聚焦模型建构 发展量感思维-“用进一法和去尾法解决问题”五年级上册数学教案

聚焦模型建构发展量感思维——“用进一法和去尾法解决问题”五年级上册数学教案

一、教学背景深度分析

（一）宏观教材体系解构与定位

本课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中的“数量关系”主题，具体涉及“运用数与数的运算解决简单的实际问题”。在人教版五年级上册数学教材体系中，本课紧随小数除法单元之后，是学生学习了“四舍五入法”取商的近似数基础上的深化与拓展。其知识脉络清晰：从二年级的“表内除法解决平均分问题”（结果精确），到四年级的“四舍五入法求近似数”（对静态数字的处理），再到本课的“根据实际问题情境灵活选择取近似值的方法”（对动态结果的处理），最后为六年级学习百分数应用题中的“估算策略”和更复杂的优化问题奠定逻辑基础。因此，本课是连接精确计算与估算思维、算术知识与实际问题解决的关键枢纽，承担着从“数学知识”向“数学素养”转化的重要使命。

（二）核心素养导向下的学情透视

授课对象为五年级学生，其认知发展正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。

已有认知基础：

1.熟练掌握了小数除法的计算技能。

2.理解了“四舍五入法”取近似数的规则及其在记录、汇报数据时的应用。

3.具备初步的分析数量关系、列式解答简单实际问题的能力。

潜在认知障碍与生长点：

4.思维定势的桎梏：学生极易将“四舍五入法”视为取近似数的“唯一法则”，难以跳出机械规则，理解“法无定法，贵在得法”的数学思想精髓。

5.情境与方法的割裂：对数学答案的理解往往停留在“得数”层面，缺乏将计算结果“还原”到具体生活情境中进行检验和解释的意识和能力，即“量感”薄弱。

6.模型意识的萌芽：学生具备从具体问题中抽象算式的经验，但如何从一类问题中抽象出“进一法”和“去尾法”这两种决策模型，并明晰其适用条件，是本节课需要突破的认知难点，也是发展模型意识的绝佳契机。

（三）跨学科视野下的教学价值

本课所蕴含的“根据实际情况选择合理方案”的决策思想，远超数学学科范畴。它本质上是一种“基于约束条件的最优化思维”。在科学领域，它体现为在资源有限下的实验设计；在工程领域，它关乎材料切割与成本核算；在社会科学中，它涉及资源分配与政策制定。通过本课学习，旨在培养学生一种普遍的、可迁移的“情境化决策能力”，即面对不确定性和资源限制时，能够理性分析条件，做出最符合目标的判断。这是面向未来社会的公民所必备的核心素养之一。

二、教学目标设定（四维融合）

基于以上分析，确立以下融合核心素养的教学目标：

1.知识与技能：

1.2.在具体的问题情境中，经历发现、辨析“四舍五入法”局限性的过程。

2.3.理解“进一法”和“去尾法”的含义，掌握其具体操作方法。

3.4.能根据实际问题中的具体情况（关键词、隐含条件、生活逻辑），灵活选择并正确使用“进一法”、“去尾法”或“四舍五入法”对商进行取近似值，并规范解答。

5.过程与方法：

1.6.通过创设对比鲜明、富有冲突的真实问题情境，经历“发现问题-提出猜想-合作探究-验证归纳-应用拓展”的完整探究过程。

2.7.运用“列表对比”、“思维导图”等工具，学会辨析和归纳三种取近似值方法的异同与适用条件，发展比较、分析、归纳、概括的逻辑思维能力。

8.情感、态度与价值观：

1.9.在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的紧密联系，感受数学的实用价值和应用乐趣。

2.10.培养具体问题具体分析、严谨求实的科学态度和理性决策的意识，克服思维惰性和定势。

3.11.在小组合作探究中，学会倾听、表达与协作，增强数学交流的信心。

12.核心素养聚焦：

1.13.量感：核心目标。通过将计算结果反复“代入”情境进行“意义还原”和“可行性检验”，深刻理解“数值”背后的“物理意义”和“现实约束”，发展对数量的感知、判断与抉择能力。

2.14.模型意识/观念：从具体问题中抽象出“进一法”（“至少”模型）和“去尾法”（“至多”模型）两类问题解决模型，并尝试用简洁的数学语言（如：看余数、联系生活）描述其应用规则，初步形成模型化思想。

