考研数学二模拟试卷全套-2016（名师编写）

考研数学二模拟试卷全套_2016（名师编写）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.设函数f(x)在区间[-1,1]上连续，且满足条件f(0)=0，f'(0)=2，则极限lim_{h→0}[f(h)+f(-h)]/[h^2]=______。A.1B.2C.4D.8解析：根据导数定义及泰勒展开，f(x)在x=0附近可表示为f(x)=2x+o(x)，则f(h)+f(-h)=4h+o(h)+o(-h)，分子极限为4，分母为h^2，故极限值为4。正确答案为C。2.已知函数y=ln(1+x)在x=0处的曲率为K，则K的值为______。A.1B.1/2C.1/3D.2解析：y'=(1+x)^(-1)，y''=(-1)(1+x)^(-2)，曲率K=|y''|/[(1+(y')^2)^(3/2)]，在x=0处y'=1，y''=-1，代入得K=1。正确答案为A。3.设函数f(x)在区间(0,1)内可导，且满足f(1)=3f(0)，则下列结论正确的是______。A.存在α∈(0,1)使f'(\alpha)=3B.存在α∈(0,1)使f'(\alpha)=2f(0)C.存在α∈(0,1)使f'(\alpha)=f(0)D.存在α∈(0,1)使f'(\alpha)=f(0)/2解析：由拉格朗日中值定理，存在α∈(0,1)使f'(α)=(f(1)-f(0))/(1-0)=3f(0)/1=3f(0)。正确答案为A。4.不定积分∫(x^2+1)/(x^4+1)dx的值为______。A.arctan(x)+CB.1/(2x^3)+CC.(1/2)ln(x^4+1)+CD.(x^3-x)/(x^4+1)+C解析：分子分母同除x^2，得∫(1/x^2+1/x^4)/(1+x^2/x^2+1/x^4)dx，令t=x^(-1)，则dx=-x^(-2)dt，积分转化为∫(t^2+1)/(t^4+1)(-dt)，即∫(1/t^2+1/t^4)/(1+1/t^2+1/t^4)dt=arctan(t)+C=x^(-1)+C。正确答案为B。5.微分方程y''-4y'+4y=0的通解为______。A.y=(C1+C2x)e^(-2x)B.y=C1e^(-2x)+C2e^2xC.y=(C1+C2x)e^2xD.y=C1e^(-2x)+C2xe^(-2x)解析：特征方程r^2-4r+4=0有重根r=2，通解形式为y=(C1+C2x)e^(2x)。正确答案为C。6.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足∫_0^1f(t)dt=1，则∫_0^1f(x)(1+x)dx的值为______。A.1B.2C.3D.无法确定解析：令F(x)=∫_0^xf(t)dt，则F(1)=1，F'(x)=f(x)，原积分=∫_0^1F'(x)(1+x)dx=(F(x)(1+x))|_0^1-∫_0^1F(x)dx=1×(1+1)-0-1=1。正确答案为A。7.设函数f(x)在区间[0,π]上连续，且满足f(x)sinx在[0,π]上积分为2，则f(π/2)的值为______。A.1B.2C.3D.4解析：令g(x)=f(x)sinx，则g(π/2)=f(π/2)sin(π/2)=f(π/2)，∫_0^πg(x)dx=∫_0^πf(x)sinxdx=2，由积分中值定理，存在ξ∈(0,π)使f(ξ)sinξ=2，结合f(π/2)=f(ξ)，得f(π/2)=2。正确答案为B。8.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=1，f(1)=2，则存在α∈(0,1)使αf'(\alpha)+f(\alpha)=3，则α的取值为______。A.1/2B.2/3C.3/4D.4/5解析：令F(x)=xf(x)，则F(0)=0，F(1)=2，F'(x)=f(x)+xf'(x)，由拉格朗日定理，存在α∈(0,1)使F'(α)=(F(1)-F(0))/(1-0)=2，即f(α)+αf'(α)=2，题目条件为αf'(α)+f(α)=3，联立得α=1/2。正确答案为A。9.设函数f(x)在区间[-1,1]上连续，且满足f(x)=x^3+x^2f'(-x)，则f(0)的值为______。A.0B.1/2C.1D.-1/2解析：令x=0，得f(0)=0^3+0^2f'(0)=0，再令-x=x，得f(-x)=(-x)^3+(-x)^2f'(x)，即-f(x)=-x^3+x^2f'(x)，联立原式得f'(x)=x，积分得f(x)=x^2/2+C，由f(0)=0得C=0，故f(x)=x^2/2。正确答案为A。10.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=0，f(1)=1，则下列不等式正确的是______。A.∫_0^1f(x)dx≥1B.∫_0^1f(x)dx≤1C.∫_0^1f(x)dx=1D.∫_0^1f(x)dx<1解析：由积分中值定理，存在ξ∈(0,1)使∫_0^1f(x)dx=f(ξ)=ξ，由f(ξ)在[0,1]连续，得∫_0^1f(x)dx=ξ∈(0,1)，故不等式不成立。正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。）1.设函数f(x)=xlnx，则f'(x)的值为______。参考答案：lnx+1解析：f'(x)=lnx+1，由导数定义及乘积法则。2.微分方程y''-3y'+2y=0的通解为______。参考答案：(C1+C2x)e^(2x)解析：特征方程r^2-3r+2=0有根r=1,2，通解为(C1+C2x)e^(2x)。3.设函