高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数教案 新人教A版选修2-2

高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大（小）值与导数教案新人教A版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容新人教A版选修2-2第一章“导数及其应用”中的1.3.3节“函数的最大（小）值与导数”。本节课将围绕导数在研究函数最大值和最小值中的应用展开，具体内容包括：如何利用导数判断函数的单调性，如何利用导数求函数的极值，以及如何利用导数的性质解决实际问题。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过导数概念的理解和应用，使学生能够从具体情境中抽象出数学模型；提升逻辑推理能力，通过导数与函数性质的关系，引导学生进行严密的逻辑推理；增强数学建模能力，使学生能够将实际问题转化为数学问题，利用导数求解并解释结果；强化数学运算能力，通过导数的计算和函数极值的求解，提高学生的数学运算技能。教学难点与重点1.教学重点

-确定函数极值的条件：重点在于理解导数等于零的点可能为极值点，但还需判断这些点是否是极大值或极小值。

-极值点的判定：强调通过导数的变化情况（正负号变化）来判断极值点的类型。

-应用导数解决实际问题：重点在于将实际问题转化为数学问题，并利用导数求解。

举例：在函数f(x)=x^3-3x^2+4x中，求f(x)的极值。

2.教学难点

-理解导数与函数单调性的关系：学生可能难以直观地理解导数的正负号与函数增减的关系。

-极值点的判定：如何准确判断极值点，尤其是在导数符号变化不明显的情况下。

-导数在解决实际问题中的应用：将实际问题转化为数学模型，并正确应用导数求解。

举例：在函数f(x)=(x-1)^2+1中，求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值。学生可能难以理解如何将实际问题中的最大最小值问题转化为求导数等于零的点，并进一步判断这些点的性质。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解导数的概念、极值点的判定方法，确保学生掌握核心知识点。

2.讨论法：引导学生讨论实际问题如何转化为数学问题，培养学生的分析能力和团队协作精神。

3.案例分析法：通过具体案例，如经济、物理等领域的问题，让学生理解导数在解决实际问题中的应用。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示函数图像、导数图形，直观展示导数与函数性质的关系。

2.动画演示：运用动画演示导数的变化过程，帮助学生理解导数的几何意义。

3.互动软件：使用互动教学软件，让学生通过操作验证导数与函数单调性、极值之间的关系。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示一系列生活中的实际问题，如物体运动速度的变化、商品价格的波动等，提问学生如何用数学方法描述这些现象。

-回顾旧知：引导学生回顾函数的单调性、极值等概念，强调导数在研究函数性质中的作用。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：

1.导数的概念：详细讲解导数的定义、意义和计算方法，通过图形和实例说明导数在描述函数变化率中的作用。

2.极值点的判定：讲解导数等于零的点可能是极值点，但还需判断这些点的性质，如极大值或极小值。

3.导数与函数单调性的关系：阐述导数的正负号与函数增减的关系，通过实例说明如何利用导数判断函数的单调区间。

-举例说明：

1.以f(x)=x^2为例，讲解导数的计算方法和应用。

2.以f(x)=(x-1)^2+1为例，讲解极值点的判定方法和应用。

-互动探究：

1.引导学生分组讨论，分析给定的函数图像，判断函数的单调性和极值点。

2.学生通过计算导数，验证函数图像的增减情况，加深对导数与函数性质关系的理解。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：

1.学生独立完成教材中的练习题，如求函数的极值、判断函数的单调性等。

2.学生通过小组合作，共同解决一些综合性较强的题目，如将实际问题转化为数学问题，利用导数求解。

-教师指导：

1.教师巡视课堂，观察学生的学习情况，解答学生在练习过程中遇到的问题。

2.教师针对学生的共性问题进行讲解，帮助学生巩固所学知识。

4.课堂小结（约5分钟）

-教师总结本节课的主要知识点，强调导数在研究函数性质中的应用。

-学生回顾本节课的学习内容，总结自己的收获和体会。

5.课后作业（约10分钟）

-布置与课堂内容相关的作业，如求函数的极值、判断函数的单调性等。

-要求学生在课后完成作业，巩固所学知识，并提前预习下一节课的内容。

6.教学反思（约5分钟）

-教师反思本节课的教学效果，总结经验教训，为今后的教学提供参考。

-教师根据学生的学习情况，调整教学策略，以提高教学效果。教学资源拓展1.拓展资源

-导数的应用领域：介绍导数在物理学、经济学、生物学等领域的应用实例，如物体速度的变化率、商品需求的变化率等。

-微积分基本定理：介绍微积分基本定理的概念，阐述导数与不定积分的关系，为学生后续学习积分打下基础。

-导数的几何意义：讲解导数在几何中的应用，如曲线在某点的切线斜率、曲线的凹凸性等。

-导数的应用案例：提供一些实际应用案例，如优化生产成本、预测经济趋势等，帮助学生理解导数在解决实际问题中的作用。

2.拓展建议

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《高等数学导论》、《微积分原理与应用》等书籍，加深对导数的理解。