3.15.应用意识：强化“用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的自觉，认识到数学是解决现实问题的有力工具。

三、教学重难点研判

1.教学重点：理解“进一法”和“去尾法”的意义，掌握其方法。

2.教学难点：能根据实际问题中的具体情境和要求，灵活、准确地选择取近似值的方法。

3.难点突破策略：创设“认知冲突”，强化“情境回归”，构建“对比框架”。通过“为什么不能四舍五入？”的追问，引发深度思考；通过“这个答案放回题目中合理吗？”的反诘，驱动量感生成；通过“列表对比三种方法”，形成结构化认知。

四、教法与学法设计

本课采用“情境-问题”驱动下的“探究式学习”与“合作式学习”相结合的模式。

1.教法设计：

1.2.情境创设法：精心设计“礼品包装”、“服装剪裁”等真实、典型、富有对比性的问题链，营造“愤悱”状态。

2.3.对比辨析法：将“四舍五入”、“进一法”、“去尾法”置于同一分析框架下，通过关键问题引导对比，凸显本质。

3.4.支架教学法：提供“问题解决步骤提示卡”、“方法对比表格”等学习支架，帮助学生有序思考，梳理脉络。

4.5.融信息技术法：运用动态PPT或交互白板，直观演示“不够一个”需“进一”、“多余部分”需“去尾”的过程，化抽象为具象。

6.学法指导：

1.7.探究发现学习：学生作为问题解决的“第一责任人”，主动经历观察、计算、质疑、讨论、验证的探索历程。

2.8.合作交流学习：在小组内进行“头脑风暴”，分享不同思路，在辩论中明晰道理，实现思维共享与互补。

3.9.反思归纳学习：鼓励学生用自己的语言总结方法、归纳条件，并记录学习过程中的疑惑与感悟，培养元认知能力。

五、教学资源与工具准备

1.教师：多媒体课件（含问题情境动画、对比表格）、实物道具（小瓶子、大袋子、布条）、学习任务单。

2.学生：练习本、笔、直尺。

六、教学过程实施（核心环节详案）

（一）情境导入，孕伏冲突——激活已有认知，暴露思维定势（约8分钟）

1.基础复习，顺畅链接：

1.2.出示：5.04÷1.2≈（保留一位小数）

2.3.学生独立计算，指名板演，并简述“四舍五入法”取近似数的规则。

3.4.设计意图：激活旧知，为后续的认知冲突埋下伏笔，建立新旧知识的表面链接。

5.创设情境，引发冲突：

1.6.情境一（装香油问题）：“妈妈要将2.5kg香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶子最多可盛0.4kg。需要准备几个瓶子？”

2.7.学生口述数量关系：求2.5kg里面包含几个0.4kg，用除法。列式：2.5÷0.4=6.25(个)

3.8.关键提问一：“计算结果是6.25个，请问，你准备给妈妈什么建议？准备6个？还是7个？为什么？”

4.9.预设与引导：

1.5.10.部分学生可能脱口而出“四舍五入，约等于6个”。

2.6.11.教师呈现动画或实物演示：用6个瓶子（每个装0.4kg）尝试装2.5kg香油，最后剩余0.1kg香油无处可装。

3.7.12.追问：“这剩下的0.1kg香油怎么办？能扔掉吗？能用‘四舍五入法’把它‘舍去’吗？”

4.8.13.学生恍然大悟：剩下的香油也需要一个瓶子来装！所以必须“6+1=7（个）”。

9.14.教师板书：2.5÷0.4=6.25≈7(个)（根据实际情况，不管小数部分是多少，都要向前一位进一。）

15.揭示课题，明确方向：

1.16.教师总结：“看，在这个问题里，我们熟悉的‘四舍五入法’失灵了！为了确保所有香油都能装下，我们必须采用一种新的方法——‘进一法’。今天，我们就来深入研究如何根据实际情况，灵活选择‘进一法’、‘去尾法’来解决问题。”

2.17.板书课题：用“进一法”和“去尾法”解决问题。

（二）合作探究，建构模型——在对比辨析中实现意义建构（约22分钟）

本环节采用“双例对比，同步探究”的策略。

1.任务驱动，分组探究：

1.2.将学生分为若干小组，同时派发两个探究任务。

2.3.任务A（进一法巩固）：“果农王叔叔要将680kg葡萄装进纸箱运走，每个纸箱最多可以装15kg。需要多少个纸箱？”（列式：680÷15=45.33…≈46个）

