小学数学二年级下册《有余数的除法》练习十五 知识清单

小学数学二年级下册《有余数的除法》练习十五知识清单一、核心概念与基本原理：筑牢“有余数除法”的基石【基础】【重要】（一）深入理解有余数的除法意义【基础】1.平均分中的剩余现象：在日常生活和数学问题中，当我们把一些物品平均分时，并不是每次都能刚好分完。有时会出现物品有剩余，且不够再继续分一份的情况，这个剩余的数量就是我们所说的“余数”。例如，把10个苹果平均分给3个小朋友，每人分得3个，还剩下1个，这个过程就包含了余数。2.有余数除法的定义：在除法算式中，如果被除数除以除数，得到的商是整数，但还有余数，且余数不为0，那么这种除法就叫做有余数的除法。它是表内除法的延伸和补充，用以解决平均分后还有剩余的实际问题。3.算式各部分的名称与意义：以算式17÷5=3……2为例。17（被除数）：表示要分配的总数，如总共有17个气球。【基础】5（除数）：表示平均分的份数或每份的个数，如平均分给5个小朋友，或每5个一份。【基础】3（商）：表示按除数的要求分完后，每人分得或可以分成多少份。如每人分得3个气球。【重要】2（余数）：表示在按要求平均分后，剩余下来不够再继续分的部分。它的单位名称通常与被除数的单位一致。【重要】4.算式的读法：有余数的除法算式在读的时候，要读出“余”字。例如，17÷5=3……2，读作：“十七除以五等于三余二”。【基础】（二）核心法则：余数与除数的关系【高频考点】【难点】1.法则内容：在有余数的除法算式中，余数必须小于除数。这是一条铁的纪律，是判断计算是否正确的基本依据。【非常重要】2.原理剖析：为什么余数要比除数小？因为如果余数等于或大于除数，那就意味着在平均分的过程中，剩下的物品数量还可以继续分一份或几份，导致商小了，分得还不够彻底，计算结果是错误的。例如，17÷5，如果算成2余7，虽然总数也对，但余数7比除数5大，7里面还可以再拿出5来分一份，所以正确的商应该是3，余数是2。3.应用与题型：已知除数，求最大余数和可能余数：一个数除以5，因为余数要比除数5小，所以余数可能是（1，2，3，4）。其中，最小的余数是1，最大的余数是4。【高频考点】已知余数，求最小除数：在一个有余数的除法算式中，如果余数是6，那么除数最小应该是（7）。因为余数必须比除数小，所以除数必须大于6，最小就是7。【高频考点】利用法则进行检验：计算完成后，要养成检查余数与除数大小的习惯，这是保证计算正确率的关键一步。二、基本方法与技能：练就扎实的计算与推理能力【基础】【重要】（一）竖式计算的规范化训练1.书写格式：熟练掌握除法竖式的书写格式。先写除号“厂”，里面写被除数，左边写除数。商写在除号的上面，要与被除数的个位对齐。商和除数的乘积写在被除数的下面，最后用被除数减去这个积，得到余数。2.计算步骤口诀：一商（想除数和几相乘最接近被除数，且不大于被除数）、二乘（把商和除数乘起来，写出积）、三减（用被除数减去乘得的积）、四比（比较余数和除数，余数必须比除数小）。【非常重要】3.典型练习：用竖式计算，如40÷6=，47÷9=，52÷7=。【基础】（二）试商技巧：括号里最大能填几？【高频考点】【重要】1.题型意义：“()×5<24”、“6×()<34”这类题型是进行有余数除法试商的逆向训练和基础。它帮助我们快速找到合适的商，即括号里要填一个最大的数，使这个数乘以除数的积最接近且小于被除数。2.解题策略：利用乘法口诀，从小到大尝试，找到乘积最接近且小于右边数的那个乘数。例如，想5的乘法口诀：一五得五，二五一十，三五十五，四五二十，五五二十五。25已经大于24了，所以最大能填4。这个“4”就是算式24÷5的商。