小学五年级数学除数是小数的除法知识清单（青岛版）

小学五年级数学除数是小数的除法知识清单（青岛版）一、课程标准与核心素养定位（一）内容要求本知识清单对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》第三学段“数与代数”领域。核心要求是：学生能进行简单的小数除法运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。具体到本课时，即理解和掌握除数是小数的除法的计算方法，能正确进行相应计算，并在实际情境中应用。（二）学业要求完成本清单学习后，学生应能在实际情境中运用小数除法解决问题，进一步发展符号意识和数感。能够清晰地说明除数是小数的除法的运算过程（即“转化”的过程），理解其中的数学道理，形成初步的运算能力和推理意识。（三）核心素养关键词数感、量感、运算能力、推理意识、模型意识、应用意识。二、核心概念与基本原理【基础】★（一）除数是小数的除法意义除数是小数的除法与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。例如：38.5÷2.2，表示已知两个因数的积是38.5，其中一个因数是2.2，求另一个因数是多少。同时，它也包含了“求38.5里面有多少个2.2”的包含除含义，以及“已知一个数的2.2倍是38.5，求这个数”的等分除含义。（二）核心指导思想：转化思想【非常重要】▲▲▲这是本课时的灵魂所在。除数是小数的除法，我们无法直接计算，必须将其转化为已经学过的“除数是整数的小数除法”。这种将未知转化为已知的思想是数学学习中最重要的思想方法之一。本课时的转化逻辑链：未知（除数是小数的除法）→转化（利用商不变的性质）→已知（除数是整数的除法）→解决（按旧知计算）→得解（新问题的答案）（三）转化的理论依据：商不变的性质【基础】★这是将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法的“法律依据”。商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。例如：38.5÷2.2=(38.5×10)÷(2.2×10)=385÷22。正是因为这个性质，我们才敢于将除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，因为这样做保证了商是不会改变的。三、计算方法与规范步骤【非常重要】▲▲▲（一）标准化算法——“一看，二移，三算”计算除数是小数的除法，必须严格按照“一看、二移、三算”的流程进行，这是确保计算正确的“三步走”战略。1、一看：看清除数是几位小数。这是移动小数点的依据。例如，除数是2.2（一位小数），除数是0.66（两位小数），除数是0.125（三位小数）。只有看准了，才知道需要把除数扩大到原来的多少倍（即向右移动几位）。2、二移：移动除数与被除数的小数点。【高频考点】▲▲▲这是最关键、最容易出错的一步。（1）移除数：将除数的小数点向右移动，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，它就扩大了相应的倍数。（2）移被除数：被除数的小数点也同时向右移动相同的位数（位数不够时，要在被除数的末尾用“0”补足）。这样做的依据是“商不变的性质”。（3）点新点：在移动后的被除数上点上新的小数点。如果被除数是整数，原本的小数点省略不写，移动时需要先写出小数点再移动。3、三算：按照除数是整数的小数除法进行计算。此时，算式已经转化为我们学过的旧知。按照“除数是整数的小数除法”的法则进行计算：（1）按整数除法的方法去除。（2）商的小数点要与移动后的被除数的小数点对齐。【高频考点】▲▲▲（3）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除（直到除尽或按要求保留小数位数）。（二）两种特殊情况的处理【难点】▲▲1、情况一：被除数位数不够，添“0”补足。例如：计算49.5÷0.66。分析：除数是两位小数，需要向右移动两位变成整数66。被除数49.5是“一位小数”（实质上是49.50），小数点向右移动一位变成495，移动第二位时发现位数不够，此时必须在495的后面添上一个“0”，变成4950，然后再进行计算。即：49.5÷0.66=4950÷66=75。