3.4.任务B（去尾法新授）：“服装店用一卷25米长的布料制作衬衫，每件衬衫需要1.5米布料。这卷布料最多可以做多少件这样的衬衫？”

4.5.提供学习提示卡：

1.5.6.独立列式计算，得出准确商。

2.6.7.小组讨论：这个计算结果，在题目情境中表示什么？直接取整数结果（或四舍五入）可行吗？为什么？

3.7.8.达成一致意见：最终答案应该是多少？你们用了什么方法？

4.8.9.尝试用一个关键词或一句话，概括你们所用方法的特点。

10.聚焦汇报，深度辨析（重点处理任务B）：

1.11.小组汇报任务B。

2.12.列式：25÷1.5=16.666…（个）

3.13.关键提问二：“结果是约16.67件，你们认为最多能做几件？是17件吗？”

4.14.预设与引导：

1.5.15.可能会有争议。教师引导用“画线段图”或“乘法反推”验证：做17件需要布料1.5×17=25.5（米），而布料只有25米，不够。

2.6.16.追问：“那么做16件呢？1.5×16=24（米），剩下1米。这1米布料够再做一件吗？”（不够，因为一件需要完整的1.5米。）

3.7.17.核心讨论：“剩下的布料虽然比0.5米多，但它不够再做一件完整的衬衫。在这种情况下，我们是应该‘四舍五入’成17件，还是直接把小数部分‘去掉’，取16件？”

8.18.学生明确：为了保证做出来的衬衫是完整的、合格的，剩下的布料即使比较长，也不能凑成一件，只能“舍去”。这种方法叫“去尾法”。

9.19.教师板书：25÷1.5=16.666…≈16(件)（根据实际情况，不管小数部分是多少，都要舍去。）

20.对比归纳，建模升华：

1.21.教师引导学生将“装香油/葡萄”（任务A）与“做衬衫”（任务B）两个例题进行全方位对比。

2.22.出示对比表格，学生小组合作填写：

对比维度

例题1：装香油/葡萄（进一法）

例题2：做衬衫（去尾法）

已知与问题

总量、每份量，求“需要几个容器”

总量、每份量，求“最多能做几个物品”

计算结果

6.25个、45.33…个

16.666…个

直接取整问题

6个装不完，有剩余

17个不够做，缺材料

生活逻辑

“保证全部装下”——剩余一点也需一个容器

“保证每个完整”——不足一个则必须舍弃

取近似值方法

进一法

去尾法

关键特征词

至少、需要、保证、运走

最多、可以、能够、做成

1.关键提问三：“回顾我们学过的‘四舍五入法’，它和今天的‘进一法’、‘去尾法’有什么根本不同？”

2.引导归纳：

1.3.四舍五入法：关注数字本身的大小（看省略部分首位数字），用于对统计结果、测量数据的近似处理，目的是减少数位，便于表达。

2.4.进一法、去尾法：关注计算结果在具体情境中的可行性与合理性，用于解决实际问题，目的是做出可行决策。它们的选择标准不是数字，而是生活现实和问题目标。

5.模型初建：引导学生尝试总结决策口诀。

1.6.“求‘需要’（容器、车辆、次数……），不够一份也要算一份——用进一法。”

2.7.“求‘最多’（能做、能买、能装满……），不够一份就不能算一份——用去尾法。”

（三）变式练习，深化理解——在层次递进中促进灵活应用（约15分钟）

设计三层练习，从“方法识别”到“自主选择”，再到“开放设计”。

1.基础层：方法匹配（快速辨析）

1.2.（1）学校食堂购买50千克大米，每袋最多装9千克。至少需要多少个袋子？（进一法）

2.3.（2）用50米长的丝带包装礼盒，每个礼盒需要1.2米丝带。最多能包装多少个礼盒？（去尾法）

3.4.（3）一本词典22元，100元最多可以买几本？（去尾法）

4.5.（4）工厂生产101个蛋糕，每8个装一盒，需要准备几个盒子？（进一法）

5.6.操作：学生独立判断，只说出方法名称。重点让学生圈画出题目中的关键词（如“至少需要”、“最多能”），并阐述理由。

7.综合层：情境选择（隐含条件）

1.8.题目：“美工课上，同学们要将一根10米长的彩带剪成长0.75米的小段，用来装饰教室。”

