经济数学4练习题及答案分享

经济数学4练习题及答案分享考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题1.函数f(x,y)=ln(x^2+y^2-1)的定义域是()。A.x^2+y^2>1B.x^2+y^2<1C.x^2+y^2≥1D.x^2+y^2≤12.设z=x^2+y^2，则z在点(1,1)处沿向量i+j的方向导数是()。A.2B.√2C.3√2D.43.设函数f(x)=x^3-3x+2，则它在区间(-2,2)内的极大值点是()。A.-1B.0C.1D.-24.级数∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)*(1/n)的敛散性是()。A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断5.级数∑_{n=1}^∞(1/2^n)的和是()。A.1/3B.1/2C.1D.26.微分方程y'+y=0的通解是()。A.y=Ce^xB.y=Ce^-xC.y=CxD.y=C7.微分方程y''-4y=0的特征方程是()。A.r^2-4=0B.r^2+4=0C.r-4=0D.r+4=08.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则随机变量Y=aX+b(a≠0)服从的分布是()。A.N(μ,σ^2)B.N(aμ+b,a^2σ^2)C.N(μ,a^2σ^2)D.N(aμ+b,σ^2)二、多项选择题1.下列函数中，在点(0,0)处连续的有()。A.f(x,y)=|x|+|y|B.f(x,y)=√(x^2+y^2)C.f(x,y)={(x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2)),(x^2+y^2)≠0;0,(x^2+y^2)=0}D.f(x,y)={1,x^2+y^2=0;0,x^2+y^2≠0}2.设函数z=f(x,y)，若∂z/∂x|_(x,y)=2x+3y，∂z/∂y|_(x,y)=3x+2y，则函数f(x,y)可能是()。A.x^2+3xy+2y^2B.2x^2+3xy+y^2+5C.x^2+3xy+2y^2+e^xD.x^2+2xy+y^2+sin(xy)3.下列级数中，收敛的有()。A.∑_{n=1}^∞(1/n^2)B.∑_{n=1}^∞(1/n)C.∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)*(1/n^p)(p>1)D.∑_{n=1}^∞(1/n^3)4.微分方程y''+4y'+4y=0的通解是()。A.y=(C1+C2x)e^-2xB.y=C1e^-2x+C2e^2xC.y=(C1+C2x)e^2xD.y=e^-2x(C1cos2x+C2sin2x)5.关于随机变量X的期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的有()。A.E(aX+b)=aE(X)+bB.D(aX+b)=a^2D(X)C.E(X^2)=[E(X)]^2D.D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2三、计算题1.求函数z=x^3+y^3-3axy的全微分。2.计算函数f(x,y)=x^2+y^2+2x-4y+5在点(1,2)处的极值。3.将函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上展开成以2为周期的傅里叶级数。4.求微分方程y'-y=e^x的通解。5.求解初值问题：y''-2y'+y=x,y(0)=1,y'(0)=1。6.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={(1/2)e^-x,x>0;0,x≤0}，求随机变量X的期望E(X)和方差D(X)。四、证明题1.证明：级数∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)*(n/n+1)是发散的。2.证明：函数z=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的极值在点(1/2,1/2)处取得。试卷答案一、单项选择题1.A2.B3.A4.B5.C6.B7.A8.B二、多项选择题1.A,B,C2.A,B3.A,C,D4.A5.A,B,D三、计算题1.解：∂z/∂x=3x^2-3ay,∂z/∂y=3y^2-3ax则dz=(3x^2-3ay)dx+(3y^2-3ax)dy2.解：f(x,y)=(x+1)^2+(y-2)^2+1函数在点(1,2)处取得极小值，极小值为1。3.解：f(x)=x^2在(-1,1)上以2为周期展开傅里叶级数，需先延拓为周期函数。周期函数F(x)满足f(x)=F(x)在(-1,1)上，且F(x+2)=F(x)。