05 题型五　与圆有关的证明与计算

软件使用本课件使用office软件制作，建议老师使用相应软件打开编辑修改本课件全文可单击进行编辑修改便捷操作快速核答案题号以及返回图标等都有超链接点击即可跳转至相应页面题型五与圆有关的证明与计算目录类型1圆与尺规作图结合(新考法：2025年第19题)1.

如图，在△ABC中，点O为BC上一点，以点O为圆心，OB的长为半径的☉O与AC相切于点A，与BC相交于点D.

(1)尺规作图：过点D作DE⊥

AC于点E，交BA的延长线于点F.

(1)解：如图，DF即为所求.(2)证明：DB＝DF.(2)证明：证法一：连接OA，如图.

∵☉O与AC相切于点A，∴OA⊥AC.

∵DF⊥AC，∴DF∥OA.

∴∠F＝∠OAB.

∵OB＝OA，∴∠B＝∠OAB.

∴∠B＝∠F.

∴DB＝DF.

证法二：连接AD，如图.同证法一，可得DF∥OA.∵OB＝OD，∴AB＝AF.

∵BD是☉O的直径，∴∠BAD＝90°，即DA⊥BF.∴AD垂直平分BF.

∴DB＝DF.

2.

(2025·郑州模拟)如图，已知☉O及☉O外一点P，连接OP.

(1)用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母.

①作出线段OP的垂直平分线交OP于点A；②以点A为圆心，AP长为半径作☉A，☉A与☉O交于点B(点B位于线段OP上方)，作直线PB.解：(1)如图所示.

3.

(2025·南阳模拟)如图，CB是☉O的直径，CF是☉O的切线，切点为C，点D为直径CB右侧☉O上一点，连接BD并延长交直线CF于点A，连接OD.

(1)尺规作图：作出∠COD的平分线，交CA于点E，连接DE(保留作图痕迹，不写作法).解：(1)如图所示.

类型2几何背景下与圆有关的证明与计算4.

(2025·浙江)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE.

(1)求证：OD⊥OE.

(1)证明：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.

∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.

∴∠C＝∠ODB.

∴OD∥AC.

∵AC与半圆O相切于点E，∴OE⊥

AC.

∴OD⊥OE.

6.

(2025·郑州二模)在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圆，过点A作☉O的切线AM，在AM上截取AD＝BC，连接CD交☉O于点F.

(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

解：(1)四边形ABCD为平行四边形.

理由：如解图，连接AO并延长交BC于点E，连接OB，OC.∵AB＝AC，OB＝OC

，∴点A，O在线段BC的垂直平分线上.

∴AE⊥BC.∵AM是☉O的切线，点A在圆上，∴AM⊥AE.∴AM∥BC.

∵AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形.

类型3真实情境下的圆综合7.

如图为某游乐场摩天轮简化示意图.

假日小明妈妈带着小明和弟弟小刚乘坐摩天轮游玩，摩天轮(即☉O)直径为80m，小明乘坐A车厢，小刚乘坐B车厢，∠AOB＝90°，妈妈站在摩天轮中心正下方P处(人身高不计)，即OP⊥CD于点P.

(2)当摩天轮继续转动到图2位置时，妈妈看小明的视线PA刚好与☉O相切于点A，且PA平分∠OPD.

①四边形OPAB是(

)A.

一般四边形 B.

平行四边形C.

菱形 D.

矩形B

8.

(2021·河南第20题)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在☉O上，当点P在☉O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.

当AP与☉O相切时，点B恰好落在☉O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题：(1)求证：∠PAO＝2∠PBO.

(1)证明：连接OP，标记点C，如解图所示，则OP＝OB＝OC.

∵AP与☉O相切于点P，∴∠APO＝90°.

∴∠PAO＋∠AOP＝90°.

∵OM⊥ON，∴∠AOP＋∠POC＝90°.

∴∠PAO＝∠POC.

∵∠POC＝2∠PBC，∴∠PAO＝2∠PBO.

9.

(2025·郑州模拟)【问题背景】如图1，点A在圆外，点B，C，D在圆上.

【解决问题】(1)请判断∠A和∠B的大小关系，并