高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.3 两角和与差的正切教学设计 苏教版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.3两角和与差的正切教学设计苏教版必修4课题：XX课时：1授课时间：2025设计思路本节课围绕苏教版必修4第三章3.1.3两角和与差的正切展开教学，通过引导学生自主探究、合作学习，掌握两角和与差的正切公式，并能运用该公式解决实际问题。教学设计注重基础知识的夯实，培养学生的逻辑思维能力和实际问题解决能力。核心素养目标分析教学难点与重点1.教学重点，

①掌握两角和与差的正切公式；

②理解公式的推导过程，并能熟练运用公式进行计算；

③通过实例，理解正切函数的性质，如周期性、奇偶性等。

2.教学难点，

①正切公式推导过程中逻辑推理的严密性；

②在实际应用中，灵活运用正切公式解决三角函数问题，如证明、化简等；

③理解并区分两角和与差的正切公式与正弦、余弦、正切的基本关系；

④在解决复合三角函数问题时，能够合理选择公式，避免计算错误。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解两角和与差的正切公式及其推导过程，帮助学生建立知识体系。

2.讨论法：引导学生分组讨论公式的应用，激发学生的思考，提高合作学习能力。

3.案例分析法：通过典型例题，帮助学生理解公式在实际问题中的应用。

教学手段：

1.多媒体课件：展示公式推导过程和典型例题，提高教学直观性和生动性。

2.教学软件：利用几何画板等软件，动态演示两角和与差的正切关系，加深学生理解。

3.实物教具：使用三角板等教具，让学生直观感受三角函数的变化，增强感性认识。教学过程设计【导入环节】

（用时：5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的角度问题，如建筑物的角度设计、地图的方位角等，引导学生思考角度在生活中的应用。