【重要】（三）数量关系的理解：被除数、除数、商、余数的互求【高频考点】1.基本关系式：在有余数的除法中，存在一个核心的数量关系，必须牢记并能灵活运用。【非常重要】被除数=商×除数+余数除数=(被除数余数)÷商商=(被除数余数)÷除数2.典型应用：已知除数、商和余数，求被除数：例如，算式()÷7=5……4，求被除数。根据公式：被除数=5×7+4=35+4=39。【基础】已知被除数、商和余数，求除数：例如，算式40÷()=6……4，求除数。根据公式：除数=(404)÷6=36÷6=6。【难点】写出多个不同的算式：例如，()÷()=7……5。根据公式，被除数=商×除数+余数=7×除数+5。只要除数大于余数5，就可以得到一个算式。如除数为6时，被除数为47；除数为7时，被除数为54；除数为8时，被除数为61……【拓展】三、解决问题（一）：区分“进一法”与“去尾法”【高频考点】【非常重要】（一）问题模型与关键词1.这类问题的核心是处理除法计算后得到的余数。根据实际生活情境，对余数的处理方式截然不同，由此产生了“进一法”和“去尾法”两种策略。解题的关键在于分析题目中的关键词“至少”和“最多”。【非常重要】2.“至少”型问题（进一法）：通常出现在求“需要多少容器/车辆/房间”、“至少要多少次”等问题中。这类问题要求我们保证所有人都能参与或所有物品都能被容纳，即使最后一份不足一份的量，也需要单独准备一个位置或一次机会。因此，无论余数是几（即使余1），商都必须加1。【热点】（二）“进一法”典型案例分析1.例1（练习十五第1题变式）：要做50个灯笼，每天最多可以做8个，至少需要多少天才能做完？分析：“至少需要多少天”意味着要保证所有50个灯笼都能做完。50÷8=6（天）……2（个）。商6表示6天做完48个，还剩2个。剩下的2个灯笼还需要1天来做，所以总天数要在商的基础上加1。解答：50÷8=6（天）……2（个），6+1=7（天）。答：至少需要7天才能做完。【非常重要】2.例2（练习十五第10题第1问）：22只鸡，都放进大鸡笼（每笼装6只），至少要几个大鸡笼？分析：“至少”要几个笼子，意味着必须把22只鸡全部装下。22÷6=3（个）……4（只）。3个笼子装18只，还剩4只。剩下的4只鸡不能再装进已满的笼子，需要再增加1个笼子。解答：22÷6=3（个）……4（只），3+1=4（个）。答：至少要4个大鸡笼。【非常重要】（三）“去尾法”典型案例分析1.问题模型：“最多”型问题（去尾法）。通常出现在求“最多可以买多少/做多少/乘多少”等问题中。这类问题要求我们最多能获得多少个完整的单位，剩余的部分因为不够组成一个完整的单位，所以必须舍去，商就是最后的答案，不需要加1。【热点】2.例1（练习十五第2题）：一本儿童读物4元，23元最多可以买几本？分析：“最多可以买几本”意味着23元能买几本完整的书。23÷4=5（本）……3（元）。商5表示可以买5本，花了20元。剩下的3元不够再买一本（因为一本要4元），所以余数3元必须舍去。解答：23÷4=5（本）……3（元）。答：23元最多可以买5本。【非常重要】3.例2：做一套演出服要用6米布，50米布最多可以做多少套演出服？分析：50÷6=8（套）……2（米）。8套用布48米，剩下的2米不够再做一套，必须舍去。解答：50÷6=8（套）……2（米）。答：50米布最多可以做8套演出服。【非常重要】（四）对比辨析与综合应用1.核心区别：判断用“进一法”还是“去尾法”，不取决于数字大小，而取决于问题的实际情境和关键词。“进一法”是为了“容纳全部”，所以商+1；“去尾法”是为了“凑足整份”，所以商不变。【非常重要】2.