小题10分)列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品.每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个；2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个.

（1）求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？

（2）为了满足市场需求，工厂进行技术改造.改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个.若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量.22.(本小题10分)

如图，在等腰△ABC中，AB=BC=10，点D为AC边上的中点，BD=8，动点P沿A→B→C以每秒个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动.连接BQ，设点P的运动时间为x秒（0＜x＜8），点P到AC边的距离PH为y1，△ABC与△ABQ的面积之比为y2.

（1）请直接写出y1，y2分别关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；

（3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）.

23.(本小题10分)

重庆市瀛洲溪体育公园三月的油菜花海吸引了许多人前来游览拍照，如图，A、B、C、D是重庆市瀛洲溪体育公园平面上的四个景点，其中B位于A的正南方向400米处，C位于B的北偏东60°方向400米处，D位于A的正东方向，C位于D的东南方向.（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）

（1）求A、D两处景点之间的距离；（结果精确到个位）

（2）现甲从A地出发沿AB前往B地游览，乙从B地出发沿BC前往C地游览，两人同时出发，甲的速度与乙的速度之比为3：2，当两人首次相距200米时乙距离B地多远.（结果保留小数点后一位）24.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接AC、BC，在直线BC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，点M为直线AC上一动点，连接MD、MP，当取得最大值时，求点P的坐标及△PDM的周长的最小值；

（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y′，直线BC上有一动点N，射线PN与抛物线y′交于点Q，若∠PND=∠ACO，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程.

25.(本小题10分)

在△ABC中，CA=CB，∠ACB=2α，D是线段AB上一点，连接CD.延长DB至点E，使得BE=BD.将线段CE绕点C顺时针旋转α得到线段CF，CF交AB于点G，过点E作EH⊥CF于点H，连接EF.

（1）如图1，若BD=AC，求∠ADC的度数（用含α的式子表示）；

（2）如图2，若α=45°，连接BH.用等式表示线段CD和BH之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，若α=45°，，M为AC的中点，将△ADM沿DM所在直线翻折得到△A′DM.Q为A′M的中点，连接CQ，BA′，当BA′+CQ取得最小值时，直接写出△A′BC的面积.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】八

13.【答案】4

14.【答案】1

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】解：解不等式5x-2＞3（x-2）得

x＞-2，

解不等式得

x≥2，

∴不等式组的解集为x≥2．

18.【答案】【小题1】解：作图如下：

【小题2】∠CAD=∠ABDCE=AD

19.【答案】解：（1）87.5；86；40；

（2）九年级成绩较好，理由：因为九年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以九年级成绩较好．

（3）用1050乘上80%可求得抽取的人数，然后再乘以本次调查的（80分及以上）所占的比例可得：

（人）．

答：九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有630人．

20.【答案】；．

21.【答案】该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个

每天生产甲产品增加的数量是300个

22.【答案】（1）；；理由如下：

在等腰△ABC中，AB=BC=10，动点P沿A→B→C以每秒个单位长度的速度运动，

∴点P从点A运动到点B所需时间为：（秒），

当0＜x≤4时，AP=2.5x,

∵点D为AC边上的中点，

∴BD⊥AC，且BD=8，

在Rt△ABD和Rt△APH中，

，即，

∴y1=2x；

当4＜x＜8时，AB+BP=2.5x,则CP=20-2.5x,

在Rt△BCD

中与Rt△CPH

中，

，

∴，

∴y1=16-2x,

综上所述，；

在Rt△ABD中，AB=10，BD=8，

由勾股定理得：，

∴AD=CD=6，即AC=12，

∵动点Q沿A→C以每秒1.5个单位长度的速度运动，

∴点Q所需时间为：（秒），

当0＜x＜8时，AQ=1.5x,

∵，，

∴，

综上所述，；；

（2）函数y1，y2的图象，如图即为所求；

由图象可知，当0＜x≤4时，y1随x的增大而增大，当4＜x＜8时，y1随x的增大而减小；

当0＜x＜8时，y2随x的增大而减小；

（3）x的取值为0＜x＜2或7.5＜x＜8．理由如下：

根据图象可知，当y1＜y2时，即函数y1的图象位于函数y2的图象的下方，

此时x的取值为0＜x＜2或7.5＜x＜8．

23.【答案】146米

112.6米

24.【答案】

点P的坐标为；△PDM的周长的最小值为

点Q的坐标为或．理由如下：

∵抛物线，

∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线y′，

即将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，

∴抛物线，

如图4，过点P作PR⊥BC于点R，

∵OB=OC=4，

∴∠OCB=45°，

∵PD∥y轴，

∴∠PDR=∠OCB=45°，

∵PR⊥BC，

∴，

设N（t，t-4），

∵点P的坐标为，∠PND=∠ACO，

∴，

∴，

∴，

整理得：16t2-8t-35=0，

解得：或，

当时，，

∴可得直线PN的表达式为，

联立抛物线得：，

解得：或（不合题意，舍去），

∴；当时，，

∴可得直线PN的表达式为，

联立抛物线得：，

解得：或（不合题意，舍去），

∴；综上所述，点Q的坐标为或

25.【答案】解：（1）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=2α，∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°，

∴，

∵BD=AC，

∴BD=CB，

∴，

∴；

（2）；

证明：如图2，将HB绕点H逆时针旋转90°得HM，连接BM，CM，

∴HB=HM，

∵∠CHE=90°，∠ECH=α=45°，

∴△CHE是等腰直角三角形，

∴CH=HE，，

∵∠MHC+∠CHB=∠CHB+∠BHE=90°，

∴∠MHC=∠BHE，

在△CMH和△EBH中，

，

∴△CMH≌△EBH（SAS），

∴BE=CM=BD，

设∠BEH=∠MCH=β，

∴∠BEC=∠HEC-∠BEH=45°-β，

∠BCE=∠CBA-∠BEC=45°-（45°-β）=β，

∴∠BCE=∠MCH=β，