2.提出问题：引导学生回顾已学的三角函数知识，思考如何计算两个角度的和或差的正切值。

3.小组讨论：分组讨论，提出可能的解决方案，激发学生的思考。

【讲授新课】

（用时：15分钟）

1.公式推导：讲解两角和与差的正切公式推导过程，强调逻辑推理的严密性。

2.公式应用：结合实例，讲解如何运用公式计算两角和与差的正切值。

3.性质分析：分析正切函数的性质，如周期性、奇偶性等，帮助学生理解公式的应用。

【巩固练习】

（用时：10分钟）

1.基础练习：布置一些基础题目，让学生独立完成，巩固对公式的理解和应用。

2.小组讨论：分组讨论，共同解决一些较难的题目，提高合作学习能力。

【课堂提问】

（用时：5分钟）

1.提问：引导学生回顾本节课所学内容，检查学生对知识的掌握情况。

2.解答：针对学生的回答，给予及时反馈和指导，帮助学生纠正错误。

【师生互动环节】

（用时：10分钟）

1.创设问题情境：提出一些与实际生活相关的问题，引导学生运用所学知识解决。

2.小组合作：分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。

3.互动讨论：针对问题，进行课堂讨论，激发学生的思维，提高课堂氛围。

【核心素养拓展】

（用时：5分钟）

1.思维拓展：引导学生思考如何将两角和与差的正切公式应用于其他数学领域。

2.实践应用：布置一些实际应用题目，让学生尝试将所学知识应用于实际问题。

【总结】

（用时：5分钟）

1.回顾本节课所学内容，强调重点和难点。

2.鼓励学生在课后继续复习，巩固所学知识。

【作业布置】

1.完成课后练习题，巩固对两角和与差的正切公式的理解和应用。

2.查阅资料，了解正切函数在实际生活中的应用。

【教学反思】

1.关注学生的学习情况，及时调整教学策略。

2.注重培养学生的核心素养，提高学生的综合素质。

3.创设生动有趣的课堂氛围，激发学生的学习兴趣。知识点梳理1.两角和与差的正切公式

-公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

-公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

2.公式的推导过程

-利用和差化积公式

-利用正切的定义和三角恒等变换

3.公式的性质

-周期性：正切函数是周期函数，周期为π。

-奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-α)=-tanα。

-有界性：正切函数在(-π/2,π/2)内是有界的。

4.公式的应用

-计算两角和与差的正切值

-证明三角恒等式

-化简三角函数表达式

5.公式与正弦、余弦、正切的关系

-利用正弦、余弦的定义，将正切公式转换为正弦、余弦的形式

-利用正弦、余弦的性质，推导出正切函数的性质

6.复合三角函数问题

-利用正切公式解决复合三角函数问题，如证明、化简等

-区分正切公式与其他三角函数公式的应用

7.实际问题中的应用

-在物理学、工程学等领域，利用正切公式解决实际问题，如计算角度、测量距离等

8.计算技巧

-利用正切公式简化计算过程

-利用正切函数的性质，避免重复计算

9.错误防范

-注意公式的适用范围，避免在非定义域内使用

-注意公式的推导过程，避免计算错误

10.教学建议

-通过实例讲解，帮助学生理解公式的应用

-通过练习和讨论，提高学生的实际操作能力

-引导学生关注公式的推导过程，培养逻辑思维能力课后作业1.利用两角和与差的正切公式，计算tan(45°+30°)的值。

答案：tan(45°+30°)=(tan45°+tan30°)/(1-tan45°tan30°)=(1+√3/3)/(1-1*(√3/3))=(3+√3)/(3-√3)=(3+√3)*(3+√3)/(3-√3)*(3+√3)=(9+6√3+3)/(9-3)=(12+6√3)/6=2+√3。

2.证明tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。

答案：证明：

已知：tanα=sinα/cosα，tanβ=sinβ/cosβ

要证明：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

左边=sin(α-β)/cos(α-β)

=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)

=(sinαcosβ-cosαsinβ)/[(cosαcosβ+sinαsinβ)/(sinαcosβ-cosαsinβ)]

=(sinαcosβ-cosαsinβ)*(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)

=(sin^2αcos^2β-2sinαcosαsinβcosβ+cos^2αsin^2β)/(cos^2αcos^2β+sin^2αsin^2β)

=(sin^2α(1-sin^2β)-2sinαcosαsinβcosβ+cos^2αsin^2β)/(cos^2α(1-sin^2β)+sin^2αsin^2β)

=(sin^2α-sin^2αsin^2β-2sinαcosαsinβcosβ+cos^2αsin^2β)/(cos^2α-cos^2αsin^2β+sin^2αsin^2β)

=(sin^2α-sin^2αsin^2β+cos^2αsin^2β-2sinαcosαsinβcosβ)/(cos^2α+sin^2αsin^2β-cos^2αsin^2β)

=(sin^2α-sin^2αsin^2β+cos^2αsin^2β-2sinαcosαsinβcosβ)/(sin^2αsin^2β)

=(sin^2α(1-sin^2β)+cos^2αsin^2β-2sinαcosαsinβcosβ)/(sin^2αsin^2β)

=(sin^2αcos^2β-2sinαcosαsinβcosβ+cos^2αsin^2β)/(sin^2αsin^2β)

=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)

=右边

3.化简表达式：sin(α+β)/cos(α-β)。

答案：sin(α+β)/cos(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。

4.已知tanα=2，tanβ=3，求tan(α+β)的值。

答案：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(2+3)/(1-2*3)=5/(1-6)=5/(-5)=-1。

5.在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=30°，求∠C的正切值。

答案：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-30°=105°

tanC=tan(180°-∠A-∠B)=-tan(∠A+∠B)

=-(tan45°+tan30°)/(1-tan45°tan30°)

=-(1+√3/3)/(1-1*(√3/3))

=-(3+√3)/(3-√3)

=-(3+√3)*(3+√3)/(3-√3)*(3+√3)

=-(9+6√3+3)/(9-3)

=-(12+6√3)/6

=-2-√3。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的参与度较高，积极回答问题，对于两角和与差的正切公式理解较为迅速。在公式的推导过程中，大部分学生能够跟随教师的思路，但部分学生在理解正切函数的性质时存在困难。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论环节中，学生能够积极发表自己的观点，并能与组内成员进行有效的沟通与协作。在解决复合三角函数问题时，小组成员能够共同探讨，最终成功找到了解决问题的方法。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，学生对两角和与差的正切公式的应用掌握较好，能够熟练运用公式进行计算。但在解决实际问题时，部分学生存在思维定势，未能灵活运用所学知识。

4.学生自评与互评：

学生能够对自己的学习情况进行反思，认识到自己在公式推导和实际问题解决方面的不足。同时，学生之间能够进行互评，指出彼此的优点和不足，共同进步。

5.教师评价与反馈：

针对学生在课堂上的表现，教师给予以下评价与反馈：

-针对理解公式推导过程的学生，教师鼓励他们继续保持，并尝试解决更复杂的三角函数问题。

-对于在应用公式解决实际问题时存在困难的学生，教师建议他们在课后多加练习，并提醒他们在解题时注意灵活运用所学知识。

-教师强调学生在小组讨论中的合作精神，鼓励他们在今后的学习中继续保持这种良好的学习态度。

-教师建议学生在课后进行自我总结，找出自己在学习过程中的不足，并制定相应的改进措施。板书设计1.两角和与差的正切公式

①公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

②公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

③推导过程：利用和差化积公式