2026届山西大学附中高三上学期9月模块诊断数学试题及答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页山西大学附中2025～2026学年第一学期高三9月模块诊断（总第三次）数学试题一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若全集，，，则下列关系正确的是A． B． C． D．2．已知向量，，若，则A． B． C．7 D．33．已知随机变量，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为A． B． C． D．A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，则6.模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间关系时，得到的模型是，其中是时刻的细菌数量，为自然对数的底数．若时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则约为A．5 B．4 C．3 D．27．在中，若，则的最小值为A． B． C． D．8.已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．给出下列说法，其中错误的是A．某病8位患者的潜伏期（天分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为4 B．已知数据，，的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13 C．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 D．设是随机变量，若，则10．已知，．若随机事件，相互独立，则A． B． C． D．11．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则A．的图象关于点对称 B．C．D．若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．的展开式中的常数项为．13．椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为．14．已知△中内角，，满足，若在边，，上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分13分）如图，五面体中，四边形是正方形．(1)求证：；(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小．16．（本小题满分15分）已知等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前项和．试卷第=page11页，共=sectionpages33页17.（本小题满分15分）已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．18．（本小题满分17分）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为．（1）设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量，求的数学期望；（2）求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．19．（本小题满分17分）已知函数的导函数为．（1）当时，求的图象在，处的切线方程；（2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围；（3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围．

山西大学附中2025～2026学年第一学期高三9月模块诊断（总第三次）解析版题号12345678910答案CDCBABBCABDBCD题号11答案ABD12.1513.14.8.解：根据题意可得对于函数，当时，即时，△，此时满足恒成立，因此，只需恒成立即可，因此恒成立；又易知，所以可得，因此可得；当时，即或时，此时△，若，可得恒成立，因此只需满足在上恒成立，显然不合题意；若，可得恒成立，因此只需满足在上恒成立，不妨取，可得，显然不合题意；综上可知，实数的取值范围是．故选：．11.解：对于，由题意知，，则，，图象的对称中心为，故正确；对于，，，两式相减得，令，得（4），故正确；对于，由选项可得，的周期为4，又，故，令得，（2），得（2），故错误；对于，（2），又（2），故，又，在中，令得，，又由，，令得，，，又的周期为4，则，，故正确．故选：．14.解：因为，所以由正弦定理可得：，又因为，代入上式得：，整理可得：，所以，当且仅当时，等号成立，由于，所以，因为，所以，又此时，所以△为等边三角形，则；如图，在△中，由余弦定理得：，所以，所以，从而，设，则，，，在△中，由正弦定理得，则，在△中，由正弦定理得，则，所以，其中，所以的最大值为，当时取得最大值，所以．故答案为：．15．解：（Ⅰ）证明：因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以；（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，所以，所以，故以为原点建立空间直角坐标系如图，则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，所以，1，，，0，，，1，，设平面的法向量为，，，则，取，得平面的一个法向量，1，，设直线与平面的夹角为，则，因为，，所以，故直线与平面所成角为．【点评】本题主要考查线面平行的判定与性质，直线与平面所成角，属于中档题．16．已知等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，令，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以；（2）因为，，所以，①，②，①-②得，所以.17．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．解：（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为，可得，解得，，所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为．（2）由（1）知，，．显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设，，由，消去，得，显然，，则，，，直线的斜率，直线的斜率，所以，为定值．18．（本小题满分17分）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为．（1）设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量，求的数学期望；（2）求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．解：（1）易知的所有取值为1，2，此时，，则；（2）设第轮比赛中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，由（1）知，，当时，，整理得，又，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，此时，整理得，则，即在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为．19．已知函数的导函数为．（1）当时，求的图象在，处的切线方程；（2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围；（3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围．解：（1）当时，，则，因此，则，因此的图象在点，处的切线方程为，即．（2）由题知，，因为有三个不同的零点，因此方程有三个不等实根，化简可得方程有三个不等实根，即可看成直线与曲线有三个不同的交点，，因此当或时，，单调递减；当时，，单调递增，因此当时，有极小值为，当时，有极大值为，当时，，且当时，，因此作出函数的图象如图1所示，因此数形结合可知，即实数的取值范围为．（3）由题知，，其定义域为，则，令，得或，设，则