2.9.问题A：一共可以剪成多少段？（10÷0.75≈13.33，去尾法，得13段。目标：求“最多”，剩余不足一段则舍去。）

3.10.问题B：如果想剪出14段来装饰，彩带够吗？如果不够，至少需要多长的彩带？（反推：0.75×14=10.5米>10米，不够。至少需要10.5米。）

4.11.设计意图：同一情境，不同问题指向不同方法（甚至涉及精确计算），打破“一题一法”的僵化联系，培养学生审题的缜密性。

12.拓展层：开放设计（策略生成）

1.13.题目：“幼儿园买了50个橙子，要分给小朋友。现在有两个方案：A.每个小朋友分3个；B.每个小朋友分4个。”

2.14.任务：请你根据“进一法”或“去尾法”的思想，设计两个不同的数学问题并解答。

3.15.预设学生生成：

1.4.16.（进一法）如果每个小朋友分3个，至少需要准备多少个小朋友才能分完？50÷3≈16.67，进一得17个。

2.5.17.（去尾法）如果每个小朋友分4个，最多可以分给多少个小朋友？50÷4=12.5，去尾得12个。

6.18.设计意图：将“解决问题”提升到“提出问题”的层面，实现思维的可逆训练，并检验学生对方法本质的理解是否内化。

（四）总结升华，拓展延伸——在凝练反思中形成结构化认知（约4分钟）

1.自主梳理：引导学生用思维导图或知识树的形式，梳理“取近似值”的三种方法。

1.2.中心主题：如何根据实际情况取近似值？

2.3.分支一：四舍五入法（目的：简化数据；标准：数字大小）。

3.4.分支二：进一法（目的：确保完成任务；关键词：至少、需要；标准：生活需求）。

4.5.分支三：去尾法（目的：保证个体完整；关键词：最多、能够；标准：材料限制）。

6.深度反思：

1.7.提问：“今天的课，对你最大的启发是什么？以后解决实际问题时，拿到计算结果后，最重要的一步是什么？”

2.8.引导得出共识：“数学计算的结果，必须放回到生活情境中去检验。”计算是手段，解决实际问题才是目的。我们要做的是“有思想的计算者”，而非“计算器”。

9.生活延伸：

1.10.布置课外小调查：寻找生活中应用“进一法”（如：租房按整月算、停车按小时进位收费）和“去尾法”（如：商品打折去零头、手机流量月底清零）的例子，下节课分享。

2.11.设计意图：将课堂学习延伸到广阔的生活世界，深化数学应用意识，完成学习闭环。

（五）分层作业，因材施教（约1分钟）

1.必做题（巩固基础）：练习册对应基础练习题。

2.选做题（提升能力）：一道综合性应用题，涉及连续使用两种方法（如：运货物，先算需要多少辆车（进一），再算这些车一共最多能运多少吨（去尾检验））。

3.挑战题（拓展思维）：研究“四舍五入法”在哪些生活场景中也会失效？（例如：投票表决中的“半数以上通过”，就不是四舍五入。）

七、板书设计（结构化呈现思维过程）

用“进一法”和“去尾法”解决问题

核心思想：联系生活，灵活选择

方法

例题

算式与结果

关键原因

特征词

进一法

装香油

2.5÷0.4=6.25≈7(个)

剩油需瓶，保证装完

至少、需要

运葡萄

680÷15≈45.33≈46(个)

剩葡萄需箱，保证运走

去尾法

做衬衫

25÷1.5≈16.666≈16(件)

余布不足一件，保证完整

最多、可以

买词典

100÷22≈4.545≈4(本)

余钱不足一本，保证购买

对比与反思：

1.四舍五入法：看“数字”（简化数据）

2.进一/去尾法：看“情况”（解决问题）

3.黄金法则：算后必验，回归情境！

八、教学反思与预设（前瞻性评估）

本节课的设计，力图超越传统“例题-模仿-练习”的模式，追求在深度探究中实现素养的真正落地。

1.成功点预设：

1.2.