混合问题（练习十五第9题）：有44人。（1）都坐小车（每辆限乘8人），最多可以坐满几辆车？（2）都坐大车（每辆限乘9人），至少需要几辆车？第（1）问分析：“最多可以坐满几辆车”是典型的去尾法问题。44÷8=5（辆）……4（人）。5辆车坐满40人，剩下的4人不够坐满一辆车（即不能称为“坐满”），所以舍去4人。解答：44÷8=5（辆）……4（人）。答：最多可以坐满5辆车。第（2）问分析：“至少需要几辆车”是典型的进一法问题。44÷9=4（辆）……8（人）。4辆车坐36人，还剩8人，这8人还需要1辆车才能全部坐下。解答：44÷9=4（辆）……8（人），4+1=5（辆）。答：至少需要5辆车。【非常重要】四、解决问题（二）：解决“周期规律”问题【高频考点】【难点】（一）问题模型与核心思想1.这类问题的情境是：一组事物按照固定的、重复出现的顺序排列（即周期）。需要根据这个规律，推断出第N个事物是什么。【热点】2.核心思想：把周期问题转化为有余数的除法问题。周期长度就是除数，事物的总数就是被除数。通过余数来判断事物的位置。【非常重要】（二）解题步骤（以练习十五第4、5题为例）1.第一步：找周期。仔细观察，找出事物排列的规律，确定一个完整周期包含几个事物，以及每个周期内事物的具体排列顺序。例如，小旗按“黄、红、红”重复排列，一个周期就是3面小旗（黄、红、红）。【基础】2.第二步：列算式。用事物的总数（要找到的第几个）除以周期长度（除数）。算式：总数÷周期长度=周期数……余数【基础】3.第三步：看余数，定答案。【非常重要】余数不为0：余数是几，就表示这个事物在一个完整周期里是第几个。比如，求第16面小旗，16÷3=5（组）……1（面），余数是1，说明它是下一组（第6组）的第1个，根据规律，每组第1个是黄色，所以第16面是黄色。余数为0：如果没有余数，说明这个事物正好是某一组的最后一个。比如，求第15面小旗，15÷3=5（组），余数为0，说明它是第5组的最后一个，每组最后一个是红色，所以第15面是红色。（三）典型例题拓展1.例1（练习十五第5题）：盆花按“黄、黄、红、红”的规律排列，求第32盆是什么颜色？分析：周期长度为4（黄、黄、红、红）。32÷4=8（组），余数为0。说明第32盆是第8组的最后一个。解答：第32盆应该摆红色的花。【重要】2.例2（练习十五第6题）：六月份有30天，有几个星期？还多几天？如果六月份有5个星期六和星期日，那么6月1日是星期几？第（1）问：一个星期有7天，这是周期长度。30÷7=4（个）……2（天）。所以有4个星期，还多2天。【基础】第（2）问【难点】【拓展】：30天有4个完整的星期（共28天），余2天。完整的4个星期里必然有4个星期六和4个星期日。要想整个六月有5个星期六和5个星期日，那么多出来的这2天必须是星期六和星期日。这2天只能出现在六月的开头（6月1日和6月2日）或结尾（6月29日和6月30日）。如果是开头，那么6月1日就是星期六，6月2日是星期日。我们可以通过画日历或用有余数除法的思想来验证：假设6月1日是第1天，那么第30天是星期几？要满足有5个星期六和星期日，那么6月1日只能是星期六。解答：6月1日是星期六。【难点】五、思维拓展与探究：提升高阶思维能力【拓展】（一）综合推理问题1.例1（练习十五第11题）：有一些糖果，平均分给3人剩1块，平均分给5人也剩1块。已知糖果数量在1020块之间，问这袋糖果有多少块？分析思路一（列举法）：【重要】分给3人剩1块：糖果数量可能是3×3+1=10，3×4+1=13，3×5+1=16，3×6+1=19……分给5人剩1块：糖果数量可能是5×2+1=11，5×3+1=16，5×4+1=21……找出两个数列中在1020之间的公共数，只有16。