2、情况二：被除数是整数，且位数不够。例如：计算12÷0.24。分析：除数是两位小数，需要向右移动两位变成整数24。被除数12是整数，可以看作是12.00。小数点向右移动一位变成120，移动第二位时发现位数不够，需要在120后再添一个“0”，变成1200。即：12÷0.24=1200÷24=50。（三）验算方法【基础】★小数除法的验算方法与整数除法完全相同，都是用“商×除数=被除数”来进行验算。如果积等于被除数（或近似相等），则计算正确；否则，需要重新检查计算过程。例如，验算38.5÷2.2=17.5，就用17.5×2.2，看结果是否等于38.5。四、算理深度剖析：为什么这么算？【重要】▲（一）从计数单位的角度理解除数是小数的除法，本质上是看被除数中包含多少个由不同计数单位组成的除数。以38.5÷2.2为例：38.5是由3个十、8个一、5个0.1组成。2.2是由2个一、2个0.1组成。直接除以2.2比较困难。当我们利用商不变的性质，将除数和被除数都乘以10后，算式变成了385÷22。385是由3个百、8个十、5个一组成。22是由2个十、2个一组成。这就变成了求385里面有多少个22，是整数除法范畴的问题，计算起来就非常方便。这个过程，其实就是将被除数和除数都转化到更小的计数单位（从十分位细化到个位），从而简化计算。（二）从单位换算的角度理解在解决实际问题时，可以通过单位换算来直观感受转化的过程。例如，青岛版教材情境：闸门高38.5米，家门高2.2米。可以这样想：38.5米=385分米，2.2米=22分米。问题就变成了“385分米是22分米的多少倍？”，即385÷22。这个结果在数值上与38.5÷2.2是完全相等的。单位换算的过程，本质上就是将两个小数同时乘以进率10，转化为整数再计算，这恰恰是商不变性质的现实应用。五、典型例题解析与常见题型【高频考点】▲▲▲（一）基础计算类1、直接给出算式计算。例：列竖式计算7.65÷0.85解析：除数是两位小数，向右移动两位变成85。被除数7.65也是两位小数，小数点向右移动两位变成765。计算765÷85=9。注意：商9要对齐移动后被除数的个位。2、被除数位数不足类。例：列竖式计算2.4÷0.096解析：除数是三位小数，向右移动三位变成96。被除数2.4是一位小数，看作2.400，小数点向右移动三位变成2400。计算2400÷96=25。【易错点】很多同学容易忘记补“0”，导致计算错误。（二）转化填空类【基础】例：根据商不变的性质，在括号里填上合适的数。0.756÷0.18=()÷184.25÷0.125=()÷125()÷0.52=324÷52解析：这类题考查对“二移”过程的理解。关键是看除数变成了整数，小数点向右移动了几位，被除数的小数点也必须向右移动相同的位数。第一题除数0.18变成18，向右移动两位，所以被除数0.756也向右移动两位变成75.6。第二题除数0.125变成125，向右移动三位，被除数4.25向右移动三位变成4250。第三题逆向思维，除数0.52变成52，向右移动两位，所以被除数也应向右移动两位，括号里应填3.24。（三）比较大小类【重要】例：在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。4.8÷0.6○4.83.6÷1.2○3.67.2÷1○7.22.1÷0.3○2.1×0.3规律总结：当除数小于1时，商大于被除数（被除数不为0）；当除数大于1时，商小于被除数（被除数不为0）；当除数等于1时，商等于被除数。这一规律常用来快速检验计算结果的合理性。对于最后一个小题，需要分别计算或估算两边结果，左边商约为7，右边积约为0.63，故填“＞”。（四）实际应用类1、“包含除”模型（求数量）【热点】▲例：一桶橙汁有12.5升，把它分装成每0.5升一杯出售，共可装成多少杯？数量关系：总量÷每份量=份数列式：12.5÷0.5=25（杯）2、“倍数”模型（求倍数）【热点】▲例：（青岛版教材情境）闸门高38.5米，家门高2.2米，闸门的高是我家门高的多少倍？数量关系：比较量÷标准量=倍数列式：38.5÷2.2=17.53、“单价、数量、总价”模型例：妈妈买苹果花了22.8元，每千克苹果3.8元，妈妈买了多少千克苹果？数量关系：总价÷单价=数量列式：22.8÷3.8=6（千克）六、易错点诊断与避坑指南【难点】▲▲▲（一）小数点移动不一致【高频错误】现象：只移动除数的小数点，被除数的小数点不移动；或者除数和被除数移动的位数不同。