-观看教育视频：鼓励学生观看在线教育视频，如《数学之美》、《微积分入门》等，通过视频讲解加深对导数的直观认识。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国高中数学联赛、美国数学竞赛（AMC）等，通过竞赛提高自己的数学能力。

-实践操作：鼓励学生利用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）进行实际操作，如绘制函数图像、求解微分方程等，提高数学应用能力。

-撰写论文：指导学生撰写与导数相关的论文，如研究导数在某一领域的应用、探讨导数的性质等，锻炼学生的科研能力。

-拓展阅读：推荐学生阅读《数学的故事》、《数学家的故事》等书籍，激发学生对数学的兴趣和好奇心。

-参加讲座：鼓励学生参加数学讲座，如邀请数学专家、教授等，让学生了解数学领域的最新研究成果和发展趋势。课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了导数在研究函数性质中的应用，重点掌握了如何利用导数判断函数的单调性和极值。通过实例分析和课堂讨论，同学们对导数的概念、极值点的判定方法有了更深入的理解。以下是对本节课内容的总结：

1.导数的定义和计算方法；

2.导数与函数单调性的关系；

3.极值点的判定方法；

4.导数在解决实际问题中的应用。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握情况，我们将进行以下检测：

1.选择题：判断以下函数在指定区间内的单调性。

-f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[-1,3]上的单调性；

-g(x)=x^2-4x+3在区间[0,4]上的单调性。

2.填空题：求以下函数的极值。

-f(x)=(x-1)^2+2在x=2时的极值；

-g(x)=e^x-x在x=0时的极值。

3.应用题：某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=2x^2+4x+3，其中x为生产数量。求该工厂生产100个产品时的最大利润。典型例题讲解例题1：求函数f(x)=x^3-9x在x=3时的极值。

解答：首先求导数f'(x)=3x^2-9，令f'(x)=0得x=±3。计算f''(x)=6x，代入x=3得f''(3)=18>0，因此x=3是极小值点。计算f(3)=3^3-9*3=-18，所以极小值为-18。

例题2：已知函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求f(x)的极大值和极小值。

解答：求导数f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，令f'(x)=0得x=1或x=2。计算f''(x)=12x^2-24x+12，代入x=1得f''(1)=0，进一步计算f'''(x)=24x-24，代入x=1得f'''(1)=0，因此x=1是拐点。代入x=2得f''(2)=24>0，所以x=2是极小值点。计算f(2)=2^4-4*2^3+6*2^2-4*2+1=-3，所以极小值为-3。

例题3：求函数f(x)=x^3-3x^2+4x在区间[-1,4]上的最大值和最小值。

解答：求导数f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0得x=2或x=2/3。计算f''(x)=6x-6，代入x=2得f''(2)=6>0，所以x=2是极小值点。代入x=2/3得f''(2/3)=-2<0，所以x=2/3是极大值点。计算f(2)=2^3-3*2^2+4*2=4，f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+4*(-1)=-6，f(2/3)=(2/3)^3-3*(2/3)^2+4*(2/3)=8/27，所以最大值为4，最小值为-6。

例题4：已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

解答：求导数f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。计算f''(x)=2>0，所以x=1是极小值点。计算f(1)=1^2-2*1+1=0，f(0)=0^2-2*0+1=1，f(3)=3^2-2*3+1=4，所以最小值为0，最大值为4。

例题5：求函数f(x)=e^x-x在x=0时的极值。

解答：求导数f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。计算f''(x)=e^x>0，所以x=0是极小值点。计算f(0)=e^0-0=1，所以极小值为1。教学反思教学反思

今天这节课，我觉得整体上还是不错的。首先，我在导入环节通过生活中的实例引入了导数的概念，发现学生们对这一部分内容的兴趣挺高的，这让我很高兴。我注意到，在讲解导数与函数单调性的关系时，学生们有些地方还是不太理解，比如如何判断导数的正负号。我在这里多花了一些时间，通过具体的例子和图形来帮助他们理解，我觉得效果还是不错的。

在讲解极值点的判定时，我发现有些学生对于如何判断极值点是极大值还是极小值感到困惑。我尝试通过逐步分析导数变化的过程，让学生们能够理解极值点的性质。我还让学生们自己动手画导数图像，这样他们可以更直观地看到导数的变化