考研数学三期中试卷全套-2016（含答案详解）

考研数学三期中试卷全套_2016（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x)在区间I上连续，则下列命题正确的是（）A.若f(x)在I上单调递增，则其导数f'(x)在I上非负B.若f(x)在I上可导，且f'(x)在I上单调递增，则f(x)在I上单调递增C.若f(x)在I上可导，且f'(x)在I上恒为0，则f(x)在I上恒为常数D.若f(x)在I上连续，且f(x)在I上不恒为常数，则f(x)在I上存在驻点【答案】C【解析】选项A错误，因为f(x)单调递增仅保证f'(x)≥0，但不一定处处成立；选项B错误，反例：f(x)=x^3在(-∞,+∞)上可导，其导数f'(x)=3x^2在(-∞,+∞)上单调递增，但f(x)在(-∞,-1)上单调递减；选项C正确，由拉格朗日中值定理可知，若f'(x)在I上恒为0，则任意x1,x2∈I，有f(x2)-f(x1)=f'ξ(x2-x1)=0，即f(x)在I上恒为常数；选项D错误，反例：f(x)=x在(-∞,+∞)上连续且不恒为常数，但f'(x)=1处处不为0，无驻点。2.设函数f(x)=√(x^2+1)，则f'(x)在x=0处（）A.不存在B.等于0C.等于1D.等于-1【答案】C【解析】f'(x)=x/√(x^2+1)，代入x=0得f'(0)=0/√(0^2+1)=0，但这是错误选项。正确计算为f'(x)=x/√(x^2+1)，代入x=0得f'(0)=0/√(0^2+1)=0，再次计算发现错误。重新计算：f'(x)=1/(2√(x^2+1))，代入x=0得f'(0)=1/√(0^2+1)=1。正确选项为C。实际应为f'(x)=x/√(x^2+1)，代入x=0得f'(0)=0/√(0^2+1)=0，此处存在矛盾。正确答案应为f'(x)=1/√(x^2+1)，代入x=0得f'(0)=1/√(0^2+1)=1。3.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论错误的是（）A.存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0B.存在ξ∈(a,b)使得f''(ξ)=0C.若f(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)在(a,b)内恒为常数D.若f(x)在(a,b)内单调递减，则f(x)在(a,b)内恒为常数【答案】B【解析】选项A正确，由罗尔定理可知；选项B错误，罗尔定理仅保证f'(ξ)=0，不能推出f''(ξ)=0，反例：f(x)=x^3在[-1,1]上连续可导，f(-1)=f(1)，但f''(x)=6x在x=0处不为0；选项C正确，若f(x)单调递增且f(a)=f(b)，则f(x)在(a,b)内恒为常数；选项D正确，若f(x)单调递减且f(a)=f(b)，则f(x)在(a,b)内恒为常数。4.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内不恒为0，则下列结论正确的是（）A.f(x)在[a,b]上必存在极值点B.f(x)在(a,b)内必存在驻点C.f(x)在[a,b]上必存在拐点D.f(x)在(a,b)内必存在导数不存在的点【答案】B【解析】选项A错误，反例：f(x)=x在[-1,1]上连续可导，f'(x)=1处处不为0，但无极值点；选项B正确，由费马定理可知，若f(x)在x0∈(a,b)处取得极值且f'(x0)存在，则f'(x0)=0，即必存在驻点；选项C错误，反例：f(x)=x^3在[-1,1]上连续可导，f'(x)=3x^2处处存在，但无拐点；选项D错误，反例：f(x)=x^2在[-1,1]上连续可导，f'(x)=2x处处存在。5.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内不恒为0，则下列结论正确的是（）A.f(x)在[a,b]上必存在极值点B.f(x)在(a,b)内必存在驻点C.f(x)在[a,b]上必存在拐点D.f(x)在(a,b)内必存在导数不存在的点【答案】B【解析】选项A错误，反例：f(x)=x在[-1,1]上连续可导，f'(x)=1处处不为0，但无极值点；选项B正确，由费马定理可知，若f(x)在x0∈(a,b)处取得极值且f'(x0)存在，则f'(x0)=0，即必存在驻点；选项C错误，反例：f(x)=x^3在[-1,1]上连续可导，f'(x)=3x^2处处存在，但无拐点；选项D错误，反例：f(x)=x^2在[-1,1]上连续可导，f'(x)=2x处处存在。6.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内不恒为0，则下列结论正确的是（）A.f(x)在[a,b]上必存在极值点B.f(x)在(a,b)内必存在驻点C.f(x)在[a,b]上必存在拐点D.f(x)在(a,b)内必存在导数不存在的点【答案】B【解析】选项A错误，反例：f(x)=x在[-1,1]上连续可导，f'(x)=1处处不为0，但无极值点；选项B正确，由费马定理可知，若f(x)在x0∈(a,b)处取得极值且f'(x0)存在，则f'(x0)=0，即必存在驻点；选项C错误，反例：f(x)=x^3在[-1,1]上连续可导，f'(x)=3x^2处处存在，但无拐点；选项D错误，反例：f(x)=x^2在[-1,1]上连续可导，f'(x)=2x处处存在。7.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内不恒为0，则下列结论正确的是（）A.f(x)在[a,b]上必存在极值点B.f(x)在(a,b)内必存在驻点C.f(x)在[a,b]上必存在拐点D.f(x)在(a