F(x)是以2为周期的奇函数（f(x)是偶函数）。a_n=0(n=0,1,2,...)b_n=(2/1)*∫_{-1}^1x^2sin(nπx)dx=2*[-x^2cos(nπx)/(nπ)+∫xcos(nπx)/(nπ)dx]_{-1}^1=2*[-x^2cos(nπx)/(nπ)+xsin(nπx)/(n^2π^2)]_{-1}^1=2*[(1/(nπ))*sin(nπ)-(-1/(nπ))*sin(-nπ)]=0所以级数只有直流分量（a_0/2=0）和奇次正弦项。b_n=(4/(nπ))*sin(nπ/2)(n=1,3,5,...)级数形式为∑_{nodd}(4/(nπ))*sin(nπ/2)*sin(nπx)其中nodd表示n取1,3,5,...4.解：此为标准一阶线性非齐次微分方程，y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)=-1,q(x)=e^x。齐次方程y'-y=0的通解为y_h=Ce^x。令非齐次方程的特解为y_p=u(x)e^x，代入方程得u'(x)e^x=e^x，即u'(x)=1，故u(x)=x。则非齐次方程的特解为y_p=xe^x。通解为y=y_h+y_p=Ce^x+xe^x=e^x(C+x)。5.解：对应的齐次方程y''-2y'+y=0的特征方程为r^2-2r+1=0，即(r-1)^2=0，解为r=1(重根)。齐次方程通解为y_h=(C1+C2x)e^x。非齐次方程右端为x，可设特解y_p=Ax^2+Bx+C。y_p'=2Ax+B,y_p''=2A。代入非齐次方程得2A-2(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+C)=x即(A)x^2+(-4A+B)x+(2A-2B+C)=x比较系数得A=1,-4A+B=1,2A-2B+C=0解得A=1,B=5,C=8。所以特解为y_p=x^2+5x+8。通解为y=y_h+y_p=(C1+C2x)e^x+x^2+5x+8。代入初始条件y(0)=1,y'(0)=1：y(0)=C1+8=1=>C1=-7y'(x)=(C1+C2x)e^x+C2e^x+2x+5y'(0)=C1+C2+5=1=>-7+C2+5=1=>C2=1所以初值问题的解为y=(-7+x)e^x+x^2+5x+8。6.解：E(X)=∫_{-∞}^∞xf(x)dx=∫_0^∞x*(1/2)e^-xdx=(1/2)∫_0^∞xe^-xdx（令u=-x,du=-dx）=-(1/2)∫_0^-∞ue^u(-du)=(1/2)∫_0^-∞ue^udu=(1/2)[u*e^u-∫e^udu]_0^-∞=(1/2)[u*e^u-e^u]_0^-∞=(1/2)[lim(u→-∞)(u*e^u-e^u)-(0*e^0-e^0)]=(1/2)[0-(-1)]=(1/2)D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2E(X^2)=∫_{-∞}^∞x^2f(x)dx=∫_0^∞x^2*(1/2)e^-xdx=(1/2)∫_0^∞x^2e^-xdx（令u=x,dv=xe^-xdx,v=-(x+1)e^-x）=(1/2)[-x^2*e^-x∫_0^∞+∫_0^∞2x*e^-xdx]=(1/2)[0+2∫_0^∞xe^-xdx]（此处∫_0^∞xe^-xdx=1）=(1/2)*2*1=1D(X)=1-(1/2)^2=1-1/4=3/4。四、证明题1.证明：考虑级数的通项an=(-1)^(n+1)*(n/n+1)=(-1)^(n+1)*(1-1/(n+1))=(-1)^(n+1)-(1/(n+1)(-1)^(n+1))级数可以拆分为∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)+∑_{n=1}^∞(1/(n+1)(-1)^(n+1))第一个级数∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)是交错级数，但其通项的绝对值1并不趋于0，故发散。第二个级数∑_{n=1}^∞(1/(n+1)(-1)^(n+1))是交错级数，且1/(n+1)单调递减趋于0，故收敛。由于第一个级数发散，所以原级数∑_{n=1}^∞(-1)^(n+1)*(n/n+1)发散。2.证明：设目标函数为f(x,y)=x^2+y^2，约束条件为g(x,y)=x+y-1=0。构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)=x^2+y^2-λ(x+y-1)令∇L=0，即(∂L/∂x,∂L/∂y,∂L/∂λ)=(2x-λ,2y-λ,x+y-1)=(0,0,0)得方程组：(1)2x-λ=0=>λ=2x(2)2y-λ=0=>λ=2y(3)x+y-1=0由(1)和(2)得2x=2y=>x=y。代入(3)得x+x-1=0=>2x=1=>x