分析思路二（公倍数思想）：【拓展】因为无论分给3人还是5人，都剩1块，说明糖果总数减去1后，既能被3整除，也能被5整除。也就是这个数（糖果数1）是3和5的公倍数。3和5的最小公倍数是15。那么在1020之间，15+1=16，正好符合条件。解答：这袋糖果有16块。【重要】2.例2（错中求解）：马小虎在计算一道除法算式时，将除数9看成了6，得到的商是5，余数是2。正确的商和余数各是多少？分析：【拓展】这是一道经典的“错中求解”问题。虽然计算过程错了，但被除数是没有变的。我们可以根据错误的除数、商和余数，先求出正确的被除数。根据错误算式：被除数=错误的除数×错误的商+错误的余数=6×5+2=30+2=32。再用正确的被除数除以正确的除数：32÷9=3……5。解答：正确的商是3，余数是5。【拓展】六、易错点辨析与避坑指南【重要】（一）概念理解上的易错点1.忽视余数要比除数小：在计算或填空时，想当然地认为余数可以很大，或者在有余数的除法算式中，当余数等于或大于除数时，仍认为计算正确。避坑：每次计算完毕，必须将余数和除数进行大小比较。【非常重要】2.混淆商和余数的单位：在解决实际问题时，不能正确写出商和余数的单位。例如，租船问题中，商和余数的单位都是“人”，但商的单位有时因问题需要会变成“条”或“辆”。避坑：商和余数的单位名称要根据问题中的主体来确定。通常，余数的单位与被除数一致。而在“进一法”中，最后加1得到的那个数的单位，是所求问题（如船、车、天数）的单位。【重要】（二）解题策略上的易错点1.“进一法”和“去尾法”混淆：看到除法有余数，不假思索地就在商上加1，或者都不加。避坑：解题前，先圈出题目中的关键词“至少”或“最多”。想想问题情境是要“容纳全部”还是“凑足整份”。【非常重要】2.周期问题中余数“0”的处理：很多学生认为余数为0就是第一个，或者不知道是什么。避坑：牢记“余数为0，是每组的最后一个”。可以画图辅助理解，多练习几道类似的题，形成思维定式。【重要】3.忽略题目中的隐含信息：如练习十五第7题，求一条彩带的长度。图形是一个正六边形，边长3厘米。有些学生可能会忘记乘6，只算了3+2=5。避坑：仔细审题，找出所有已知条件，包括图形中隐藏的条件。明确先算什么（六边形一圈的长度），再算什么（加上多出的部分）。【基础】（三）计算过程中的易错点1.乘法口诀不熟练：导致试商过慢或错误。2.竖式计算书写不规范：数位没有对齐，导致减法计算错误。3.横式上忘记写余数：竖式计算正确，但在横式上抄答案时，只写了商，漏掉了“……余数”。【基础】七、考点与考向全扫描（基于练习十五）（一）计算类考点1.直接写出商和余数（如练习十五第3题）：考查基础计算能力。2.括号里最大能填几：考查试商技巧，是笔算和估算的基础。3.列竖式计算：考查规范的书写格式和计算步骤。4.改错题：给出错误的竖式或横式，让学生判断并改正（常考余数比除数大的错误、数位不对齐的错误）。（二）概念类考点1.填空：一个数除以7，余数最大是（）。在算式□÷6=4……□中，余数可能是（），最大余数是（）。2.判断：在有余数的除法中，余数可能比除数大。（）一个数除以8，余数可以是18。（）3.选择题：下面算式中，余数是3的是（）。A.15÷4B.19÷6C.26÷5（三）解决问题类考点（重中之重）1.进一法/去尾法应用题（必考）：情境：租车/船/房（至少需要几辆）、买东西（最多能买几本）、装东西（至少需要几个筐/箱）、做衣服/打包（最多能做几件/几包）。2.周期规律应用题（必考）：情境：图形、颜色、数字、生肖、星期的周期循环。变式：如练习十五