空间几何习题答案与提示

PAGE习题答案与提示第1章向量代数与坐标习题1.11．（1）互为反向量；（2）相等向量；（3）相等向量；（4）互为反向量；（5）相等向量.2.有，于是三点共线.3.（1）反向；（2）同向，且.4.证明略.5.因.于是，亦即.下证.令，于是，由于，从而于是.6.已知线性无关.任意点位于平面上共面实数，使，对于定点有 ，取，则，且.7.要证明 .整理得.设四面体一组对边的中点的连线为，它的中点为，其余两组对边中点连线的中点分别为，下面只要证明三点重合就可以了.取不共面的三向量，先求用线性表示的关系式，可得，同理可得，从而知三点重合，命题得证.9.设,由定比分点公式，得 比较上式两式系数，解得，于是得到.习题1.21.（1），；（2），；（3），．2.（1）；（2）.3..4.如图所示，在平行四边形中，设，则对角线.于是，故结论成立.证明略.中设，则有.另一方面，再由结论，所以有将代入得.证明略.证明略.如图所示，只要证明．因，因此有．如图所示，设分别为及边上的中点，设则故只需证.11.（1）.（2）过点作一平面垂直于,交直线于点，利用式（1）有 .由于，，，则习题1.3.证明略.证明略.4.（1）；（2）.5.证明略.6.可设，再进行计算，证明略.7.（1）另一方面，由拉格朗日(Lagrange)恒等式，得所以 同理可求得 （2）因为，从而有另一方面所以 .从而得 8.我们有由此即得所要证的结论.习题1.41.2.，，.3.因为，所以，的长度是的长度的3倍，它们的方向相反.4.和的夹角为.5..6.（1）；（2）.7.点为.8..9.或.10.可利用行列式的性质，证明略.11.取平面仿射坐标架，点的坐标分别为 设与相交于点,可得. 三线共点12.第2章平面与空间直线习题2.1（1）两平面相交；（2）两平面平行.（1）；（2）.平面参数方程（不唯一）.平面一般方程.所求平面方程是和.5..6.（1）；（2）.7.，，.8.（1）；（2）.9.证明略.习题2.2.2.（1）；（2）.3.（1）；（2）.4.（1）；（2）；（3）.5.（1）此直线与轴平行的充要条件是且.（2）直线与轴相交的充要条件是.（3）直线与轴重合的充要条件是.6..7.证明略.8.，，.9..10.证明：假设这三个平面有公共点，则，，，于是有，这与矛盾.因此三个平面没有公共点.习题2.31.（1）等距面为.（2）等距面为.2..3.（1）；（2）.4.所求点为或.5.6..7.平面方程为.8.（1）；（2）.9.（1）直线与平面有一交点；（2）直线在平面上.10.所求的投影点为.11.点的坐标满足平行平面与把不在且不在上的点分成三部分.上任取一点，它的坐标满足，从而满足.因此所求的点与上的点都在平面的同侧.上任取一点，它的坐标满足.从而满足.因此所求的点与上的点都在平面的同侧.综上所述，所求的点在平面与之间.习题2.42.与的距离为.3.所求的两条交角平分线的方程分别是 和.4.所求直线的标准方程为.5.，.6.所求直线的点向式方程是.7.或可写成.第3章曲线与曲面方程习题3.1，，即动点的轨迹为双曲线的一支.重心的轨迹为一条直线.3.（1）；（2）.4.（1）（不唯一）；（2）令，即（不唯一）；（3）（不唯一）.5.设开始时动点与大圆上的点重合，并取大圆中心为原点，为轴，过原点垂直于的直线为轴，经过某一过程后，小圆与大圆的接触点为，小圆的中心设为.可得轨迹的向量式参数方程为，坐标式参数方程为．当时，曲线方程可化为．此时的曲线是四尖点星形线（如下图所示）．7.如图所示，以为轴，点为原点，过点且垂直于的直线为轴建立直角坐标系．设从而有.它的坐标式参数方程为.一般方程为.习题3.2轨迹方程为两个平行平面.2.（1）；（2）.所求曲线方程为..设所求圆锥面为，.两个参数方程消去参数后可得曲面的一般方程均为.直角坐标为的点的球坐标为；直角坐标为的点的柱坐标为.球面方程为.9.（1）（正常数）表示原点在中心，半径为的球面，所以该球面在直角坐标系中的方程为.（2）（常数）表示以轴为界的半平面，它与面夹角为.所以它在直角坐标系中的方程为，，即，亦即.（3）（常数）表示以原点为顶点，轴为轴，半顶角为的一个直圆锥面（只有一腔）.所以它在直角坐标系中的方程为.10..习题3.31.圆心坐标，半径为1.2.（1）；（2）.3.（1）；（2）；（3）.4.曲线的一般方程为，因此所在平面方程为.5.6.面上的射影曲线为.面上的射影曲线为.面上的射影曲线为.7.取圆锥的顶点为坐标原点，圆锥的轴为轴建立直角坐标系，并设圆锥角为，旋转角速度为，直线速度为，动点的初始位置在坐标原点，而且动点所在锥面直母线的初始位置在坐标面上的正向一面侧，如图所示.可得圆锥螺线的向量式参数方程为.坐标式参数方程为.取，并设，那么圆锥螺线的参数方程为.习题3.41.（1）表示圆柱面，母线的方向，一条准线的方程为.表示双曲柱面，母线的方向，一条准线的方程为.（3）表示抛物柱面，母线的方向，一条准线的方程为.