2025-2026学年江西景德镇市乐平市第四中学高二下学期期末考试数学试卷-含答案

/乐平四中2025-2026学年度下学期高二数学期末考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列中，，，则等于（）A. B.15 C.25 D.【答案】B【解析】【详解】由题意得：，解得：．2.若，则等于（）A.2 B.0 C.-2 D.-4【答案】D【解析】【分析】先求导，算出，然后即可求出【详解】因为，所以所以，得所以，所以故选：D【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.3.随机变量，且，则（）A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3【答案】D【解析】【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可.【详解】因为随机变量，则，且，则，所以.故选：D.4.已知是等比数列的前n项和，若，则（）A.1022 B.1023 C.1024 D.1025【答案】B【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求；【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得则故选：B.5.设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（）A.30° B.135° C.45° D.120°【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的斜率，再结合斜率的定义即可求解．【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，由，可得，则曲线在处的斜率为，则，，解得，故选：B．6.已知条件概率，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】根据条件概率公式，．7.已知函数，则的极小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】函数，定义域为，，令得，即，解得，当时，，当时，，故是极小值点．极小值为.8.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可设，，结合运算求解即可.【详解】因为，即，又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，，所以.二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，答错不给分）9.已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（）A. B.0 C.2 D.3【答案】AD【解析】【分析】设切点为，求导，由得，再根据,求出即可求解.【详解】设切点为，求导，由得，，所以或．当时，，得；当时，，得，所以或．10.下列关于随机变量的说法正确的是（）A.若服从正态分布，则B.已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则C.若服从超几何分布，则期望D.若服从二项分布，则方差【答案】CD【解析】【分析】利用正态分布的性质、二项分布和超几何分布的性质依次判断选项求解即可.【详解】A错，由于，，根据方差的性质，，故A错误；B错，服从二项分布，，解得，，根据正态分布的对称性可得，，故B错误；C对，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，；D对，服从二项分布，根据二项分布的方差公式得，．11.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（）A.d＜0 B.a16＜0C.Sn≤S15 D.当且仅当Sn＜0时n≥32【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，可得2a1+29d＝0，根据a1＞0，可判断A的正误；根据d＜0，可得a15＞a16，可判断B、C的正误；分别求得，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，∴10a1+45d＝20a1+190d，∴2a1+29d＝0，∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，∵d＜0，∴a15＞a16，∴a15＞0，a16＜0，故B正确；∴Sn≤S15，故C正确；又，，∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.故选：ABC．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（每小题5分，共15分）12.数列7，77，777……前项和________．【答案】【解析】【分析】由数列7，77，777……的通项公式，结合等比数列的前项和公式求解即可.【详解】数列7，77，777……的通项公式，13.过点且与曲线相切的直线方程为______．【答案】或【解析】【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得的值，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，设切点坐标为，则，又由函数，可得，可得，所以，根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，解得或，所以切线的斜率为或，所以切线方程为或，即或.故答案为：或.14.已知函数在处取得极值0，则________．【答案】512【解析】【分析】利用极值与导数关系求出的值即可求解.【详解】在处有极值，且，，即，解得：，或．当时，，函数在R上为增函数，无极值，舍去；当时，，当时，,函数在上单调递减，当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值，所以，，．四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品.（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）甲箱的8件产品，任取2件的取法为，而2个都是次品的取法是为3件次品中取2件，取法数为，再利用古典概型的概率公式求解；（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，所取2件产品对乙箱中的正品次品数有影响，因此需分三类，即2件都是正品，一正品一次品，2件都是次品，然后利用条件概率公式和互斥事件的概率公式求解即可．【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件为，这2个产品都是次品的事件数为.所以这2个产品都是次品的概率为.（2）设事件为“从乙箱中取一个正品”，事件为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥.，，，所以.16.已知等差数列中，，为其前项和，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前2026项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）第一问根据等差数列通项公式和等差数列前项和公式，将和转化为关于​和的方程；联立求解得到和，进而得到的通项公式.（2）将求得的代入的表达式，使用裂项相消法求.【小问1详解】设等差数列公差为，①，②．联立①，②解得，，的通项公式．【小问2详解】，．17.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值．【答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为（2）函数在区间上的最大值为7，最小值为【解析】【分析】（1）求导，根据导数正负即可判断函数单调性；（2）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得.【小问1详解】函数定义域为，求导得．令得或；令得．故函数的单调递增区间为、，单调递减区间为．【小问2详解】由（1）知函数极值点为、，，，，．故函数在上的最大值为7，最小值为．18.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望．课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计附表及公式0.150.050.0250.010.0050.0012.0723.4815.0246.6357.87910.828，其中．【答案】（1）课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200不能（2）123【解析】【分析】（1）由频率分布直方图确定频率，得到频数，即可完善列联表，再计算值，即可判断；（2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解.【小问1详解】根据频率分布直方图计算“课外体育达标”（时间分钟）的频率：频率：，频率：达标总频率：，达标总人数：，不达标总人数：已知女生合计110人，总人数200人，故男生合计：人．男生不达标60人，故男生达标：人．达标总人数50人，故女生达标：人．女生不达标：人．列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200计算卡方统计量：，犯错误概率不超过0.01的临界值为，因为，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关．【小问2详解】不达标与达标人数比为，分层抽样抽取8人：不达标人数：人，达标人数：人表示抽取3人中“不达标”的人数，服从超几何分布，可取1，2，3：；；分布列：123数学期望：19.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范