根源：对商不变的性质理解不透彻，只记住了把除数变整数，忘记了被除数必须同步变化。对策：强化“一对齐”概念，即移动后，除数变成了整数，被除数变成了一个新的数。计算前可以先用箭头标出移动过程。（二）商的小数点位置点错【高频错误】现象：商的小数点与原来被除数的小数点对齐，而不是与移动后的新小数点对齐。根源：竖式计算时，被除数的小数点位置已经变化，但思维还停留在原题上。对策：在移动小数点后，立刻在移动后的被除数上点上新的小数点，并告诉学生：“商的小数点要看着这个新点的位置去对齐！”竖式中，商的小数点必须正对着新小数点。（三）被除数位数不够时，忘记添“0”【高频错误】现象：当被除数小数位数比除数少，移动小数点时，移动到最后没数可移了，就直接用现有的数去除。根源：对数位概念不清，没有意识到数位是可以用“0”来补充的。对策：牢记口诀——“位数不够，0来补”。在移动小数点前，可以先在被除数的末尾根据需要添加相应个数的“0”，然后再统一移动。（四）除到某一位不够除时，忘记商“0”【难点】现象：在按照整数除法计算的过程中，当某一位不够商1时，没有商0占位，导致商少一位。根源：整数除法中商0占位的知识掌握不牢固。对策：复习整数除法法则，强调“哪一位不够除，就在那一位上商0”。这在被除数中间或末尾有0的算式中尤为常见。（五）横式上抄错结果现象：竖式计算正确，但在把答案写在横式上时，抄错数字或漏写小数点。根源：不良的书写习惯和检查习惯。对策：培养良好的检查习惯，要求学生在抄写答案后，必须与原竖式的结果进行快速比对，确保一致。七、高阶思维与知识拓展【拓展】☆（一）与分数的联结除数是小数的除法，可以看作是分数基本性质的雏形。例如，计算2.4÷0.6，可以看作是2.4/0.6。根据分数的基本性质，分子分母同时乘以10，得到24/6=4。这为学生后续学习分数运算埋下了伏笔，体现了数运算的一致性。（二）与比例关系的联结除数、被除数和商之间的关系，是正反比例概念的早期渗透。当除数（标准量）一定时，被除数（总量）越大，商（份数/倍数）越大，这是正比例的萌芽。当被除数（总量）一定时，除数（每份量）越大，商（份数）越小，这是反比例的萌芽。（三）估算意识的培养在精确计算前，先进行估算，可以有效预判结果范围，防止“离谱”的错误。例如，计算7.2÷0.24。估算思路一：0.24≈0.25，7.2÷0.25=28.8，所以结果应该在29左右。估算思路二：0.24×30=7.2，所以商大约是30。通过估算，如果学生算出结果是3或300，就能立刻意识到小数点肯定点错了。（四）非十进制的联想（跨学科视野）我们平时使用的是十进制，所以移动小数点就是乘以或除以10、100……可以引导学生展开想象：如果计算机处理的是二进制，那么它的“小数点”（二进制点）移动一位，就代表乘以或除以2。这种联想有助于打破思维定势，拓宽数学视野。八、考点预测与复习策略（一）主要考查形式1、计算题：直接列竖式计算，是每考必有的题型。2、填空题：考查“二移”的过程、商不变性质的运用、比较大小。3、选择题：考查算理的理解、商与被除数的大小关系判断。4、应用题：结合生活情境（购物、分装、行程、倍数等）考查实际应用能力。5、改错题：专门针对易错点（小数点问题、补0问题）设置，考查学生的辨析能力。（二）复习建议1、夯实算理：不要死记硬背步骤，要通过具体的例子（如单位换算、计数单位分析）让学生明白为什么要这么移，为什么要这么点。2、强化专项训练：针对“小数点移动”和“添0补足”这两个核心难点，设计专门的改错题和填空题进行强化。3、规范书写格式：在日常练习中，严格要求竖式书写格式，小数点、退位点、补的0都要清晰可见。4、培养验算习惯：要求所有计算题都必须进行验算（至少是口头验算），将错误消灭在萌芽状态。5、构建知识网络：将本课时的“除数是小数的除法”与“除数是整数的除法”、“整数除法”、“商不变的性质”串联起来，形成完整的除法知识体系。九、单元知识结构中的定位本课时的知识是整个小数除法单元的核心与高潮。其前后知识关联如下：前期基础：整数除法→除数是整数的小数除法→商不变的性质↓本课核心：除数是小数的除法（知识的综合与升华）↓后续延伸：商的近似数（四舍五入）→循环小数（除不尽情况的深入研究）→小数混合运算（综合应用）十、思维导图（知识清单脉络）<中心>除数是小数的除法├─<核心思想>转化│└─将新知识转化为旧知识├─<转化依据>商不变的性质│└─被除数和除数同时