（4）表示轴，不表示柱面.2.所求的柱面方程为.3.它在坐标面上的射影曲线是一个圆，如图（2）所示.在坐标面上的射影曲线是抛物线上的一段如图（3）所示.在坐标面上的射影曲线是4次代数曲线如图（1）所示.4..5.柱面的方程为.6.（1）.（2）.7.曲线关于坐标面的射影柱面分别是，.曲线在坐标面内的射影曲线分别是.8.（1）方程为的二次齐次方程，故方程表示一个顶点在原点的锥面.取一个过原点的平面，由于平面与锥面的交线是一个点，即锥面的顶点，故上不存在与平面平行的直线.因此一个与平行且不过原点的平面与的交线可作为的准线.即为的一条准线.（2）由于，于是方程表示一个顶点在的锥面.为的一条准线.9.10..11.锥面的方程为.12.（1）它是以坐标面上的曲线为母线，轴为旋转轴的旋转曲面，也可看成是以坐标面上的曲线为母线，轴为旋转轴的旋转曲面.（2）该曲面是以原点为顶点的锥面，准线可取为.13.转曲面的方程为.14.旋转轴是，曲面被垂直于旋转轴的平面相截，所得曲线为圆.15..16.所求的旋转曲面为，即.取曲线，为准线，母线方向设为来建立的柱面方程.整理得柱面方程为与原方程比较，得，因此方程表示柱面.18.直线的轨迹方程为即，它是一个双曲抛物面.习题3.5椭球面方程为.（1）直圆锥面；（2）旋转单叶双曲面；（3）椭圆抛物面；（4）双曲抛物面；（5）两个平行平面；（6）双曲柱面；（7）直圆柱面；（8）双叶双曲面.3.所求的二次曲面的方程为.4.（1），双叶双曲面；，二次锥面；，单叶双曲面.（2），直圆锥面；，重合平面；，点（虚锥面）.（3），抛物柱面；，双曲柱面；，椭圆柱面；，直线；，虚椭圆柱面.5．过原点与单叶双曲面交线为圆的平面有两个，即.6.所求轨迹为，即，是椭圆抛物面.7.椭圆焦点的轨迹方程为.8.答案略.9.曲线参数方程消去参数可得于是曲线在圆柱面上，也在球面上，还在抛物柱面上.10..11.当时，方程可改写为.于是（1）当时，表示双叶双曲面；（2）当时，表示椭球面；（3）当时，表示一点；（4）当时，表示虚椭球面.当时，方程可改写为.于是（5）当时，表示椭圆抛物面.习题3.61.，其中为不全为零的实数.2.及.3..4.所求两直母线是 与.所求直母线的方程为与..所求的两条直母线的方程是与.证明略.9.腰椭圆方程为..坐标满足腰椭圆方程.同理可证另一族直母线也与腰椭圆相交.10.设所求点坐标为，.第4章二次曲线的一般理论习题4.11.切线，法线.2..3.过点的切线方程为.4.因为轴的方向，参数方程为，代入方程中得，因此与对称轴有一个交点.5.（1）；（2）直线上的点都是奇异点.6..7.先求出抛物线在点的切线方程，再求交点.习题4.21.（1）因此当为任意实数时，二次曲线有唯一的中心.（2）因此当且时，二次曲线无中心.（3）时，二次曲线为线心曲线.2.二次曲线的两条对称轴是与.它们的交点是中心.3.（1）二次曲线为双曲线，对称轴方程为和.（2）二次曲线是抛物线，对称轴方程为.4.被点平分的弦的方程为.5.渐近线方程为与.6.曲线的共轭于非渐近方向的直径为.7．证明略.8.与轴平行的弦的中点轨迹方程为.9.一对共轭直径的斜率应满足的关系式为.10.主方向是渐近方向，主方向是非渐近方向；唯一的主轴方程为.11.（1）二次曲线为.（2）二次曲线为12.主方向为，；曲线的主直径为和．习题4.3.（1）Ⅰ到Ⅱ的坐标变换公式为.（2）直线在Ⅱ中的方程为.（3）直线在Ⅰ中的方程是.3.对应坐标变换公式为，点的新坐标为.4.坐标变换是.（这个新坐标系不一定是右手坐标系）考虑坐标变换，其中都是待定常数.取，从而得到直角坐标变换.曲面在新直角坐标系下的方程是，它表示一个柱面.母线方向可以取为，在新直角坐标系下准线可以取为，该准线在原直角坐标系下方程是.标准方程为.这是一条抛物线，图略.曲面方程为，是旋转单叶双曲面.曲线的标准方程为，图略.曲面的标准方程为，所给曲面是二次锥面.10.曲面的标准方程为，图略.11.（1）；（2）；（3）.标准方程为(即)，直角坐标变换公式为.习题4.41.（1），，，.（2），，，.（3），，，.（4），，.2.二次曲线的简化方程是，图像是两条平行直线.3.时方程表示两条直线.4.若时，二次曲线为一对平行直线，且其简化方程为.于是两条平行直线与的距离为.即.5.（1）简化后的标准方程为，双曲线的两轴长为实轴为2，虚轴为2.，，.又方程的两个根且，从而.当时，，，表示椭圆；当时，，，表示抛物线；当时，，，表示双曲线；当时，，，，表示一对重合直线；当时，，，表示虚椭圆.当时，，方程表示双曲线；当时，，方程表示一对平行的虚直线；当时，，方程表示虚椭圆；当时，，方程表示一点(或称两交于实点的共轭虚直线)；当时，，方程表示椭圆；当时，，方程表示抛物线；当时，，方程表示双曲线；当时，，方程表示两条相交直线；当时，，方程表示双曲线.证明：略第5章等距变换与仿射变换习题5.1证明思路：验证平面上的平移变换的集合满足群所满足的条件.2